張文福, 鄧 云, 趙文艷, 李明亮, 劉迎春, 計 靜,李 洋, 許 慶, 宋旭旭

( 1. 南京工程學院 建筑工程學院,江蘇 南京 211167； 2. 東北石油大學 黑龍江省防災減災工程與防護工程重點實驗室,黑龍江 大慶 163318; 3. 東北石油大學 土木建筑工程學院,黑龍江 大慶 163318； 4. 安徽建筑大學 土木工程學院，安徽 合肥 230601 )

基于板梁理論的工字形鋼—混組合雙跨連續(xù)梁彎扭屈曲分析

張文福1,2, 鄧 云2,3, 趙文艷2,3, 李明亮2,3, 劉迎春2,3, 計 靜2,3,李 洋2,3, 許 慶4, 宋旭旭4

( 1. 南京工程學院 建筑工程學院,江蘇 南京 211167； 2. 東北石油大學 黑龍江省防災減災工程與防護工程重點實驗室,黑龍江 大慶 163318; 3. 東北石油大學 土木建筑工程學院,黑龍江 大慶 163318； 4. 安徽建筑大學 土木工程學院，安徽 合肥 230601 )

基于板梁理論，對均布荷載作用下的雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續(xù)梁進行彎扭屈曲分析，推導截面連續(xù)梁發(fā)生彎扭屈曲時的臨界彎矩公式，運用ANSYS有限元軟件對10根雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續(xù)梁進行特征值屈曲分析，對比屈曲臨界彎矩的數值解與理論解，討論換算截面法的適用性。結果表明：理論解與有限元解之間具有較高的吻合度，最大誤差不超過3%。換算截面法的計算結果與實際結果差別較大，并不適用于工字形鋼—混組合連續(xù)梁彎扭屈曲問題的計算。

組合結構； 彎扭屈曲； 板梁理論； 雙跨鋼—混組合梁； 換算截面法

0 引言

鋼—混組合梁作為組合結構體系中重要橫向承重構件，在建筑及橋梁結構等領域具有廣闊的應用前景。相較于鋼筋混凝土結構，它具有自重輕、抗震性能良好、可減小構件截面尺寸、節(jié)約基礎造價等優(yōu)點；與鋼結構相比，具備提高構件的穩(wěn)定性、增強抗火性和耐久性等優(yōu)勢[1-3]。

人們研究鋼—混組合梁的抗彎、抗剪力學性能。聶建國等完成2根鋼—混組合梁加寬混凝土T梁構件的抗彎力學性能試驗，組合梁與混凝土T梁呈現(xiàn)典型的彎曲破壞，構件的抗彎承載力等于單個混凝土T梁與組合梁抗彎承載力之和，加寬后的構件整體性能良好[4]。為研究腹板開口的鋼—混組合連續(xù)梁的抗剪性能，Li L等進行5根腹板開口的鋼—混組合連續(xù)梁和1根腹板不開口的鋼—混組合連續(xù)梁試驗，腹板開口不僅降低組合截面連續(xù)梁的剛度和極限承載力，而且引起腹板開口區(qū)域的鋼梁橫截面與混凝土板之間的垂直剪力重分布。對于腹板開口的鋼—混組合連續(xù)梁，在腹板開口區(qū)域不滿足平面假設，連續(xù)梁將以開口區(qū)域的混凝土板發(fā)生剪切破壞而失效，剪切承載力成為控制設計的關鍵因素[5]。

