江蘇省泗洪中學(xué) 張 飛

向量在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉隅

江蘇省泗洪中學(xué) 張 飛

向量問(wèn)題在數(shù)學(xué)知識(shí)中占據(jù)著重要的地位，要想促使自身數(shù)學(xué)水平的提升，一定要突破向量知識(shí)，這樣才可以更加全面地提升數(shù)學(xué)水平。作為研究幾何的重要工具，向量不僅在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，而且在其他學(xué)科領(lǐng)域也具有重要的應(yīng)用。因此，我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過(guò)程中應(yīng)當(dāng)掌握好向量的知識(shí)，在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中通過(guò)靈活運(yùn)用來(lái)不斷提升解題能力。下面我們就通過(guò)一些例子來(lái)討論向量在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

一、向量在幾何中的應(yīng)用

在幾何知識(shí)的問(wèn)題當(dāng)中應(yīng)用向量進(jìn)行解答，目的是為了將幾何元素之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，從而能夠使得原來(lái)的形式邏輯轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)值計(jì)算。利用向量進(jìn)行解答，可以使問(wèn)題更加直觀，對(duì)于我們解題來(lái)說(shuō)具有更好的操作性，而且向量的應(yīng)用大大降低了幾何知識(shí)高度抽象的空間想象的難度。例如，如下圖，已知平行四邊形ABCD，其中角A為銳角，并且滿足條件：AC2·BD2=AB4+AD4請(qǐng)證明∠A=45°。

我們對(duì)此題的解答如果借助向量知識(shí)就會(huì)變得比較簡(jiǎn)單，如上圖，我們以平行四邊形的角A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，并取AD方向?yàn)閤軸正方向，然后我們可以設(shè)∠A=α，AD的長(zhǎng)度為r1，AB長(zhǎng)度為r2，因此我們可以用向量表示出AB與∠A以及AD和AB之間的關(guān)系，然后通過(guò)相應(yīng)的向量計(jì)算就可以求得關(guān)于α的余弦表示，進(jìn)行整理后就可以得出α=45°。

向量在空間幾何中的應(yīng)用是在平面幾何的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)方向，這充分體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。但是我們應(yīng)當(dāng)注意空間幾何本身難度就高于平面幾何，而且問(wèn)題的情況多數(shù)相對(duì)復(fù)雜，因此在利用向量知識(shí)求解的時(shí)候，也應(yīng)當(dāng)對(duì)各種情況進(jìn)行全面的考慮，在向量構(gòu)造的時(shí)候要選擇合適的方向和大小，這樣才可以幫助我們更好地解答問(wèn)題。

二、向量在代數(shù)中的應(yīng)用

當(dāng)我們學(xué)習(xí)過(guò)向量的基礎(chǔ)知識(shí)之后會(huì)發(fā)現(xiàn)，向量具有明顯的幾何特征，所以一般常常會(huì)將向量應(yīng)用在幾何知識(shí)的問(wèn)題求解當(dāng)中。但是向量在代數(shù)中的應(yīng)用也具有重要的作用，同樣會(huì)給我們帶來(lái)許多方便。因此在解決一些代數(shù)問(wèn)題的時(shí)候，我們只要能夠認(rèn)真觀察，仔細(xì)分析，將其中一些代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題進(jìn)行求解，也會(huì)發(fā)現(xiàn)許多收獲。同時(shí)，我們?cè)诶孟蛄恐R(shí)解決代數(shù)問(wèn)題的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)注意建立模型，并且積累經(jīng)驗(yàn)，不斷豐富自己的解題模型，提升數(shù)學(xué)水平。下面我們來(lái)看一道例題：已知a2+b2+c2=1,同時(shí)有x2+y2+z2=1，請(qǐng)證明ax+by+cz≤1。

當(dāng)我們看到題目的時(shí)候就會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果直接用代數(shù)問(wèn)題的常規(guī)思路去解決，會(huì)需要大量的計(jì)算和推導(dǎo)，過(guò)程可能會(huì)十分復(fù)雜。因此，我們可以使用向量知識(shí)來(lái)幫助我們解決這個(gè)問(wèn)題。首先我們構(gòu)造兩個(gè)向量分別是根據(jù)題目我們還可以指導(dǎo)所以，我們可以得到顯然||||cosα是不大于的，因此我們就可以得到ax+by+cz≤1，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)解答過(guò)程很簡(jiǎn)單，只是用到了基礎(chǔ)的向量知識(shí)，而且也沒(méi)有復(fù)雜的計(jì)算。這就是向量知識(shí)在代數(shù)問(wèn)題中發(fā)揮的作用，一般在解題過(guò)程中我們運(yùn)用向量的數(shù)量積以及向量的加法，在上面的例題中還用到了三角不等式，通過(guò)對(duì)這些知識(shí)的綜合運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的快速、準(zhǔn)確的解答。我們?cè)谌粘５木毩?xí)當(dāng)中應(yīng)當(dāng)重視對(duì)自身解題思維的培養(yǎng)，要善于觀察，提高對(duì)問(wèn)題的分析能力。

三、向量與三角公式結(jié)合

在與三角公式有關(guān)的問(wèn)題中，我們也會(huì)常常用到向量的知識(shí)，從某種角度來(lái)說(shuō)，這也是向量在幾何中的應(yīng)用。但是三角公式在數(shù)學(xué)問(wèn)題中出現(xiàn)的機(jī)會(huì)更多，而且能夠獨(dú)立構(gòu)成一些重要的問(wèn)題，因此我們?cè)谶@里單獨(dú)進(jìn)行介紹。在正弦定理和余弦定理當(dāng)中，我們都可以借助向量知識(shí)對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行求解，并且我們還可以通過(guò)向量知識(shí)證明正弦定理和余弦定理，而這個(gè)證明過(guò)程也是解決三角公式問(wèn)題的基本思想，因此這里我們主要介紹向量法對(duì)正弦定理和余弦定理的證明過(guò)程。

下面我們來(lái)看看向量法是如何證明余弦定理的。如下圖，那么有在任意三角形ABC中，三個(gè)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，a2=b2+c2-2bc·cosA，b2=a2+c2-2ac·cosB，c2=a2+ b2-2ab·cosC。 在 證明余弦定理的時(shí)候，我們首先需要引入一個(gè)標(biāo)記，定義向量在向量上的射影記作如上圖，在△ABC中根據(jù)射影定理還可以得所以有a=c·cosB+b·cosC，同理我們還可以得到b=a·cosC+c·cosA和c=a·cosC+b·cosA。對(duì)這三個(gè)式子進(jìn)行整理計(jì)算就可以得到余弦定理了，這樣就完成了證明過(guò)程。同時(shí)，利用向量法證明余弦定理和正弦定理不用區(qū)分三角形是銳角三角形還是鈍角三角形。

綜上所述，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答過(guò)程中，我們運(yùn)用向量法進(jìn)行輔助解答或者運(yùn)用向量法作為主要方法解答問(wèn)題，都需要我們掌握牢固的向量知識(shí)。只有在具備了扎實(shí)的向量基礎(chǔ)的前提下，才可以在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)行靈活的運(yùn)用。