浙江省平湖市稚川實(shí)驗(yàn)中學(xué)(314200) 徐永明

數(shù)學(xué)概念理解學(xué)習(xí)課例探討

浙江省平湖市稚川實(shí)驗(yàn)中學(xué)(314200) 徐永明

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要方面是概念學(xué)習(xí),初中數(shù)學(xué)概念的表征趨于嚴(yán)謹(jǐn)和抽象,但概念教學(xué)大多仍局限在感性層面,缺少概括抽象過(guò)程,對(duì)概念深入理解不夠．概念學(xué)習(xí)應(yīng)該是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)揭示的過(guò)程,將新的知識(shí)納入自己的原有知識(shí)體系中形成整體,才能對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)有效．

1.概念理解學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)概念的正確理解關(guān)鍵在于,使學(xué)生心中在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上建立起新概念的恰當(dāng)?shù)男睦韮?nèi)化,即所學(xué)概念相聯(lián)系的整體性質(zhì)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)或心智圖像．概念理解學(xué)習(xí)就是,認(rèn)識(shí)概念的由來(lái),更重要的是明確概念的內(nèi)涵及外延．牢固地掌握概念的表達(dá)形式,了解概念間的關(guān)系,形成概念知識(shí)系統(tǒng),靈活運(yùn)用概念知識(shí)解釋有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題．

一個(gè)數(shù)學(xué)概念往往是一個(gè)章節(jié)的核心知識(shí),理解好概念為整章節(jié)的順利學(xué)習(xí)以及今后學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ),因此,理解學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)概念課堂教學(xué)的核心．本文以七上《平方根》的課例做一探討．

2.概念理解學(xué)習(xí)教學(xué)課例

學(xué)習(xí)平方根概念,是后面學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的準(zhǔn)備知識(shí),是學(xué)習(xí)二次根式,一元二次方程的基礎(chǔ).概念理解目標(biāo)是,理解平方根的概念,會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的平方根．理解求一個(gè)正數(shù)的平方根與平方是互逆的運(yùn)算,會(huì)利用這個(gè)互逆運(yùn)算關(guān)系求某些非負(fù)數(shù)的平方根,理解算術(shù)平方根的性質(zhì).為此讓學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概念的好奇心和求知欲．加強(qiáng)概念形成過(guò)程的教學(xué),從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,從邏輯演繹到類(lèi)比聯(lián)想,鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行探索和交流,促進(jìn)學(xué)生概念的整體理解．

2.1 從邏輯關(guān)聯(lián)、層次遞進(jìn)中問(wèn)題引入,自主活動(dòng)、啟疑引新,實(shí)現(xiàn)概念基礎(chǔ)認(rèn)知．

圖1

環(huán)節(jié)1.先請(qǐng)(同)學(xué)們完成以下填空,再思考后面兩個(gè)問(wèn)題邊長(zhǎng)為1.2的正方形的面積是___;面積為1.44的正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)__;

(4)思考：有沒(méi)有一個(gè)數(shù)的平方等于一個(gè)負(fù)數(shù)?你認(rèn)為(1)(2)(3)中分別是一種什么運(yùn)算?

先動(dòng)手操作嘗試,再在相互交流的基礎(chǔ)上逐個(gè)舉手回答提出的問(wèn)題,不斷補(bǔ)充完善,達(dá)成共識(shí)．通過(guò)平方運(yùn)算,讓學(xué)生回顧知識(shí),并熟悉平方運(yùn)算規(guī)律和性質(zhì),從中引出逆向思維問(wèn)題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．從特殊性問(wèn)題到一般性問(wèn)題的歸納,促進(jìn)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)理解.一般新知識(shí)都是建立在原有知識(shí)的基礎(chǔ)之上的,這樣引入新課是建立在學(xué)生對(duì)數(shù)字的規(guī)律和聯(lián)系的把握上的,學(xué)生是比較容易接受的．體現(xiàn)“做中學(xué)”教學(xué)思想,以思維活動(dòng)為導(dǎo)向,數(shù)學(xué)交流合作,注重?cái)?shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)．

環(huán)節(jié)2. 師：這里問(wèn)題(1)中已知什么,求什么?它是一種什么運(yùn)算?

生：已知底數(shù)和指數(shù),求其冪的運(yùn)算,它是乘方運(yùn)算!

師：這里指數(shù)為2時(shí),是乘方中的平方運(yùn)算!