人們研究鋼—混凝土組合梁的畸變屈曲。Henriques D等提出一種計算精確且高效的廣義梁理論(GBT)有限元，研究鋼—混組合梁抵抗負彎曲時的畸變屈曲和局部屈曲問題，證明有限元的正確性[6]。Zhou W等研究負彎矩作用下工字形鋼—混組合梁下翼緣的等效橫向約束剛度和扭轉約束剛度，提出鋼—混組合梁臨界屈曲應力公式，并通過ANSYS有限元軟件驗證方法的正確性[7]?；趶椥缘鼗鶋簵U方法和一種考慮腹板參與的Svensson壓桿改進模型，葉繼紅等研究鋼—混組合連續(xù)梁彈性約束畸變屈曲，推導兩種變軸力穩(wěn)定計算表達式，借助有限元軟件分析該方法用于鋼—混組合連續(xù)梁約束畸變屈曲的求解精度，并引入等效彎矩假設，簡化連續(xù)組合梁彈性約束畸變屈曲的計算[8]?；诶锲澞芰糠ㄅc彈性板件理論，劉沐宇等推導鋼—混組合梁腹板彈性轉動約束系數計算公式，以及邊界彈性轉動約束的腹板剪切臨界屈曲應力計算公式[9]?；谠囼?，劉洋等建立組合梁非線性有限元模型，研究鋼—混組合梁在負彎矩作用下的畸變屈曲問題，對組合梁畸變屈曲及受彎承載力進行參數分析，提出考慮影響參數，以及側向彎曲屈曲、側向彎扭屈曲兩種失穩(wěn)模式的受彎承載力計算公式[10]。

目前，關于鋼—混組合梁在彎扭屈曲方面的研究較少。筆者對雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續(xù)梁的彎扭屈曲問題進行理論和有限元分析。首先基于板梁理論，在均布荷載作用下，推導雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續(xù)梁發(fā)生彎扭屈曲時的臨界彎矩總勢能表達式；然后利用勢能駐值原理，求得雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續(xù)梁臨界彎矩的解析解，利用1stOpt軟件得到臨界彎矩計算公式，討論換算截面法的適用性問題；最后采用ANSYS有限元軟件建立10根組合截面雙跨連續(xù)梁模型，進行特征值屈曲分析，并對比屈曲臨界彎矩的數值解與理論解。

1 總勢能推導

1.1 板梁理論及問題描述

板梁理論是對薄壁構件的組合扭轉和彎扭屈曲問題提出的[11-18]。理論采用三條假設：剛周邊假設、板變形假設和梁變形假設，即分別采用Kirchhhoff薄板理論和Euler梁理論，定量描述板件平面外變形和平面內變形，其中板件平面外變形遵守Vlasov的剛周邊假設。采用板梁理論，求解均布荷載作用下雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續(xù)梁的彈性彎扭屈曲問題(見圖1)，其截面尺寸及變形見圖2。其中，L為連續(xù)梁總跨度，q為均布荷載，bf為混凝土翼緣寬度，tf為翼緣厚度，h為上、下翼緣形心間距離，hw為腹板凈高，tw為腹板厚度，s為截面剪切中心，u為截面的側向位移，θ為截面的扭轉角。

圖1 均布荷載作用下連續(xù)梁受力分析Fig.1 Force analysis of continuous beams subjected to uniform load

圖2 模型截面尺寸及截面彎扭變形Fig.2 Section dimension and its flexural-torsional deformation of the model

1.2 勢能表達式

(1)腹板應變能。腹板應變能由平面外應變能和平面內應變能組成，由于腹板內彎曲的應變能值為零，則腹板的應變能為

(1)

(2)上、下翼緣應變能。上翼緣平面內彎曲的應變能為

(2)

上翼緣平面外彎曲的應變能為

(3)

(3)上、下翼緣的總應變能為

(4)

若令

(5)

為截面繞弱軸的抗彎剛度，

(6)

為約束扭轉剛度(或翹曲剛度)，

(7)

為自由扭轉剛度，則總應變能可表達為

(8)

(4)總初應力勢能為

(9)

(5)荷載勢能為

(10)

式中：a為荷載作用位置參數，由截面剪心s的y坐標值減去橫向荷載作用點的y坐標值得到。

(6)總勢能為應變能、初應力勢能及荷載勢能之和，即

(11)

利用分部積分得：

(12)

