劉毓希， 高欽和， 牛海龍， 程祥瑞

(火箭軍工程大學(xué) 兵器發(fā)射理論與技術(shù)軍隊重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 西安 710025)

杠桿平衡式起豎機(jī)構(gòu)的建模與運(yùn)動軌跡規(guī)劃

劉毓希， 高欽和， 牛海龍， 程祥瑞

(火箭軍工程大學(xué) 兵器發(fā)射理論與技術(shù)軍隊重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 西安 710025)

針對特種車輛起豎過程中多級缸換級負(fù)載沖擊大等問題，采用單級缸驅(qū)動的杠桿平衡式起豎機(jī)構(gòu)，并建立了該機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出機(jī)構(gòu)輸入與輸出之間的表達(dá)關(guān)系式；針對機(jī)構(gòu)不同的運(yùn)動情況對整體性能影響大的問題，提出采用正向規(guī)劃和逆向求解規(guī)劃的運(yùn)動軌跡規(guī)劃方法，并分析了這兩種方法在不同場合下的適用情況。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該方法所建立的數(shù)學(xué)模型是正確的，且電動缸伸出長度與起豎角度有直接的數(shù)學(xué)關(guān)系；電動缸的運(yùn)動速度與負(fù)載的起豎角速度有間接的比例關(guān)系，這說明在無傳感器的情況下就可以監(jiān)測負(fù)載的運(yùn)動狀況，為起豎機(jī)構(gòu)運(yùn)動規(guī)劃時臨界條件的判斷以及今后的研究提供了重要的理論參考依據(jù)；正向軌跡規(guī)劃有利于機(jī)構(gòu)的快速起豎和減少最大輸出功率，逆向軌跡規(guī)劃有利于機(jī)構(gòu)的平穩(wěn)起豎。

杠桿平衡式起豎機(jī)構(gòu)；數(shù)學(xué)建模；運(yùn)動軌跡規(guī)劃；無傳感器測量

隨著車載大型特種車輛多電化技術(shù)的不斷發(fā)展與成熟，車載大型電驅(qū)動快速垂直起豎發(fā)射系統(tǒng)已成為了最近研究的熱點(diǎn)[1]。傳統(tǒng)的起豎機(jī)構(gòu)一般采用直推式起豎，驅(qū)動缸行程長，起豎過程中沖擊大，從而降低起升速度，影響導(dǎo)彈發(fā)射的生存能力[2-4]，因此本文提出了杠桿平衡式起豎機(jī)構(gòu)，能夠縮短電動缸行程，達(dá)到快速起豎的目的[5-6]。杠桿平衡式起豎機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，一般都采用虛擬軟件仿真分1析，缺乏數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)計算，在對機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)特性進(jìn)行深入研究時缺乏理論指導(dǎo)，分析不夠透徹；此外，起豎機(jī)構(gòu)的運(yùn)動軌跡規(guī)劃一般分為兩種：正向規(guī)劃和逆向規(guī)劃，傳統(tǒng)的起豎機(jī)構(gòu)運(yùn)動曲線規(guī)劃一般采用逆解的方法，先已知負(fù)載的起豎角加速度，反推起豎力大小，其軌跡規(guī)劃主要是考慮負(fù)載的最大速度、最大加速度以及最大沖擊等因素[7-9]，著重傾向于運(yùn)動過程中的平穩(wěn)性，對起豎時間和功率沒有優(yōu)化，隨著大型電動缸制造技術(shù)的不斷發(fā)展和完善，大推力電動缸應(yīng)運(yùn)而生，起豎推力的大小已不再是限制起豎機(jī)構(gòu)運(yùn)動的瓶頸，因此，在滿足負(fù)載可承受最大加速度的情況下，提高負(fù)載在初始階段的加速度和末端的最大減速度能夠?qū)崿F(xiàn)導(dǎo)彈的快速垂直起豎。

針對上述背景，本文通過平面坐標(biāo)系建立了杠桿平衡式機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，為了解決中間過程計算量大的問題，首先通過Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真，然后采取多項(xiàng)式擬合的方法(Curve Fitting工具箱)對輸入與輸出的關(guān)系式進(jìn)行數(shù)值擬合，從而減少了系統(tǒng)每次運(yùn)行時繁瑣的計算量，對機(jī)構(gòu)的特性研究提供了很大方便。本文主要是建立電動缸的伸出長度與起豎角度的對應(yīng)關(guān)系，然后通過數(shù)學(xué)運(yùn)算推導(dǎo)出伸出速度與起豎角速度的對應(yīng)關(guān)系，對于起豎機(jī)構(gòu)的運(yùn)動情況分析有很大的實(shí)際意義，即只需要知道電機(jī)的轉(zhuǎn)速就能解算出起豎角速度，而無需傳感器測量。

