宋輝武 于 冰

(1. 鄂爾多斯市第一中學(xué),內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 017010; 2. 東北師范大學(xué)物理學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130024)

·復(fù)習(xí)與考試·

利用最小角定理巧解物理難題

宋輝武1于 冰2

(1. 鄂爾多斯市第一中學(xué),內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 017010; 2. 東北師范大學(xué)物理學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130024)

針對(duì)貴刊2017年第2期刊發(fā)的一篇題為“一道力學(xué)題的兩種數(shù)理巧解”的論文進(jìn)行拓展研究,應(yīng)用數(shù)學(xué)上的最小角定理進(jìn)行了巧妙地求解,以期引起廣大的物理教師進(jìn)一步挖掘這一定理在物理學(xué)上的使用價(jià)值.

最小角定理;靜摩擦力

貴刊2017年第2期發(fā)表了李力老師撰寫(xiě)的一篇題為“一道力學(xué)題的兩種數(shù)理巧解”的論文,讀罷該文受益頗深.在此筆者談?wù)勛约簩?duì)這個(gè)問(wèn)題的深入思考,與各位同行交流探討.

圖1

先介紹一些數(shù)學(xué)知識(shí).最小角定理也叫折疊角公式或“爪子”定理.根據(jù)空間角的余弦公式得出:斜線(xiàn)角(線(xiàn)—線(xiàn)角)θ,線(xiàn)面角(斜線(xiàn)和平面的夾角)θ1,射影交角(正射影與斜射影夾角)θ2,它們?nèi)咧g存在一個(gè)余弦關(guān)系cosθ=cosθ1cosθ2,如圖1所示,直線(xiàn)OA是平面α外的一條斜線(xiàn),OB是OA在平面α內(nèi)的(正)射影,直線(xiàn)OC(也叫斜射影)也在平面α內(nèi),AB垂直于平面α,AB⊥OC,BC⊥OC,因此一定有AC⊥OC,設(shè)∠AOC=θ,∠AOB=θ1,∠BOC=θ2,可得OC=OBcosθ2=OAcosθ1cosθ2,又因?yàn)镺C=OAcosθ,因此可得cosθ=cosθ1cosθ2,由此式也可知cosθ≤cosθ1,即θ1≤θ,因此θ1是這條斜線(xiàn)與這個(gè)平面內(nèi)任一條直線(xiàn)所成的角中最小的角,此即為最小角定理的名字由來(lái).就是說(shuō)如果我們知道兩個(gè)角的余弦值則可以求第三個(gè),因此也形象地把這個(gè)定理叫做“三余弦定理”,這個(gè)定理在數(shù)學(xué)的立體幾何部分應(yīng)用較多,但是在高中物理學(xué)中的具體應(yīng)用較少見(jiàn)到.鑒于此筆者應(yīng)用這一定理處理了物理學(xué)中的典型難題,希望能夠引起廣大同行對(duì)這一定理的重視.

圖2

原題:如圖2所示,在水平桌面上放置正方形木板abcd,木板上放一個(gè)質(zhì)量為m的物塊,現(xiàn)以dc邊為軸將木板緩慢向上轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ1,再以bc邊為軸將木板緩慢向上轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ2,設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中木塊始終未在木板上滑動(dòng),求兩次轉(zhuǎn)動(dòng)后,木塊受到的靜摩擦力大小.

拓展問(wèn)題1:若先以dc邊為軸將木板緩慢向上轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ1,再以bc邊為軸將木板緩慢向上轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ2,再以ba邊為軸將木板緩慢向上轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ3,再以ad邊為軸將木板緩慢向上轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ4,再以dc邊為軸將木板緩慢向上轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ5,循環(huán)下去直至轉(zhuǎn)動(dòng)n次時(shí)緩慢向上轉(zhuǎn)動(dòng)角度θn,求n次轉(zhuǎn)動(dòng)后,木塊受到的靜摩擦力大小.

