翟彥春, 梁 森, 付小靜

(1. 濰坊科技學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院， 山東 壽光 262700；2. 青島理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 山東 青島 266000)

嵌入式共固化復(fù)合材料夾芯板結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)

翟彥春1，2, 梁 森2, 付小靜2

(1. 濰坊科技學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院， 山東 壽光 262700；2. 青島理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 山東 青島 266000)

基于一階ZIG-ZAG理論和夾芯層的常復(fù)數(shù)模型，采用Navier解形式對(duì)鋪層方式為(0°/90°/0°)的薄的四邊簡(jiǎn)支三層夾芯板的自由振動(dòng)進(jìn)行分析。研究了在夾芯板總厚度不變的前提下，固有頻率隨著表層厚度的增加呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)，呈上凹拋物線狀；損耗因子值隨著表層厚度的增加呈現(xiàn)先增大后降低的趨勢(shì)，分布呈下凸拋物線狀，最大值出現(xiàn)在表層和底層厚度相等時(shí)，因此對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)夾芯板為最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)；在夾芯層厚度和位置一定的前提下，固有頻率的值隨著表層和底層厚度的增加而增大，損耗因子值隨著表層和底層厚度的增加呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢(shì)，損耗因子存在最大值，為夾芯板結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計(jì)提供參考。

復(fù)合材料；夾芯板；自由振動(dòng)；固有頻率；損耗因子

嵌入式共固化復(fù)合材料(Embedded Co-cured Composite Damping Structure，ECCDS)不但保持了原有的材料動(dòng)力學(xué)特性又提高了構(gòu)件的阻尼性能，與傳統(tǒng)材料相比具有良好的整體性能，如：熱穩(wěn)定性好、高比強(qiáng)、高比模、高阻尼及可裁剪性等等，因此在先進(jìn)工業(yè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1-2]。在實(shí)際工程中，大量的復(fù)雜幾何問(wèn)題需要用板殼理論來(lái)解釋?zhuān)瑥?fù)合材料層合板和夾芯板是目前研究的熱點(diǎn)方向。

文獻(xiàn)[3]分析了復(fù)合材料層合板的拉伸疲勞特性，為疲勞損傷演化的分析提供了依據(jù)；Yang等[4]在一階剪切變形理論基礎(chǔ)上，提出一種適用于任何邊界條件的傅里葉-里茲解(Fourier-Ritz Solution)，通過(guò)修正傅里葉級(jí)數(shù)與瑞利里茲法相結(jié)合，得到了較為精確的固有頻率和損耗因子解。文獻(xiàn)[5]基于一階ZIG-ZAG理論和Kelvin黏彈性芯材本構(gòu)特征模型，采用Navier解形式分析了四邊簡(jiǎn)支的三層夾芯板的自由振動(dòng)，探討了阻尼層參數(shù)變化對(duì)結(jié)構(gòu)固有自由振動(dòng)特性的影響。文獻(xiàn)[6]基于三階等效單層板理論，采用有限元模型對(duì)層合板和夾芯板的彎曲和振動(dòng)進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[7]基于Reddy分層理論分別對(duì)約束阻尼層合板的層間應(yīng)力和自由振動(dòng)進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[8]基于分層理論建立有限元模型，對(duì)層合板的自由振動(dòng)和阻尼優(yōu)化進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[9]提出面向任意邊界條件和任意非均勻載荷下的角鋪設(shè)層合板的彎曲和應(yīng)力分析的等效單層板理論。文獻(xiàn)[10]對(duì)三層復(fù)合材料夾芯板的振動(dòng)和阻尼進(jìn)行分析，用虛位移原理得到了自由振動(dòng)的關(guān)于截面力和力矩的本構(gòu)方程，以及相關(guān)的邊界條件，使用廣義微分積分法求解上述特征方程，得到頻率和損耗因子值。

目前四邊簡(jiǎn)支三層夾芯板的自由振動(dòng)研究中，重點(diǎn)在夾芯板平衡方程的理論模型推導(dǎo)、求解平衡方程和材料物理參數(shù)對(duì)自由振動(dòng)的影響等等，鮮有相關(guān)文獻(xiàn)探究薄的四邊簡(jiǎn)支夾芯板的最優(yōu)結(jié)構(gòu)布置形式。由于目前復(fù)合材料夾芯板在實(shí)際工程中的大量應(yīng)用，因而有必要探究薄夾芯板的最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

為了探究薄夾芯板的最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，本文基于一階ZIG-ZAG理論和夾芯層常復(fù)數(shù)模型，采用Navier解形式對(duì)鋪層方式為(0°/90°/0°)的薄四邊簡(jiǎn)支三層夾芯板的自由振動(dòng)進(jìn)行分析，得到的結(jié)論可為三層薄夾芯板的最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供參考。研究了在夾層板總厚度不變的前提下，芯層不同位置對(duì)固有頻率和損耗因子的影響，以及在夾芯層厚度和位置一定的前提下，研究了表層和底層不同厚度對(duì)固有頻率和損耗因子的影響。