在起豎過程運(yùn)動軌跡規(guī)劃方面，本文根據(jù)以往的研究成果，分別從正向規(guī)劃求解和逆向規(guī)劃求解兩方面對比仿真分析，得出了在機(jī)構(gòu)運(yùn)行過程中兩種不同的方法產(chǎn)生的不同影響。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，表明了數(shù)學(xué)推導(dǎo)和仿真的結(jié)果是正確的。

1 建立新型起豎機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)模型

杠桿平衡式起豎機(jī)構(gòu)較直推式起豎機(jī)構(gòu)有電動缸行程短，在結(jié)構(gòu)較為緊湊的同時還可以避免使用多級缸換級帶來沖擊等問題的影響，且較于其它形式的三角臂放大起豎機(jī)構(gòu)，其舉升支點(diǎn)靠近載荷的前部，起豎力小，構(gòu)件受力狀況得到改善。杠桿平衡式舉升機(jī)構(gòu)由電動缸O1A、三角臂O2AB和連桿BC組成，其舉升運(yùn)動初始位置和中間位置如圖1所示。

圖1 杠桿平衡式舉升機(jī)構(gòu)初始和中間位置示意圖Fig.1 A schematic view of starting position and middle position on leveraged balance on lifting mechanism

電動缸伸出端作用于三角臂端點(diǎn)A，三角臂另一端點(diǎn)O2與車輛底盤鉸接，剩余一端B通過連桿作用于負(fù)載底部C。舉升過程中，電動缸推動三角臂O1繞轉(zhuǎn)動，進(jìn)而通過連桿推動負(fù)載繞O轉(zhuǎn)動。部件間的約束關(guān)系如表1所示。

表1 杠桿平衡式起豎機(jī)構(gòu)中各部件間的約束關(guān)系

以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖1所示平面直角坐標(biāo)系。用(x1,y1)表示I點(diǎn)坐標(biāo)，LJK表示桿JK長度，F(xiàn)JK表示JK方向作用力，I、J、JK可取圖中各點(diǎn)，G為負(fù)載重量，∠O1O2A=θ，∠COO3=ψ。設(shè)舉升運(yùn)動開始后經(jīng)過時間t，O2AB轉(zhuǎn)過角α至O2A′B′時，OC轉(zhuǎn)過角β至OC′。其運(yùn)動過程可以通過等式(1)進(jìn)行描述

(1)

從式(1)可以計算出：消去xB′yB′xC′yC′這四個變量，即可得到角度α及B、C點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于β的變化關(guān)系，而B、C點(diǎn)坐標(biāo)為已知的初始條件。故

β=β(α)

(2)

電動缸伸出位移

(3)

電動缸伸出速度

(4)

電動缸伸出加速度

(5)

考慮到連桿、三角臂、電動缸等構(gòu)件的質(zhì)量與各鉸接點(diǎn)摩擦力矩相對較小，故將其忽略。分別以負(fù)載和起豎臂為研究對象，由剛體的力矩平衡方程得

(6)

其中,

由式(6)可得舉升力

(7)

聯(lián)立式(1)～式(7)即可求得舉升驅(qū)動力與舉升運(yùn)動規(guī)律的關(guān)系。舉升力的大小主要受β、α兩個變量的影響。

通過式(7)可以得出對于復(fù)雜的舉升機(jī)構(gòu)而言，求解起豎力大小是非常困難的，即使是通過計算機(jī)運(yùn)算也需要花費(fèi)大量的時間，這給后續(xù)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動情況研究帶來極大不利。因此，本文通過選擇數(shù)值擬合方式簡化計算。

結(jié)合式(2)、式(7)可以看出只要規(guī)劃好α的變化規(guī)律就能求解出電動缸負(fù)載變化情況，由于α在負(fù)載起豎過程中不易測量，只能作為一個中間變量。又通過式(3)可建立α與電動缸伸出長度的變化關(guān)系，即

α=α(s)

(8)

結(jié)合式(2)式(8)可得s與β的關(guān)系

β=β(s)

(9)

綜合上述可知，只需得到伸出速度v和起豎角速度ω即可求解出起豎機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。

而電動缸的伸出速度與起豎角速度關(guān)系式又可以表示為

(10)

(11)

從式(10)和式(11)可以看出起豎角速度不僅與電動缸伸出速度有關(guān)，還與起豎角度關(guān)于伸出長度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大小有關(guān)。