師：那么你認(rèn)為問(wèn)題(2)(3)中又是一種什么運(yùn)算呢?

生：已知指數(shù)和冪,求其底數(shù),它是乘方(平方)運(yùn)算的逆運(yùn)算!

師：從方程角度看,這種運(yùn)算過(guò)程是什么?

生：是解方程根的過(guò)程．

師：從以上問(wèn)題觀察,你發(fā)現(xiàn)x2=a的解x個(gè)數(shù)有何規(guī)律?

生：a為正數(shù),有正負(fù)二個(gè)根,互為相反數(shù);a為0時(shí),x為零;a為負(fù)數(shù),x不存在．

引導(dǎo)學(xué)生回答問(wèn)題,然后由學(xué)生通過(guò)觀察,并結(jié)合互逆運(yùn)算的知識(shí),啟發(fā)學(xué)生找出等式兩邊存在的聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)歸納數(shù)學(xué)規(guī)律．這樣有利于使學(xué)生意識(shí)到本章的學(xué)習(xí)將是前面所學(xué)知識(shí)的一個(gè)再發(fā)展的過(guò)程,并激發(fā)學(xué)生飽滿的學(xué)習(xí)熱情,引導(dǎo)他們以積極的態(tài)度和旺盛的精力主動(dòng)探索,并且在思考中感受思維的美,在探索解決問(wèn)題中體驗(yàn)快樂(lè),從而獲得最佳效益．注重邏輯思維能力培養(yǎng),幫助學(xué)生揭示規(guī)律本質(zhì),理解概念的“來(lái)龍去脈”和相關(guān)聯(lián)系點(diǎn),以應(yīng)對(duì)實(shí)際變化,促進(jìn)理解．

2.2 從運(yùn)算關(guān)系、數(shù)學(xué)表征中類(lèi)比展開(kāi),對(duì)話討論、由表及里,實(shí)現(xiàn)概念心理架構(gòu)．

圖2

環(huán)節(jié)3. 師：同學(xué)們,前面問(wèn)題(1)我們求的是一個(gè)數(shù)的平方冪,請(qǐng)問(wèn)一般情況下,若x2=a,則a叫作什么?

生：a是x平方冪!

師：那么這里的x應(yīng)該怎么命名呢?

生1：方程的根．

生2：平方底．

生3：a的根．

師：很好,同學(xué)們都表達(dá)了x與a內(nèi)在關(guān)系!綜合大家的建議,為了更能顯示x與a的關(guān)系,你覺(jué)得命名什么合理?

生：x是a的平方根!

師：很好,也可叫做x是a的二次方根!這就是我們今天要學(xué)的新概念,下面請(qǐng)位同學(xué)用中文語(yǔ)言來(lái)定義平方根的概念．

生：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根或二次方根．

師：請(qǐng)嘗試口答問(wèn)題,的平方根分別是什么?的二次方根分別是什么?

先由師生商議后命名,由學(xué)生嘗試自己定義,再在嘗試口答問(wèn)題的基礎(chǔ)上歸納平方根的個(gè)數(shù)規(guī)律．讓學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)知沖突,產(chǎn)生一種急切解決問(wèn)題的愿望,促進(jìn)學(xué)生進(jìn)入對(duì)問(wèn)題產(chǎn)生的數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考．平方根概念的引入,由實(shí)際問(wèn)題引入,到提出問(wèn)題,再到解決問(wèn)題,最后歸納出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)．本環(huán)節(jié)通過(guò)學(xué)生動(dòng)腦,動(dòng)口,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,激發(fā)學(xué)生的求知欲望．教師讓學(xué)生自己解決問(wèn)題,并適時(shí)類(lèi)比拓展知識(shí),若x3=a,x4=a,···,xn=a,哪x分別叫什么?根的個(gè)數(shù)又如何呢?可根據(jù)學(xué)生情況,適當(dāng)介紹.指出高中會(huì)圓滿解決這些問(wèn)題．鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的心向,激發(fā)他們的想象力和求知欲望．

環(huán)節(jié)4.介紹表示法,正數(shù)a的正平方根用表示,(讀做“根號(hào)a”);a的負(fù)平方根用表示,(讀做“負(fù)根號(hào)a”);因此,一個(gè)正數(shù)a的平方根就用表示,(讀做“正、負(fù)根號(hào)a”),其中a叫做被開(kāi)方數(shù)．