1 夾芯板控制方程的推導(dǎo)及求解

1.1 基本假設(shè)

為了推導(dǎo)鋪層為(0°/90°/0°)的薄的四邊簡(jiǎn)支三層夾芯板的控制方程及各運(yùn)動(dòng)關(guān)系，我們做出如下假設(shè)：層間界面無(wú)滑移；表層和底層板均為正交對(duì)稱(chēng)各向異性層合板，位移符合基爾霍夫假設(shè)；垂直于板面方向的變形忽略不計(jì)，即εz=0；黏彈層板為正交鋪設(shè)層合板，只考慮剪切變形且剪切模量為常復(fù)數(shù)形式，泊松比為常數(shù)。

為了建立夾芯板的位移坐標(biāo)系，規(guī)定各層板的Z向坐標(biāo)以各層板的中面為基準(zhǔn)。復(fù)合材料夾芯板的幾何結(jié)構(gòu)及尺寸，如圖1所示；位移坐標(biāo)及面內(nèi)位移關(guān)系圖，如圖2所示。

圖1 夾芯板的幾何結(jié)構(gòu)及尺寸Fig.1 Geometry and configuration of the sandwich plate

圖2 夾芯板的面內(nèi)位移Fig.2 In-plane displacement of sandwich plate

1.2 位移-應(yīng)變關(guān)系

根據(jù)所做出的假設(shè)和坐標(biāo)系規(guī)定，表層和底層板的位移表達(dá)式為

(1)

根據(jù)層間界面無(wú)滑移的假設(shè)條件，夾芯層中面位移表達(dá)式為

(2)

式中：u2，v2分別為夾芯層中面位移；α2，β2分別為夾芯層法線相對(duì)于x、y軸的轉(zhuǎn)角。

進(jìn)而可以推導(dǎo)出夾芯層的位移表達(dá)式為

(3)

第i層的位移-應(yīng)變關(guān)系表達(dá)式為

(4)

式中，i=1,2,3。

1.3 截面法向力、剪力、彎矩的表達(dá)式

阻尼層的剪力表達(dá)式為

(5)

則表層和底層板上的法向力和彎矩的表達(dá)式為

(6)

(7)

1.4 復(fù)合材料夾芯板控制方程的推導(dǎo)

(8)

1.5 復(fù)合材料夾芯板控制方程的求解

四邊簡(jiǎn)支復(fù)合材料夾芯板的自由振動(dòng)邊界條件為

x=0,a:

項(xiàng)目施工實(shí)際安全保障水平是項(xiàng)目安全狀態(tài)在考核期內(nèi)的量化體現(xiàn)。安全保障水平越高，項(xiàng)目越安全，發(fā)生安全事故的可能性就越小。以施工安全保障水平指標(biāo)評(píng)價(jià)體系為基礎(chǔ)，對(duì)各項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行定量和定性分析，獲得項(xiàng)目施工實(shí)際安全保障水平。

y=0,b:

i=1,3。

采用Navier型解法，滿足四邊簡(jiǎn)支邊界條件的位移函數(shù)表達(dá)式為

u1(x,y,t)=U1cos(nπx/a)sin(mπy/b)eiω*t

v1(x,y,t)=V1sin(nπx/a)cos(mπy/b)eiω*t

w(x,y,t)=Wsin(nπx/a)sin(mπy/b)eiω*t

u3(x,y,t)=U3cos(nπx/a)sin(mπy/b)eiω*t

v3(x，y,t)=V3sin(nπx/a)cos(mπy/b)eiω*t

(9)

M[-(ω*)2]X=(K+jC)X

(10)

式中：M為質(zhì)量矩陣;(K+jC)為剛度矩陣;X=(U1,U3,V1,V3,W)T。

板的圓頻率和損耗因子按式(11)計(jì)算[11]

(11)

2 實(shí)例分析

2.1 數(shù)值計(jì)算

為了檢驗(yàn)所推導(dǎo)的公式的正確性,分別計(jì)算文獻(xiàn)[11]中的(0/90/0)鋪設(shè)的四邊簡(jiǎn)支夾芯板的振動(dòng)頻率和損耗因子，材料參數(shù)分別見(jiàn)表1和表2，并與文獻(xiàn)值對(duì)照。

表1 材料參數(shù)

表2 材料參數(shù)

表3和表4列出了本文計(jì)算的頻率和損耗因子與文獻(xiàn)[11]中的數(shù)據(jù)的對(duì)比，可以看出固有頻率的誤差在7%以內(nèi)，1～3階損耗因子的誤差在5%以內(nèi)，4階損耗因子誤差9.8%。表4中的誤差較大是因?yàn)槭?8)基于經(jīng)典層合板理論，忽略了剪切變形的影響，而表4中的數(shù)據(jù)是基于高階剪切變形理論，考慮了剪切變形對(duì)頻率和損耗因子的影響，從整體看計(jì)算結(jié)果說(shuō)明所推導(dǎo)的公式是正確和可靠的。