同理

(12)

因此，在建立了電動缸的伸出速度與起豎角速度的關(guān)系式以后，只需知道其中的一個，便可求解出整個機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，在數(shù)值分析部分將詳細(xì)描述。

2 起豎機(jī)構(gòu)的運(yùn)動軌跡規(guī)劃

機(jī)械系統(tǒng)在運(yùn)動過程中必須要遵循的一個原則是運(yùn)行過程時盡量平滑，避免位置、速度以及加速度發(fā)生突變，其中研究較為成熟的是機(jī)器人拾放操作和連續(xù)路徑兩種典型作業(yè)的軌跡規(guī)劃，其軌跡規(guī)劃方法有多種，包括擺線運(yùn)動、分段函數(shù)、組合正弦、優(yōu)化等速曲線以及多項(xiàng)式插值方法等規(guī)劃曲線。規(guī)劃曲線的由來在一些相關(guān)參考文獻(xiàn)[10-12]中已有詳細(xì)理論推導(dǎo)過程，同時在工程上得到了廣泛應(yīng)用。起豎系統(tǒng)在起升過程中與機(jī)器人的拾放操作有著類似的運(yùn)動過程，因此在起豎機(jī)構(gòu)軌跡規(guī)劃中，根據(jù)起豎過程中的特性需求選取合適的規(guī)劃曲線。

車載大型起豎系統(tǒng)在起豎過程中的運(yùn)動軌跡規(guī)劃[13]主要有兩種思路：規(guī)劃電動缸的伸出速度[14](正向規(guī)劃起豎運(yùn)動)，主要是遵循起豎過程中電機(jī)的功率變化趨勢，起豎力大小的變化情況來規(guī)劃曲線，以達(dá)到快速起豎為目的；規(guī)劃起豎負(fù)載的角速度[15](逆向規(guī)劃起豎運(yùn)動)，主要是以負(fù)載平穩(wěn)起豎為目的。

設(shè)軌跡規(guī)劃函數(shù)為s(τ)，時間為t，起始時刻t=0，終止時刻t=T，則軌跡規(guī)劃函數(shù)為s(τ)滿足

(13)

2.1 電動缸伸出速度規(guī)劃

大型導(dǎo)彈垂直起豎過程中，伺服電動缸在初始階段起豎負(fù)載大，故電動缸的伸出速度不宜過大，以免造成大的沖擊以及最大起豎力超出電動缸的承載范圍；在起豎中間階段，起豎力慢慢變小，為了達(dá)到快速起豎的目的，在功率允許范圍內(nèi)，電動缸速度快速提升，最后以勻速伸出；結(jié)束階段，電機(jī)快速制動。(其速度變化曲線圖如圖4電動缸伸出速度(正)所示)，速度和位移規(guī)劃曲線函數(shù)如式(14)式(15)所示

(14)

(15)

2.2 負(fù)載起豎角速度規(guī)劃

紫陽道長幾乎崩潰了，因?yàn)樗耆珱]有想到內(nèi)功修為稱雄于世的天問大師竟然輸?shù)萌绱酥畱K，也在眨眼之間輸?shù)袅怂麄兊淖杂桑?/p>

該方法主要是在規(guī)劃好起豎角速度的情況下，逆推電動缸的伸出速度，從而控制起豎運(yùn)動過程。起豎角速度規(guī)劃主要是考慮負(fù)載起豎過程中的平穩(wěn)性，即導(dǎo)彈在運(yùn)動過程中角加速度連續(xù)平穩(wěn)變化，一般采用組合正弦曲線進(jìn)行角速度規(guī)劃(如圖6起豎角速度(反)所示)，其滿足的約束條件為

s(0)=0,s′(0)=0,s″(0)=0,

s(1)=1,s′(1)=0,s″(1)=0

起豎機(jī)構(gòu)角速度和位移運(yùn)動規(guī)劃曲線如式(16)式(17)所示

(16)

(17)

3 數(shù)值分析

本文將主要通過正向規(guī)劃求解和逆向規(guī)劃求解作對比仿真實(shí)驗(yàn)，其基本原理框圖如圖2所示。

圖2 兩種方法的仿真原理框圖Fig.2 The simulation block diagram of the two methods

在研究分析前需要確定的起豎機(jī)構(gòu)的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示，其中長度單位為mm；忽略起豎過程中的摩擦、風(fēng)載荷等其他不確定因素的影響。設(shè)起豎終止角度為90°，整個起豎時間為40s，則反推過程中規(guī)劃的組合正弦曲線的A2=90,k2=497.12。