直接介紹表示法,并用特例來(lái)加以說(shuō)明,以促進(jìn)理解．在嘗試中規(guī)范符號(hào)表示法,化簡(jiǎn)的要求,并從上面嘗試運(yùn)算中引導(dǎo)感悟理解的存在性及大?。ㄟ^(guò)學(xué)生動(dòng)腦,動(dòng)口對(duì)平方根概念進(jìn)行正說(shuō)與逆說(shuō),加深對(duì)平方根概念的理解;然后在上面敘述的基礎(chǔ)上提出平方根概念的符號(hào)表示方法后,再次利用學(xué)生所舉的上列等式,提出問(wèn)題：請(qǐng)你用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示等式右邊各數(shù)的平方根,并計(jì)算出結(jié)果.類(lèi)比以前學(xué)的運(yùn)算符號(hào),學(xué)生對(duì)平方根概念的理解經(jīng)歷了由文字語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化,由直觀到抽象的轉(zhuǎn)化,理解引進(jìn)平方根運(yùn)算符號(hào)的科學(xué)性．從1.96;2.25;2的平方根的計(jì)算結(jié)果中,提出的存在性及大小的估計(jì),對(duì)雖不能求解,但能體會(huì)到它是一個(gè)介于1.4與1.5之間的數(shù),培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題的方法．

2.3 從辨析屬性、聯(lián)系運(yùn)用中發(fā)展能力,嘗試交流、反思內(nèi)化,實(shí)現(xiàn)概念心智完善．

圖3

環(huán)節(jié)5.師：前面問(wèn)題(2)和(3)是一種什么運(yùn)算?

生：求一個(gè)數(shù)的平方根!

師：對(duì),我們把這種運(yùn)算叫作開(kāi)平方運(yùn)算,即求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做開(kāi)平方,這個(gè)數(shù)叫被開(kāi)方數(shù),顯然開(kāi)平方是平方運(yùn)算的逆運(yùn)算．

師：我們知道,一個(gè)正數(shù)的平方根有正負(fù)二個(gè),互為相反數(shù);零的平方根為0,負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．我們把正數(shù)的正平方根和零的平方根,統(tǒng)稱算術(shù)平方根.即一個(gè)數(shù)a(a≥0)的算術(shù)平方根記做這樣是怎樣的數(shù)?

生：是一個(gè)非負(fù)數(shù)!

師：由于的被開(kāi)方數(shù)a也是非負(fù)數(shù),因此稱√a具有雙重非負(fù)性．

鞏固嘗試：(1)求下列各數(shù)的算術(shù)平方根．

理解開(kāi)平方運(yùn)算及結(jié)果形式和算術(shù)平方根,規(guī)范書(shū)寫(xiě)邏輯格式．有了前面的問(wèn)題預(yù)設(shè),順勢(shì)利導(dǎo),容易得出和理解下位概念及相關(guān)性質(zhì)．在教師示范格式的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生板演完成,討論、糾錯(cuò).進(jìn)一步加深根號(hào)的形式理解,避免概念的混淆．以討論辨析為主,針對(duì)學(xué)生在解題過(guò)程中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行一定的講解.從關(guān)系運(yùn)算上升到符號(hào)形式運(yùn)算,計(jì)算m2的算術(shù)平方根包含著分類(lèi)討論思想運(yùn)用．學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證、歸納等,使他們經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題．

環(huán)節(jié)6.課堂鞏固練習(xí)．基礎(chǔ)題：1.下列各數(shù)有沒(méi)有平方根?如果有,求出它的平方根和算術(shù)平方根：

學(xué)生自主練習(xí)完成為主,由學(xué)生板演、糾錯(cuò)、議論為輔．教師巡視,適時(shí)個(gè)別指導(dǎo)．通過(guò)練習(xí),使學(xué)生將所學(xué)知識(shí)內(nèi)化為自己的知識(shí),通過(guò)對(duì)問(wèn)題情境的適當(dāng)變化,以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活掌握．所設(shè)計(jì)練習(xí)具有典型性,可討論性,較強(qiáng)的檢測(cè)性．

提高題：3.如圖4,若小正方形的邊長(zhǎng)為1,則陰影正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)__;若大正方形的邊長(zhǎng)為a,則陰影正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)__．

圖4

4.已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的2倍,面積為72,求這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)．

