楊丹丹

摘 要：數(shù)學(xué)與生活有著密切的聯(lián)系，個體在進入小學(xué)階段之前就已經(jīng)不同程度地與數(shù)學(xué)開始打交道，逐漸從阿拉伯數(shù)字入手開始走進數(shù)學(xué)世界，解開數(shù)學(xué)面紗。到目前為止，我們對數(shù)學(xué)的了解已經(jīng)到了一定的程度，對數(shù)學(xué)知識的認識也有了一定的積淀。這就使得我們對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了更大的好奇心——數(shù)學(xué)知識是如何產(chǎn)生以及如何發(fā)展的呢？

關(guān)鍵詞：無理數(shù)；集合理論；康托爾

一、古代無窮的觀念

在古典數(shù)學(xué)思想中，將“集”進行了界定與劃分，即將數(shù)集劃分為有限集和無限集。對于有限集來說，“集”中的元素是有限的，如{1，2，3，4，5，6，7}就表示這個集中共有7個元素，而除了這7個元素之外再無其他元素。對于無限集來說{1，2，3，4，5，6，7}所表示的是這個集中的元素是無限的，除了這7個已經(jīng)表示出來的元素之外還有無數(shù)個其他元素，對于這樣的無窮集合來說，伽利略曾經(jīng)提出了這樣一個令自己和他人都困惑不解的問題：顯然人們是無法知道確切元素個數(shù)的。但同時人們又承認：自然數(shù)的平方依舊是自然數(shù)，如22=4；42=16，而這種由自然數(shù)平方而形成的集合應(yīng)該是自然數(shù)集的一個真子集，按照這個推理，自然數(shù)集中的元素應(yīng)該比自然數(shù)平方集中的元素更多，因為真子集應(yīng)該包含在子集之中。然而從另外一個角度來看，無論是自然數(shù)還是自然數(shù)的平方都應(yīng)該是無窮盡的，無限的，因此這兩個集合中的元素應(yīng)該是相同的或者根本無法進行比較的。對于這一問題使包括伽利略在內(nèi)的同時代數(shù)學(xué)家、科學(xué)家都感到迷茫，一直停留在這個自相矛盾的漩渦中。

二、分說

所謂“二分說”是指當物體由A地到B地時，按照數(shù)學(xué)的邏輯是永遠無法達到的。因為要想從A到達B就必須通過其路程的■，而要想通過這段路程的■，就需要先通過這■的■，也就是整個路程的■。要想通過整段路程的■，就要先通過其■……按照這樣的推理將永無止境。因此芝諾得出，該物體是永遠無法達到終點的，因為他始終被道路的無限分割所阻礙著。當然這顯然與我們的日常生活相違背，由于和無限問題聯(lián)系過于密切，以至于古希臘數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)的無窮而敬而遠之了，并將“無限”拒絕于自己的推理之外了。

在我國古代也有很多對“無窮”的思考，如“學(xué)無止境”“學(xué)海無涯”“一尺之錘，日取其半”等也都體現(xiàn)著這一觀念。

三、無窮集合論的建立

1.集合理論的早期嘗試

康托爾并非唯一一個對數(shù)學(xué)無窮思想進行研究的科學(xué)家，波爾查諾也對數(shù)學(xué)集合理論進行了探索。對于波爾查諾來說，他認為實無窮集合是存在的，同時也認為這兩個集合是等價的。而這與“兩個幾個元素之間的一一對應(yīng)”是一致的。波爾查諾提出的這一無窮思想不僅適用于無限集合，更適用于無窮集合。他通過數(shù)學(xué)公式來證明了無窮集合的一部分或子集等價于整體這一觀點：0-5之間的實數(shù)通過公式y(tǒng)=■，能夠與0-12之間的實數(shù)形成對應(yīng)關(guān)系，盡管第二個集合包含著0-5實數(shù)的集合，但這也使得無窮集合中元素個數(shù)的比較提供了一定的依據(jù)。

2.康托爾集合論思想

數(shù)學(xué)家最喜歡研究的集合是自然數(shù)集，因此康托爾就用這樣的數(shù)集來證明他的等價或勢的觀念。為此，他提出了“可數(shù)”這一概念，對于所有能與自然數(shù)集合形成一一對應(yīng)關(guān)系的集合都視為可數(shù)或可列集合，同時是最小的無窮集合。

起初，康托爾證實了所有有理數(shù)集合都是可數(shù)的。這與人們的直覺有很大的差異，因為有理數(shù)給人的直覺感受是“稠密”的，也就是說任何兩個有理數(shù)之間都有其他的有理數(shù)存在，而正整數(shù)卻并不如此。對于這個問題，康托爾一共給出了多個證明，其中一個是目前普遍采用的：

將所有正有理數(shù)進行排列，第一行將以1為分母的正分數(shù)按照從大到小的順序進行排列；第二行將以2為分母的正分數(shù)按照從大到小的順序進行排列；第三行將以3為分母的正分數(shù)按照從大到小的順序進行排列......按照這樣的次序進行排列，就可以使所有的正有理數(shù)都包括在內(nèi)，但值得注意的是，這些有理數(shù)中會有一個部分是重復(fù)出現(xiàn)的，如■，■，■等等。

現(xiàn)在我們從■開始，按照1對應(yīng)■，2對應(yīng)■，3對應(yīng)■，4對應(yīng)■……進行排列，使得每一個有理數(shù)都在某一步對應(yīng)著一個固定的自然數(shù)。因此，上文中所列出的有理數(shù)集合與自然數(shù)集合就形成了一一對應(yīng)的關(guān)系，再將重復(fù)的數(shù)字去掉，那么這個有理數(shù)集依舊是一個無窮集合，因此也一定是可數(shù)的，因為可數(shù)集合就是最小的無窮集合。這個推論就使我們意識到直覺是不應(yīng)該輕易相信的。

依照上述推論還可以延伸出以下結(jié)論：如自然數(shù)與其平方數(shù)是一樣多的，偶數(shù)與自然數(shù)是一樣多的，負數(shù)與整數(shù)是一樣多

的……因為它們都是可數(shù)的。不僅如此，康托爾還證明了所有可以成為代數(shù)方程解的數(shù)所構(gòu)成的集合也是可數(shù)的。當?shù)贸錾鲜鐾普撘院螅低袪栭_始進行這樣的設(shè)想：在自然數(shù)與實數(shù)之外是否還存在更大的無窮集合。

康托爾的集合論是人類對于集合研究的一個新的里程碑，他認為，數(shù)學(xué)理論的推進首先應(yīng)該肯定無窮的存在，但卻不能將“無限”與“無窮”相混淆，同時他還提出，雖然人類的認知有限，但有限的認知卻可以面對無窮。

參考文獻：

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[2]徐傳勝，郭政.數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展歷程[J].高等數(shù)學(xué)研究，2007（1）.

編輯 謝尾合