將式(12)代入式(11)得

(13)

式(13)是以雙變量(u,θ)表達的雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續(xù)梁彈性彎扭屈曲的總勢能。在簡支梁的情況下，可證式(13)與經典的Bleich能量方程一致。此時

(14)

若引入關系

(15)

則式(12)轉化為單變量形式總勢能

(16)

2 臨界彎矩解析解

根據單變量總勢能方程(16)，以傅里葉級數形式表達模態(tài)試函數[19-20]，對均布荷載作用下的雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續(xù)梁的彈性彎扭屈曲問題進行求解。首先選取模態(tài)試函數

(17)

式中：θ(z)為連續(xù)梁發(fā)生屈曲時截面的扭轉角；Bm為無量綱待定系數(廣義坐標)。

(18)

屈曲方程式可表達為

(19)

式(19)是一個關于量綱一的屈曲彎矩的二次特征值問題。若引入狀態(tài)變量，可將它轉換為線性特征值問題(推導略)，則式(19)的臨界屈曲彎矩可解。

(20)

3 換算截面法適用性

3.1 換算截面法

在鋼—混組合梁的抗彎計算中，換算截面法被廣泛使用，它將多種材料的問題轉換成一種材料的問題，計算過程由繁變簡，然而等效截面法并不適用于梁的屈曲分析[21-22]。

換算截面法的基本思想是以材料的拉壓剛度作為換算依據，則

E1A1=E2A2,

(21)

若保持截面混凝土翼緣的厚度不變，只換算寬度，則換算后的等效翼緣寬度為

(22)

式中：bse為等效鋼翼緣寬度；bc為混凝土翼緣寬度；Ec、Es分別為混凝土和鋼的彈性模量。

3.2 適用性

根據工字形組合梁的約束扭轉剛度計算公式，若僅考慮翼緣的約束扭轉剛度，則有

(23)

兩者比值為

(24)

式中：(EIω)se為等效的截面繞弱軸的抗彎剛度。

由于混凝土的彈性模量取為30～38 GPa，鋼材彈性模量取為206 GPa，則由式(24)求解可知，組合梁實際的約束扭轉剛度是換算截面法算得的約束扭轉剛度的28.5～45.8倍。若采用換算截面法，將嚴重低估鋼—混組合梁的約束扭轉剛度，進而低估臨界彎矩。

4 驗證

4.1 有限元模型

采用shell63單元模擬雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續(xù)梁。該單元為彈性殼，具有彎矩和薄膜特性，每個節(jié)點6個自由度，即沿x、y、z方向的平動和繞x、y、z方向的轉動。翼緣采用強度等級為C40的混凝土，彈性模量為32.5 GPa，泊松比為0.2；鋼腹板的彈性模量為206 GPa，泊松比為0.3；腹板和翼緣采用共用節(jié)點聯(lián)結。劃分網格時，沿腹板高度劃分8個單元，沿長度方向劃分240個單元，沿翼緣寬度劃分8個單元。在有限元模型中，使用“CERIG”命令建立約束方程實現(xiàn)剛周邊假設，以保證截面各部分協(xié)同轉動(見圖3)。邊界條件需要模擬夾支，即限制A、B、C三個支座沿x、y軸方向的平動，限制支座A沿z軸方向的平動(見圖4)。

圖3 有限元模型剛周邊模擬Fig.3 Simulation of peripheral rigidity hypothese in the finite element model

4.2 有限元模型驗證

基于文獻[23]的橫向均布荷載作用下簡支梁的臨界彎矩公式進行驗證，表達式為

(25)

式中：a為荷載作用位置；βy為不對稱截面系數；Jk為自由扭轉常數。

根據文獻[20]且考慮雙軸對稱截面，式(25)可化簡為量綱一的表達式

(26)

圖4 有限元模型邊界條件模擬Fig.4 Simulation of boundary conditions in the finite element model