表3 固有頻率和損耗因子計(jì)算結(jié)果

表4 固有頻率和損耗因子計(jì)算結(jié)果

2.2 表層和底層厚度和一定條件下，改變夾芯層中面位置

從圖3中可以看出，不同模態(tài)下的損耗因子值隨著夾芯層位置下移(表層厚度的增加)呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢(shì)，呈上凸拋物線狀，最大值出現(xiàn)在表層和底層厚度相等時(shí)，即h1=h3，夾芯板為對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，之后逐漸降低，這是因?yàn)樵趯?duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)下，夾芯層會(huì)產(chǎn)生最大的剪應(yīng)力來(lái)消耗振動(dòng)，因此在夾芯板的設(shè)計(jì)中對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)為最佳設(shè)計(jì)，損耗因子值為最大值。從圖4中可以看出，固有頻率隨著夾芯層位置下移(表層厚度的增加)呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)，呈上凹拋物線狀，最小值出現(xiàn)在表層和底層厚度相等時(shí)，即h1=h3。綜合說(shuō)明對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)夾芯板在幾和尺寸不變的前提下具有最大損耗因子和最小固有頻率，為最佳設(shè)計(jì)。

圖3 損耗因子隨夾芯層中面位置變化(h1+h3為定值)Fig.3 Variation of the loss factor with mid-plane of h2(constant h1+h3)

圖4 固有頻率隨夾芯層中面位置變化(h1+h3為定值)Fig.4 Variation of the frequency with mid-plane of h2(constant h1+h3)

2.3 夾芯層厚度和位置一定的前提下，同時(shí)改變表層和底層厚度

從圖5和圖6中可以看出，在夾芯層厚度和位置一定的前提下，固有頻率的值隨著表層和底層厚度的增加而增大，1階損耗因子的值隨著表層和底層厚度的增加而增加，達(dá)到最大值后基本保持不變，但是2～4階損耗因子的值隨著表層和底層厚度的增加呈現(xiàn)非常明顯的先增加后減小的趨勢(shì)，1～4階損耗因子都存在最大值。

圖5 損耗因子隨表層厚度h1的變化(h1=h3)Fig.5 Variation of the loss factor with h1(h1=h3)

圖6 固有頻率隨表層厚度h1的變化(h1=h3)Fig.6 Variation of the frequency with h1(h1=h3)

3 結(jié) 論

本文基于一階ZIG-ZAG理論和夾芯層的常復(fù)數(shù)模型，采用Navier解形式對(duì)鋪層方式為(0°/90°/0°)的薄的四邊簡(jiǎn)支三層夾芯板的自由振動(dòng)進(jìn)行分析。結(jié)果表明：

(1)在夾芯板厚度不變的前提下，固有頻率隨著表層厚度的增加呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)，呈上凹拋物線狀，最小值出現(xiàn)在表層和底層厚度相等時(shí)；不同頻率下的損耗因子的變化情況具有很高的一致性，損耗因子值隨著表層厚度的增加呈現(xiàn)先增大后降低的趨勢(shì)，分布呈拋物線狀，最大值出現(xiàn)在表層和底層厚度相等時(shí)，因此對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)夾芯板的損耗因子最大。

(2)在夾芯層厚度和位置都不變的前提下，固有頻率的值隨著表層和底層厚度的增加而增大，一階損耗因子的值隨著表層和底層厚度的增加而增加，達(dá)到最大值后基本保持不變，但是2～4階損耗因子值隨著表層和底層厚度的增加呈現(xiàn)非常明顯的先增加后減小的趨勢(shì)，1～4階損耗因子都存在最大值。

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Free vibration of a embedded co-cured composite sandwich plate

ZHAI Yanchun1,2, LIANG Sen2, FU Xiaojing2

(1. College of Mechanical Engineering, Weifang University of Science and Technology, Shouguang 262700,China;2. College of Mechanical Engineering, Qingdao Technological University, Qingdao 266000, China)

Analysis of free vibration of a thin composite sandwich plate with four simply supported edges and (0°/90°/0°) laying-up was conducted using the Navier solution based on the first-order ZIG-ZAG theory and a constant complex model. On the condition that the thickness of the total plate remained unchanged, nature frequency that tended to go from descent to ascent with the increase of the thickness of surface layer presented a concave parabolic distribution; loss factor that tended to go from increase to decrease with the ascent of the thickness of surface layer presented a concave parabolic distribution. So the symmetrical structure sandwich plate is the optimal structure design. On the condition that thickness and location of viscoelastic layer remains as constants, the natural frequencies can be improved with the increase of thickness of the surface layer; loss factor tended to go from increase to decrease with the ascent of the thickness of the surface layer and presented a parabolic distribution. All of this can provide the reference for the optimal design of sandwich plate structure.

embedded co-cured composite; sandwich plate; free vibration; natural frequency; loss factor

國(guó)家自然科學(xué)基金(51375248)

2016-05-13 修改稿收到日期： 2016-09-21

翟彥春 男，博士生，1984年11月生

梁森 男，博士，教授，1962年6月生

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.16.036