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        由一道超幾何分布題目引發(fā)的思考

        2017-08-14 14:24:03王運(yùn)行
        新課程·下旬 2017年7期
        關(guān)鍵詞:件產(chǎn)品蜜瓜件數(shù)

        王運(yùn)行

        超幾何分布是人教A版選修2-3中的內(nèi)容,也是概率統(tǒng)計(jì)中學(xué)生理解起來比較困難的一部分內(nèi)容。教材中對(duì)于超幾何分布是以數(shù)學(xué)模型的定義形式給出,定義形式與二項(xiàng)式分布極為近似,很容易混淆。那么超幾何分布與二項(xiàng)式分布之間到底有沒有聯(lián)系呢?接下來筆者將引用2017年甘肅省第二次診斷考試18題對(duì)此問題進(jìn)行探究。

        這道題的內(nèi)容是:甘肅省瓜州縣自古就以盛產(chǎn)“美瓜”而名揚(yáng)中外,生產(chǎn)的“瓜州蜜瓜”有4個(gè)系列30多個(gè)品種,質(zhì)脆汁多,香甜可口,清爽宜人,糖含量達(dá)14%~19%,是消暑止渴的佳品,有詩贊曰:冰泉浸玉露,霸刀破黃金:涼冷消晚暑,清甘洗渴心。調(diào)查表明,蜜瓜的甜度與海拔高度、日照時(shí)長、溫差有極強(qiáng)的相關(guān)性,分別用x,y,z表示蜜瓜甜度與海拔高度、日照時(shí)長、溫差的相關(guān)程度,并對(duì)它們進(jìn)行量化:0表示一般,1表示良,2表示優(yōu)。再用綜合指標(biāo)W=x+y+z的值評(píng)定蜜瓜的等級(jí),若W≥4,則為一級(jí);若2≤W≤3,則為二級(jí);若0≤W≤1,則為三級(jí)。近年來,周邊各省也開始發(fā)展蜜瓜種植,為了了解目前蜜瓜在周邊各省的種植情況,研究人員從不同省份抽取了10塊蜜瓜種植地,得到如下結(jié)果:

        (1)若有蜜瓜種植地110塊,試估計(jì)等級(jí)為一級(jí)的蜜瓜種植地的數(shù)量;

        (2)在所取樣本的二級(jí)和三級(jí)蜜瓜種植地中任取兩塊,X表示取到三級(jí)蜜瓜種植地的數(shù)量,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望。

        這道題的第(2)問考查內(nèi)容很簡單,分析題目條件就可以發(fā)現(xiàn),這道題是“無放回”抽取,是超幾何分布,分布如下:

        可得E(X)=1×■+2×■=■

        但是很多學(xué)生沒有讀懂題意,將“無放回”抽取當(dāng)做了“有放回”抽取,于是把這道題當(dāng)做一道二項(xiàng)分布去做,分布列如下式:

        得到此時(shí)。E(X)=1×■+2×■=■

        觀察結(jié)果,我們發(fā)現(xiàn)兩種方法的計(jì)算結(jié)果竟然是相同的。這到底是偶然,還是超幾何分布與二項(xiàng)式分布的期望真的存在某種必然性的聯(lián)系,這個(gè)問題引發(fā)了筆者的思考,并就此進(jìn)行了一系列的探究。

        我們首先猜想將不放回的“超幾何分布”題目改變?yōu)橛蟹呕氐摹岸?xiàng)分布”時(shí),兩種情況所得到的期望相同。

        由此產(chǎn)生如下證明:有N件產(chǎn)品,其中M件是次品,有放回地任意抽取n件,則其中恰好抽到的次品件數(shù)X是服從二項(xiàng)分布,即X~B(n,p),其中P=■,其中n≤M≤N

        那么由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可知E(X)=np=n■

        若將上述問題中“有放回”改為“無放回”:有N件產(chǎn)品,其中M件次品,無放回地任意抽取n件,則其中恰好抽到的次品件數(shù)X是服從超幾何分布的,其中n≤M≤N,其分布列

        那么E(X)=■k■,由組合數(shù)的性質(zhì):KCkm=

        MCk-1M-1,nCnN=NCn-1N-1

        E(X)=■k■=■■=■■

        =■■Cn-kN-M·Ck-1M-1

        注意到:(1+x)N-M·(1+x)M-1=(1+x)N-1

        由兩邊xn-1系數(shù)相等,得

        Cn-1N-M·C0M-1+Cn-2N-M·C1M-1+…+Cn-kN-M·CkM-1+…+C0N-M·Cn-1M-1=Cn-1N-1即

        ■Cn-kN-M·Ck-1M-1=Cn-1N-1

        所以E(X)=■k·■=n·■

        由以上證明可得猜想正確。

        結(jié)論:將不放回的“超幾何分布”題目改變?yōu)橛蟹呕氐摹岸?xiàng)分布”時(shí),兩種情況所得到的期望相同,這個(gè)結(jié)論在解決有關(guān)超幾何分布期望的選擇題以及填空題的過程中可以快速地判斷結(jié)果,為學(xué)生在考試過程中節(jié)省時(shí)間。

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