表2 起豎機(jī)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)參數(shù)表

將反推規(guī)劃曲線作為輸入變量，通過積分求得起豎角度β，將其代入式(1)中求解出三角臂旋轉(zhuǎn)角度α，將α代入式(3)中即可求的電動缸伸出位移s，從而找到電動缸長度與起豎角度的數(shù)值對應(yīng)關(guān)系，得到如圖3所示的曲線，利用Matlab/Curce Fitting工具箱對兩者的數(shù)值關(guān)系擬合，得到其數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(18)式(19)所示；正向規(guī)劃求解過程與上述類似。

圖3 電動缸的長度隨角度的變化規(guī)律Fig.3 Variation of length on electric cylinders with angle

從圖中可以看出電動缸的長度與起始角度是一一對應(yīng)的關(guān)系(電動缸的初始長度為0.68 m)，利用Matlab中的Curve Fitting工具箱進(jìn)行三次多項(xiàng)式擬合得出如下關(guān)系

s=-1.025×10-7β3+1.193×10-6β2+

0.004 055β+0.679 7

(18)

β=1 697s3-3 900s2+3 230s-926.8

(19)

對式(18)、式(19)分別進(jìn)行求導(dǎo)

(20)

(21)

式中:s為電動缸總長度;β為起豎角度。

由式(18)可知當(dāng)β=90°時，s=0.298 8 m,即A1=0.298 8 m，k1=2.774；

將式(14)、式(21)代入式(11)中，可以求解出起豎角速度的變化情況ω(t)，從而得到起豎過程中起豎力以及電動缸的功率變化情況，如圖2所示,正向規(guī)劃求解；將式(16)、式(20)代入式(12)中，即可求解出電動缸運(yùn)行過程中的變化情況，直接對電機(jī)進(jìn)行控制，如圖2所示，逆向規(guī)劃求解。

通過仿真對比分析：①從圖4中得出，以起豎時間相等為約束條件，正推的最大伸出速度要小于反推的最大伸出速度(如果電動缸的最大運(yùn)行速度一樣，顯然正推規(guī)劃的方法可以節(jié)約時間，提高導(dǎo)彈的生存能力)；②從圖4、圖5中得出，在電動缸的伸出速度恒定時，起豎角速度繼續(xù)增大，表明杠桿平衡式機(jī)構(gòu)具有速度放大的特性；③從圖6中得出，正向求解電機(jī)的最大輸出功率要小于反向求解電機(jī)的最大輸出功率。

圖4 電動缸的伸出速度變化規(guī)律仿真對比圖Fig．4Variationsimulationcomparisonchartofelectriccylinderextendingspeed圖5 起豎角速度變化規(guī)律仿真對比圖Fig．5Variationsimulationcomparisonchartoftheerectionangularvelocity圖6 電機(jī)輸出功率變化規(guī)律仿真對比圖Fig．6Variationsimulationcomparisonchartofmotoroutputpower

綜合上述可知,正向規(guī)劃電動缸的伸出速度有利于機(jī)構(gòu)快速垂直起豎：在相同的時間內(nèi)，電動缸的最大運(yùn)行速度較小，且最大角速度一樣，最大消耗功率較小，如果保持兩者最大運(yùn)行速度，正向規(guī)劃方法的起豎時間將會大大縮小。逆向規(guī)劃起豎角速度的方法在導(dǎo)彈平穩(wěn)性方面有優(yōu)勢：最大角加速度小，角速度變化平穩(wěn)，適合大負(fù)載起豎系統(tǒng)。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文依托實(shí)驗(yàn)室電動缸調(diào)平起豎實(shí)驗(yàn)平臺進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，如圖7所示。實(shí)驗(yàn)平臺的尺寸機(jī)構(gòu)參數(shù)與仿真所用參數(shù)一致。實(shí)驗(yàn)平臺中電氣控制部分主要有工控機(jī)、控制卡、端子板、伺服驅(qū)動器、力傳感器、傾角傳感器、角度編碼器等器件。其控制結(jié)構(gòu)示意圖如圖8所示。

圖7 起豎調(diào)平實(shí)驗(yàn)平臺以及控制界面Fig.7 Erector leveling experimental platform and control interface

圖8 電動缸平臺整機(jī)電氣控制結(jié)構(gòu)圖Fig.8 Electrical control structure on electric cylinder platform