將式(5-7)代入式(26)求解橫向均布荷載作用下簡支梁的臨界彎矩，與有限元模型求解的臨界彎矩進行對比(見表1)。由表1可見，有限元模型求解的臨界彎矩與式(26)求解的臨界彎矩接近，最大相對誤差為0.77%，說明有限元模型是可靠的。

表1 式(26)與有限元模型求解的臨界彎矩

4.3 理論公式驗證

基于有限元模型，選取10根雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續(xù)梁構件進行有限元特征值屈曲分析，參數見表2。

表2 組合連續(xù)梁截面參數

彈性特征值屈曲分析步驟：首先對模型進行靜力分析，獲得模型的幾何剛度矩陣；然后進行特征值屈曲求解，得到模型的一階屈曲模態(tài)，進而得到雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續(xù)梁的屈曲荷載。模型的一階屈曲模態(tài)和相應的截面變形見圖5。

求解10根雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續(xù)梁的量綱一的屈曲臨界彎矩的有限元解和理論解(見表3)。根據表3結果，式(20)求解的量綱一的屈曲臨界彎矩(即理論解)與有限元模型求解的之間最大相對誤差為2.83%，說明理論公式的正確性。

4.4 換算截面法適用性驗證

對換算截面后的雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續(xù)梁進行特征值屈曲分析，結果見表4。由表4可見，有限元求解的組合截面屈曲臨界彎矩是相應換算截面的5～12倍，且隨著量綱一的扭轉剛度參數的增大，兩者差距整體上逐漸增大。相較于板梁理論，換算截面法大幅低估工字形鋼—混組合雙跨連續(xù)梁的臨界彎矩，導致設計方案不經濟。因此，換算截面法并不適用于屈曲問題分析。

圖5 一階屈曲模態(tài)和截面變形Fig.5 First-order buckling modes and section deformations

K量綱一的屈曲臨界彎矩臨理論解(式(20))有限元解相對誤差/%荷載q/(kN·m-1)1．5078．748．562．13141．391．2069．139．050．9461．221．0059．609．580．2231．270．86310．149．862．83525．290．86110．1510．18-0．3317．940．75310．7610．85-0．7711．200．69011．2611．101．38242．290．57512．5612．520．34131．770．49314．0314．07-0．2779．951．50715．6515．76-0．6952．48

表4 組合截面與換算截面的有限元解

5 結論

(1)基于板梁理論，推導雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續(xù)梁的能量表達式，并給出相應的量綱一屈曲臨界彎矩公式。

(2)運用ANSYS有限元軟件，分析10根雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續(xù)梁，得到發(fā)生彎扭屈曲時的臨界彎矩有限元解，將有限元解與理論解進行對比，最大相對誤差為2.83%，說明理論公式的正確性，也證明板梁理論是一種簡便且實用的新工程理論。

(3)采用換算截面法計算屈曲問題過于保守，導致設計方案不經濟，不適用于工字形鋼—混組合連續(xù)梁的屈曲分析。

[1] 聶建國,余志武.鋼—混凝土組合梁在我國的研究及應用[J].土木工程學報,1999,32(2):3-8. Nie J G, Yu Z W. Research and practice of composite steel-concrete beams in China [J]. China Civil Engineering Journal, 1999,32(2):3-8.

[2] 聶建國,樊健生.《鋼結構設計規(guī)范》(GB 50017—2002)鋼—混凝土組合梁修訂內容介紹[J].建筑結構學報,2003,24(1):34-39. Nie Jianguo, Fan Jiansheng. Introduction of the revised composite steel-concrete beams in China design code of steel structures(GB 50017—2002) [J]. Journal of Building Structures, 2003,24(1):34-39.

[3] 聶建國,陶慕軒,吳麗麗,等.鋼—混凝土組合結構橋梁研究新進展[J].土木工程學報,2012,45(6):110-122. Nie Jianguo, Tao Muxuan, Wu Lili, et al. Advances of research on steel-concrete composite bridges [J]. China Civil Engineering Journal, 2012,45(6):110-122.

