王運行

超幾何分布是人教A版選修2-3中的內(nèi)容，也是概率統(tǒng)計中學生理解起來比較困難的一部分內(nèi)容。教材中對于超幾何分布是以數(shù)學模型的定義形式給出，定義形式與二項式分布極為近似，很容易混淆。那么超幾何分布與二項式分布之間到底有沒有聯(lián)系呢？接下來筆者將引用2017年甘肅省第二次診斷考試18題對此問題進行探究。

這道題的內(nèi)容是：甘肅省瓜州縣自古就以盛產(chǎn)“美瓜”而名揚中外，生產(chǎn)的“瓜州蜜瓜”有4個系列30多個品種，質(zhì)脆汁多，香甜可口，清爽宜人，糖含量達14%～19%，是消暑止渴的佳品，有詩贊曰：冰泉浸玉露，霸刀破黃金：涼冷消晚暑，清甘洗渴心。調(diào)查表明，蜜瓜的甜度與海拔高度、日照時長、溫差有極強的相關(guān)性，分別用x，y，z表示蜜瓜甜度與海拔高度、日照時長、溫差的相關(guān)程度，并對它們進行量化：0表示一般，1表示良，2表示優(yōu)。再用綜合指標W=x+y+z的值評定蜜瓜的等級，若W≥4，則為一級；若2≤W≤3，則為二級；若0≤W≤1，則為三級。近年來，周邊各省也開始發(fā)展蜜瓜種植，為了了解目前蜜瓜在周邊各省的種植情況，研究人員從不同省份抽取了10塊蜜瓜種植地，得到如下結(jié)果：

■

（1）若有蜜瓜種植地110塊，試估計等級為一級的蜜瓜種植地的數(shù)量；

（2）在所取樣本的二級和三級蜜瓜種植地中任取兩塊，X表示取到三級蜜瓜種植地的數(shù)量，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望。

這道題的第（2）問考查內(nèi)容很簡單，分析題目條件就可以發(fā)現(xiàn)，這道題是“無放回”抽取，是超幾何分布，分布如下：

■

可得E（X）=1×■+2×■=■

但是很多學生沒有讀懂題意，將“無放回”抽取當做了“有放回”抽取，于是把這道題當做一道二項分布去做，分布列如下式：

■

得到此時。E（X）=1×■+2×■=■

觀察結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)兩種方法的計算結(jié)果竟然是相同的。這到底是偶然，還是超幾何分布與二項式分布的期望真的存在某種必然性的聯(lián)系，這個問題引發(fā)了筆者的思考，并就此進行了一系列的探究。

我們首先猜想將不放回的“超幾何分布”題目改變?yōu)橛蟹呕氐摹岸椃植肌睍r，兩種情況所得到的期望相同。

由此產(chǎn)生如下證明：有N件產(chǎn)品，其中M件是次品，有放回地任意抽取n件，則其中恰好抽到的次品件數(shù)X是服從二項分布，即X～B（n，p），其中P=■，其中n≤M≤N

■

那么由二項分布的性質(zhì)可知E（X）=np=n■

若將上述問題中“有放回”改為“無放回”：有N件產(chǎn)品，其中M件次品，無放回地任意抽取n件，則其中恰好抽到的次品件數(shù)X是服從超幾何分布的，其中n≤M≤N，其分布列

■

那么E（X）=■k■，由組合數(shù)的性質(zhì)：KCkm=

MCk-1M-1，nCnN=NCn-1N-1

E（X）=■k■=■■=■■

=■■Cn-kN-M·Ck-1M-1

注意到：（1+x）N-M·（1+x）M-1=（1+x）N-1

由兩邊xn-1系數(shù)相等，得

Cn-1N-M·C0M-1+Cn-2N-M·C1M-1+…+Cn-kN-M·CkM-1+…+C0N-M·Cn-1M-1=Cn-1N-1即

■Cn-kN-M·Ck-1M-1=Cn-1N-1

所以E（X）=■k·■=n·■

由以上證明可得猜想正確。

結(jié)論：將不放回的“超幾何分布”題目改變?yōu)橛蟹呕氐摹岸椃植肌睍r，兩種情況所得到的期望相同，這個結(jié)論在解決有關(guān)超幾何分布期望的選擇題以及填空題的過程中可以快速地判斷結(jié)果，為學生在考試過程中節(jié)省時間。