為了驗(yàn)證起豎機(jī)構(gòu)模型以及仿真結(jié)論的正確性，主要從兩方面進(jìn)行實(shí)驗(yàn)：電動缸伸出長度與起豎角度關(guān)系的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證；以兩種規(guī)劃思路分別對起豎機(jī)構(gòu)的電動缸伸出速度以及起豎角速度進(jìn)行規(guī)劃，從而得出兩種情況下的起豎角度變化情況以及起豎力的大小變化情況，與仿真實(shí)驗(yàn)做對比，驗(yàn)證仿真的正確性。在實(shí)驗(yàn)過程中，電動缸的速度作為輸入，兩種實(shí)驗(yàn)方法的原理框圖如圖9所示。

圖9 兩種方法的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證原理框圖Fig.9 Block diagram of the experimental verification of the two methods

利用C#編寫控制算法和界面進(jìn)行人機(jī)交換實(shí)驗(yàn)，通過絕對編碼器測量電動缸的伸出長度，通過相對編碼器測量起豎角度變化大小。其實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果對比如圖10～圖12所示。

通過上述實(shí)驗(yàn)與仿真對比可知，實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果基本保持一致，證明了本文用數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)所建立模型是正確的；從圖10中可以看出電動缸的伸出長度與起豎角度是一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系與實(shí)驗(yàn)結(jié)果是相吻合的；由于結(jié)果一致，故中間過程利用的結(jié)論也應(yīng)當(dāng)是正確的，即已知伸出速度就可以求解出起豎角速度的結(jié)論也得到了驗(yàn)證。

5 結(jié) 論

本文主要針對車載大型起豎系統(tǒng)多級缸換級產(chǎn)生振蕩沖擊的問題以及多電化技術(shù)成為了自卸車發(fā)展潮流的背景下，采用了新型電驅(qū)動杠桿平衡式起豎機(jī)構(gòu)。通過數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)，找到電動缸伸出長度和起豎角度的關(guān)系表達(dá)式，通過多項(xiàng)式擬合的方法，大大簡化了后續(xù)研究的繁雜計算量；以及推導(dǎo)出了伸出速度與起豎角速度的關(guān)系式，從而為起豎系統(tǒng)的輸入與輸出找到了連接關(guān)系，這說明在無傳感器的情況下即可知道負(fù)載的運(yùn)動狀況，為起豎機(jī)構(gòu)運(yùn)動規(guī)劃時臨界條件的判斷以及今后的研究提供了重要的理論參考依據(jù)。

圖10 電動缸伸出長度與起豎角度的實(shí)驗(yàn)與仿真變化規(guī)律圖Fig．10Experimentandsimulationvariationofextendedlengthanderectionangle圖11 起豎角度隨時間變化規(guī)律圖Fig．11Experimentandsimulationvariationoferectionanglewithtime圖12 起豎力大小實(shí)驗(yàn)與仿真情況變化規(guī)律Fig．12Experimentandsimulationvariationoferectingforce

通過兩種運(yùn)動軌跡規(guī)劃仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)的對比分析，驗(yàn)證了仿真結(jié)論的正確性，結(jié)果表明正向規(guī)劃有利于機(jī)構(gòu)的快速起豎，提高武器系統(tǒng)的生存能力，同時還能減小電機(jī)的最大輸出功率；逆向規(guī)劃求解有利于負(fù)載起豎過程中的平穩(wěn)性，適合于大型負(fù)載的起豎。

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Modeling and trajectory planning of leveraged balance on lifting mechanism

LIU Yuxi， GAO Qinhe， NIU Hailong， CHENG Xiangrui

(Military Key Laboratory for Armament Launch Theory & Technology，Rocket Forces Engineering University，Xi’an 710025， China)

The single-stage cylinder leveraged balance lifting solutions was proposed to solve multistage cylinder change-stage impact in lifting mechanism with building a mathematical model. Expression relationship of input and output was derived. For the question that different movement has a major impact on overall performance, application of different occasions is analyzed by adopting forward planning and reverse planning. The simulation and experimental results show that the developed mathematical model is corrected. Electric cylinder extending length has the relationship with erection angle directly. Movement speed of the electric cylinder and the erecting angular velocity of the load is indirectly linked. It shows that the movement of the load is known under no circumstances sensor which provides an important theoretical basis for analyzing Critical Condition in erecting mechanism motion planning and future research. Forward planning has an advantage on fast erection and reducing the maximum output power and reverse trajectory planning mechanism is in favor of a smooth erector.

leveraged balance on lifting mechanism; mathematical model; trajectory planning; none-sensor measurements

國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(51475462)

2016-05-16 修改稿收到日期： 2016-06-18

劉毓希 男，碩士,1991年生

高欽和 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1968年生

TP273

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.16.033