巧解:如果根據(jù)文獻(xiàn)[1]的方法1來(lái)計(jì)算這個(gè)問(wèn)題會(huì)極其復(fù)雜,按照文獻(xiàn)[1]提出的方法2的思想,對(duì)于這個(gè)問(wèn)題我們還需要將每一個(gè)分力進(jìn)行多次分解,計(jì)算量同樣相當(dāng)大,而如果應(yīng)用最小角定理,根據(jù)遞推關(guān)系可以方便快捷地得到cosθ=cosθ1·cosθ2·cosθ3…cosθn.不過(guò)需要特別指出的是,如果把該題中的正方形木板換成等邊三角形、正五邊形、正六邊形木板等等,我們?cè)僖来我愿鬟厼檩S轉(zhuǎn)動(dòng)的話(huà),則不再滿(mǎn)足三余弦定理的成立條件,此時(shí)線(xiàn)面角不再是可以直接得到的量,當(dāng)然這個(gè)問(wèn)題的解決也會(huì)加倍繁瑣甚至是不可能求解的.實(shí)際上容易看出只有木板的各邊相互垂直,再依次以各邊為軸轉(zhuǎn)動(dòng)后我們才能直接得到線(xiàn)面角,也就是說(shuō)該題木板的形狀設(shè)計(jì)也是有講究的,隨意改編會(huì)導(dǎo)致該題根本無(wú)法求解.

圖3

拓展問(wèn)題2:如圖3所示,長(zhǎng)為l的導(dǎo)體棒在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中以速度v作斜切磁感線(xiàn)運(yùn)動(dòng),且B、l、v三者兩兩之間的夾角依次為θ1、θ2、θ3,求導(dǎo)體棒產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì).

巧解:由于該題中的導(dǎo)體棒并不是垂直切割磁感線(xiàn),有效速度和有效長(zhǎng)度都需要我們尋找,與以往常見(jiàn)的模型有很大不同,以往我們求解動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的公式無(wú)非是E=Blv或E=Blvsinθ,前者適用于B、l、v三者兩兩互相垂直的情況(即B、l、v為兩兩互相垂直的分量),后者適用于其中有一個(gè)量同時(shí)垂直于另兩個(gè)量但是這另兩個(gè)量并不垂直且成角度θ的情況,顯然該題我們并不能簡(jiǎn)單套用上述的兩個(gè)公式.實(shí)際上對(duì)于這個(gè)問(wèn)題我們只需要找到三個(gè)兩兩互相垂直的分量即可.

假設(shè)B、l、v三者的位置以及相互所成的角度如圖3所示(實(shí)際上導(dǎo)體切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的模型皆可抽象成此三線(xiàn)圖的模式),三者相交于點(diǎn)O,過(guò)速度v的箭頭端P作B、

l所形成的平面α的

垂線(xiàn)PQ交平面α于點(diǎn)Q,則此時(shí)PQ既垂直于磁場(chǎng)B,又垂直于導(dǎo)體棒l,設(shè)OQ與OM的夾角為θa,OQ與ON的夾角為θb,OP與OQ的夾角為θx,由此不難發(fā)現(xiàn)Bsinθ3、l、vsinθx即為我們需要找到的兩兩互相垂直的分量,下面來(lái)求解θx,很明顯有

θa+θb+θ3=2π,

(1)

再根據(jù)三余弦定理可得

cosθa·cosθx=cosθ1,

(2)

cosθb·cosθx=cosθ2.

(3)

將(1)～(3)式聯(lián)立即可解得

因此導(dǎo)體棒的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)

可以看出當(dāng)θ1=θ2=θ3=90°時(shí),導(dǎo)體棒演變成垂直切割磁感線(xiàn),此時(shí)上式動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式過(guò)渡成最簡(jiǎn)單的形式，即E=Blv.不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)θ1、θ2、θ3中有2個(gè)角為90°時(shí)，導(dǎo)體棒的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)過(guò)渡為E=Blvsinθ.

1 李力,肖光緒.一道力學(xué)題的兩種數(shù)理巧解[J].物理教師,2017(2):91.

2 黃照欣.這道“小題”確實(shí)不可小看[J].物理教學(xué)探討,2005(1):35.

本文獲國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金教育學(xué)青年課題基金資助(課題編號(hào):CHA150182).

2017-03-12)