[4] 聶建國,張曉光,樊健生.鋼—混凝土組合梁加寬混凝土舊橋試驗[J].中國公路學報,2010,23(5):35-43. Nie Jianguo, Zhang Xiaoguang, Fan Jiansheng. Experiment on old concrete bridge widened with steel-concrete composite beams [J]. China Journal of Highway and Transport, 2010,23(5):35-43.

[5] Li L, Zhou D, Liao W, et al. Experimental study on shear bearing behavior of continuous steel-concrete composite beams with web openings [J]. International Journal of Steel Structures, 2015,15(4):989-997.

[6] Henriques D, Gon?alves R, Camotim D. GBT-based finite element to assess the buckling behaviour of steel-concrete composite beams [J]. Thin-Walled Structures, 2016,107:207-220.

[7] Zhou W, Li S. Huang Z, et al. Distortional buckling of I-steel concrete composite beams in negative moment area [J]. Steel & Composite Structures, 2016,20(1):57-70.

[8] 葉繼紅,陳偉.工字鋼—混凝土組合梁彈性約束畸變屈曲研究[J].建筑結構學報,2011,32(6):82-91. Ye Jihong, Chen Wei. Elastic restrained distortional buckling of I-steel-concrete composite beams [J]. Journal of Building Structures, 2011,32(6):82-91.

[9] 劉沐宇,陳齊風,張強.彈性轉動約束的鋼—混組合梁腹板剪切屈曲試驗研究[J].土木工程學報,2015,48(10):70-79. Liu Muyu, Chen Qifeng, Zhang Qiang. Experiment on wed buckling in steel-concrete composite girder considering elastic rotational restraint boundary under shear [J]. China Civil Engineering Journal, 2015,48(10): 70-79.

[10] 劉洋,童樂為,孫波,等.負彎矩作用下鋼—混凝土組合梁受力性能有限元分析及受彎承載力計算[J].建筑結構學報,2014,35(10):10-20. Liu Yang, Tong Lewei, Sun Bo, et al. FEA and bending capacity calculation for mechanical behavior of steel-concrete composite beams under negative bending [J]. Journal of Building Structures, 2015,35(10):10-20.

[11] 張文福.工字形軸壓鋼柱彈性彎扭屈曲的新理論[J].工業(yè)建筑,2015,45 (增刊):725-735. Zhang Wenfu. New engineering theory for elastic flexural-torsional buckling of steel-concrete composite I-columns [J]. Industrial Construction, 2015,45(Supp.):725-735.

[12] Zhang W F. New engineering theory for torsional buckling of steel-concrete composite I-columns [C]//Proc. of the 11th International Conference on Advances in Steel and Concrete Composite Structures. Beijing, 2015.

[13] 張文福.狹長矩形薄板扭轉與彎扭屈曲的新理論[J].工業(yè)建筑,2015,45(增刊):1728-1743. Zhang Wenfu. New engineering theory for torsional and flexural-torsional buckling of narrow rectangular plate [J]. Industrial Construction, 2015,45(Supp.):1728-1743.

[14] 張文福.鋼—混凝土薄壁箱梁的組合扭轉理論[C]//第六屆全國鋼結構工程技術交流會.南京,2016. Zhang Wenfu. Theory of combined torsion of steel-concrete composite thin-walled box beams [C]//Proceedings of the 6th National Conference on Steel Structure Engineering Technology. Nanjing, 2016.

[15] 張文福.基于連續(xù)化模型的矩形開孔蜂窩梁組合扭轉理論[C]//第六屆全國鋼結構工程技術交流會論文集.南京,2016. Zhang Wenfu. Combined torsion theory of rectangular open cell beams based on continuous model [C]//Proceedings of the 6th National Conference on Steel Structure Engineering Technology. Nanjing, 2016.