在完成基礎(chǔ)題的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生獨(dú)立思考完成,后交流思想方法．讓學(xué)生進(jìn)入最近發(fā)展區(qū),加強(qiáng)對(duì)學(xué)生知識(shí)應(yīng)用能力的培養(yǎng),完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．在學(xué)生思考的基礎(chǔ)上,注重思維方法啟發(fā)．問(wèn)題3的解決有助于觀察能力、數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用能力培養(yǎng),另外可進(jìn)一步得出存在性,并在整數(shù)1與2之間,驗(yàn)證了前面合理猜想．問(wèn)題4的解決有助于數(shù)學(xué)分割思想和方程思想的靈活運(yùn)用．兩題的解決體會(huì)到平方根概念運(yùn)用的幾何意義及代數(shù)運(yùn)算工具的重要性,促進(jìn)學(xué)生心智進(jìn)一步完善．

最后從學(xué)習(xí)知識(shí)、探索知識(shí)的方法、有何啟示來(lái)進(jìn)行總結(jié)．反思小結(jié)中要結(jié)合課堂所呈現(xiàn)的問(wèn)題方法回顧,提煉思想方法,進(jìn)一步疏理知識(shí)結(jié)構(gòu),優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,提高對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí),完善概念心智水平,增進(jìn)樹(shù)立學(xué)習(xí)自信心,以利于今后的學(xué)習(xí)．

3.教學(xué)后記

3.1 注重學(xué)生的自我習(xí)得

教學(xué)中通過(guò)學(xué)生的嘗試、發(fā)現(xiàn)、釋疑、解疑完成教學(xué)任務(wù),學(xué)生用動(dòng)手觀察、分析、合作、交流等手段,獲得數(shù)學(xué)的體驗(yàn),并通過(guò)分析、歸納、抽象,幫助學(xué)生逐漸形成自己的數(shù)學(xué)知識(shí)．緊緊抓住互為逆運(yùn)算,通過(guò)互逆運(yùn)算實(shí)際例子的引入,讓學(xué)生自己動(dòng)手,使學(xué)生能夠在活動(dòng)的過(guò)程中,主動(dòng)發(fā)現(xiàn),主動(dòng)探索知識(shí)和主動(dòng)建構(gòu)所學(xué)知識(shí)的意義．經(jīng)歷探索平方根性質(zhì)的過(guò)程,并能在與他人交流的過(guò)程中,合理清晰地表達(dá)自己的思維過(guò)程．

3.2 理解載體的合理設(shè)計(jì)

概念的理解過(guò)程不能以死記硬背和機(jī)械模仿來(lái)完成,不然不僅不能很好理解概念,而且對(duì)學(xué)生理性思維發(fā)展造成傷害．應(yīng)通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題載體讓學(xué)生進(jìn)行分析、綜合、歸納、抽象、類(lèi)比等,概括出概念的本質(zhì)特征．在問(wèn)題和練習(xí)中突出數(shù)學(xué)思維能力,進(jìn)行數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題,以逐漸加深和強(qiáng)化對(duì)概念的理解．要綜合運(yùn)用各種教學(xué)方法和教學(xué)手段,優(yōu)化課堂,力求使學(xué)生能正確理解概念,從而能夠靈活使用概念解答問(wèn)題．

3.3 過(guò)程概括的應(yīng)用完善

概念教學(xué)的核心就是概括,教學(xué)中要將數(shù)學(xué)概念中的發(fā)現(xiàn)、歸納、抽象的思維活動(dòng)打開(kāi)．設(shè)計(jì)典型具體問(wèn)題事例為載體,引導(dǎo)學(xué)生分析各事例的屬性、抽象概括其共同本質(zhì)屬性、歸納得出數(shù)學(xué)概念等思維活動(dòng)而獲得概念、理解概念,在多種場(chǎng)景運(yùn)用中提升概念的內(nèi)化能力,達(dá)到完善的概念心智水平．這對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有基本的重要性,實(shí)現(xiàn)對(duì)接教學(xué)的目的,支撐起學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．

[1]李善良著.現(xiàn)代認(rèn)知觀下的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)與教學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社,2005

[2]張穎.初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)方法初探[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊.2011年第09期

[3]羅增儒.數(shù)學(xué)概念的教學(xué)認(rèn)識(shí)(續(xù))[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.2016年11期