李靜

[提要] 本文研究簡單金融市場下兩個投資者的時間一致均值-方差投資組合博弈問題。投資者投資于包含一種無風(fēng)險資產(chǎn)和兩種風(fēng)險資產(chǎn)的金融市場，風(fēng)險股票價格服從幾何布朗運(yùn)動，并且兩種風(fēng)險資產(chǎn)之間是相關(guān)的。每個投資者選擇最優(yōu)投資組合策略，使得均值-方差最優(yōu)化。利用動態(tài)規(guī)劃原理，給出相應(yīng)的檢驗定理，分別得到兩個投資者的最優(yōu)投資策略和最優(yōu)值函數(shù)的顯式表達(dá)式。

關(guān)鍵詞：幾何布朗運(yùn)動；均值-方差；推廣的HJB方程；投資組合；隨機(jī)微分博弈

中圖分類號：F83 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

收錄日期：2017年6月16日

一、引言

策略選擇問題是金融學(xué)研究的一個熱點之一。Markowitz最早提出利用數(shù)學(xué)方法解決此類問題，并給出求解框架。當(dāng)投資者的目標(biāo)收益給定時，利用方差描述其風(fēng)險，形成均值-方差投資組合選擇問題。由于Markowitz模型是靜態(tài)的一階模型，在現(xiàn)代金融理論中雖然占據(jù)重要地位，但仍具有局限性，因為在實際金融市場中，投資者的投資策略可能會隨著時間變化而發(fā)生變化，因此需要對連續(xù)時間模型下的最優(yōu)投資策略選擇問題進(jìn)行研究。在連續(xù)時間問題上，Merton做出了重要貢獻(xiàn)。Browne提出連續(xù)時間模型下兩個投資者之間的零和微分投資組合博弈問題，他們有著不同但相關(guān)的投資機(jī)會。Chiu與Li和Xie等研究在連續(xù)時間情況下進(jìn)行資產(chǎn)-債務(wù)的均值-方差投資組合選擇問題。Basak和Chabakauri對金融市場中只有一個股票和一個投資者的情形給出最優(yōu)值函數(shù)和最優(yōu)投資策略。本文研究金融市場中有兩個投資者和三種資產(chǎn)的時間一致均值-方差投資組合博弈問題。

二、模型建立

考慮一個連續(xù)時間的簡單金融市場由三種資產(chǎn)組成，一個無風(fēng)險資產(chǎn)和兩個風(fēng)險股票資產(chǎn)。市場中的兩個投資者，A和B，可以對無風(fēng)險資產(chǎn)進(jìn)行自由投資。但是，對于風(fēng)險資產(chǎn)，投資者A只能對第一個風(fēng)險資產(chǎn)進(jìn)行投資，而投資者B只能對第二個風(fēng)險資產(chǎn)進(jìn)行投資。兩個投資者的投資期限為T=[0，T]，T∈（0，∞），并假設(shè)金融市場是無摩擦的，即交易中沒有交易費(fèi)用和交易稅，資產(chǎn)是無窮可分的。兩個投資者的目標(biāo)是尋找最優(yōu)投資策略使兩個人的總財富最大化，且在一定風(fēng)險厭惡情況下減少財富波動。假設(shè)一個完備的域流概率空間（？贅，F(xiàn)，P），P是真實概率，F(xiàn)：={F（t）；t∈[0，T]}滿足通常條件，即F右連續(xù)，P完備。用B表示無風(fēng)險資產(chǎn)的價格，其動態(tài)價格過程如下：

從（49）和（50），可看出，投資者A的最優(yōu)投資策略不僅依賴于他自己的風(fēng)險厭惡參數(shù)？酌1，而且依賴投資者B的風(fēng)險厭惡參數(shù)？酌2；投資者B的最優(yōu)投資策略同樣依賴于這兩個風(fēng)險厭惡參數(shù)2。投資者A的值函數(shù)依賴B的風(fēng)險厭惡參數(shù)？酌2，投資者B的值函數(shù)也依賴A的風(fēng)險厭惡參數(shù)？酌1。

主要參考文獻(xiàn)：

[1]Markowitz，H.Protfolio selection.Finance，1952.7.

[2]Merton，R.C.Life-time portfolio selection under uncertainty：the continuous-time case.The Review of Economics and Statistics，1969.

[3]Merton，R.C.Optimal consumption and portfolio rules in a continuous-time model.Journal of Economical Theory，1971.3.

[4]Chiu，M.C.，Li，D.Continuous-time mean-variance optimization of assets and liabilities.Insurance：Mathematics and Economics，2006.39.

[5]Xie，S.X.，Li，Z.F.，Wang，S.Y.Continuous-time portfolio selection with liability：Mean-variance model and stochastic LQ approach.Insurance：Mathematic and Economics，2008.42.

[6]Bjork，T.and A.Murgoci.A general theory of Markovian time inconsistent stochastic control problems.Working Paper，Stockholm School of Economics，2010.

[7]Kryger，E.and Steffensen，M.Some solvable portfolio problems with quadratic and collective objective.Working paper，http：//ssrn，com，2011.