[16] 張文福,陳克珊,宗蘭,等.方鋼管混凝土翼緣工字形梁扭轉剛度的有限元驗證[C]//第25屆全國結構工程學術會議論文集(第Ⅰ冊).包頭,2016. Zhang Wenfu, Chen Keshan, Zong Lan, et al. Finite element verification of torsional rigidity of I-shaped beams with square concrete-filled steel tubular flanges [C]//Proceedings of the 25th National Conference on Structural Engineering (Volume I). Baotou, 2016.

[17] 張文福,陳克珊,宗蘭,等.方鋼管混凝土自由扭轉剛度的有限元驗證[C]//第25屆全國結構工程學術會議論文集(第Ⅰ冊).包頭,2016. Zhang Wenfu, Chen Keshan, Zong Lan, et al. Finite element verification of uniform torsional rigidity of square concrete-filled steel tubes [C]//Proceedings of the 25th National Conference on Structural Engineering(Volume Ⅰ). Baotou, 2016.

[18] Zhang W F. New Engineering Theory for mixed torsion of steel-concrete-steel composite walls [C]//The 11th International Conference on Advances in Steel and Concrete Composite Structures. Beijing, 2015.

[19] 張文福,杜娟,劉迎春,等.索桁架組合體系的固有振動能量變分解[J].東北石油大學學報,2013,37(5):103-108. Zhang Wenfu, Du Juan, Liu Yingchun, et al. Energy variational solution for the nature vibration of the cable-trusses combination system [J]. Journal of Northeast Petroleum University, 2013,37(5):103-108.

[20] 柳凱議.雙跨鋼梁的屈曲分析與應用[D].大慶:大慶石油學院,2009. Liu Kaiyi. Elastic lateral buckling and application of double span continuous beams [D]. Daqing: Daqing Petroleum Institute, 2009.

[21] 張文福,陳克珊,宗蘭,等.鋼—混凝土組合梁扭轉剛度的有限元驗證[C]//第25屆全國結構工程學術會議論文集(第Ⅱ冊).包頭,2016. Zhang Wenfu, Chen Keshan, Zong Lan, et al. Finite element verification of torsional rigidity of steel-concrete composite beams [C]// Proceedings of the 25th National Conference on Structural Engineering(Volume Ⅱ). Baotou, 2016.

[22] 張文福,付燁,劉迎春,等.工字形鋼—混組合梁等效截面法的適用性問題[C]//第24屆全國結構工程學術會議論文集(第Ⅱ冊).廈門,2015. Zhang Wenfu, Fu Ye, Liu Yingchen, et al. Applicability problem of equivalent section method for I-shaped steel-concrete composite beam [C]// Proceedings of the 24th National Conference on Structural Engineering(Volume Ⅱ). Xiamen, 2015.

[23] 陳驥.鋼結構穩(wěn)定理論與設計[M].北京:科學出版社,2012:306-307. Chen Ji. Stability of steel theory and design [M]. Beijing: Science Press, 2012:306-307.

2017-05-25；編輯：任志平

國家自然科學基金項目(51178087,51578120)；中國石油科技創(chuàng)新基金研究項目(2016D-5007-0608)；東北石油大學校青年科學基金項目(NEPUQN2014-25)；南京工程學院科研基金項目(YKJ201617)；國家自然科學基金東北石油大學校培育基金項目(NEPUPY-1-16)；東北石油大學校級研究生創(chuàng)新科研項目(YJSCX2016-031NEPU)；黑龍江省教育廳科研專項經費東北石油大學優(yōu)勢科研方向凝練基金項目(2016YSFX-02)；黑龍江省大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練重點項目(201610220015)

張文福(1965-)，男，博士，博士生導師，教授，主要從事結構工程、工程抗風、抗震及抗火方面的研究。

鄧 云, E-mail: dynepu@163.com

TU398+.9

A

2095-4107(2017)04-0107-09

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2017.04.012