廣東省中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 李文東

對(duì)向量法解立體幾何問(wèn)題的幾點(diǎn)補(bǔ)充

廣東省中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 李文東

對(duì)于立體幾何問(wèn)題,現(xiàn)在絕大部分學(xué)生首先想到的是利用向量的方法來(lái)解決.的確,向量方法是解決立體幾何問(wèn)題的一大利器,它的最大好處是極大的降低了空間想象能力的要求,這樣一來(lái)對(duì)于傳統(tǒng)立體幾何的教學(xué)也是一種挑戰(zhàn).盡管我們的教材在安排上已經(jīng)考慮到了這一點(diǎn),但是實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn),學(xué)生在學(xué)習(xí)了向量法后,基本上把傳統(tǒng)的幾何法都拋于腦后,這需要我們必須有意識(shí)的加強(qiáng)傳統(tǒng)幾何法的教學(xué)與訓(xùn)練.當(dāng)然本文的重點(diǎn)不是討論這個(gè)問(wèn)題,盡管向量法學(xué)生很容易掌握,但實(shí)際學(xué)生做題時(shí)仍然會(huì)出現(xiàn)不少問(wèn)題,這是因?yàn)橄蛄糠▽?duì)于計(jì)算能力提出了相對(duì)較高的要求,計(jì)算中任何一步都不能出錯(cuò),否則滿盤皆輸.而計(jì)算能力恰恰是我們現(xiàn)在學(xué)生的弱點(diǎn),除此之外,學(xué)生對(duì)于使用向量法也存在一些認(rèn)識(shí)和方法上的問(wèn)題.本文就向量法解決立體幾何問(wèn)題中涉及到的一些問(wèn)題發(fā)表自己的一些看法與見解.

一、真的不能用坐標(biāo)法嗎?

例1. (2011年廣東)如圖1,在椎體P?ABCD中,ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,且∠DAB=60°,PA=PD=分別是BC,PC的中點(diǎn).

(1)證明:AD⊥平面DEF;

(2)求二面角P?AD?B的余弦值.

圖1

圖2

這道題當(dāng)年得分率很低,究其原因,除了當(dāng)年試題整體難度偏大外,主要有兩點(diǎn):一是在看到這道題后,很多同學(xué)都覺(jué)得很不適應(yīng),因?yàn)椤盁o(wú)法建系”利用向量的方法解決;二是我們的學(xué)生對(duì)于傳統(tǒng)的幾何方法掌握不夠熟練,而且本題采用幾何方法也確實(shí)有一定的難度.直到今天,我們?nèi)杂胁簧倮蠋煻及言擃}作為不能建系用向量方法解決的典型例題,在高三復(fù)習(xí)時(shí)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào).很多高三同學(xué)反映不管怎么建系,關(guān)鍵是點(diǎn)P的坐標(biāo)難以確定,所以不太適合用向量方法解決.真的不能利用向量方法解決嗎?請(qǐng)看以下解答:

接下來(lái)就是一道很簡(jiǎn)單的向量題了.余略.

向量法解題基本上已成為首選方法.但現(xiàn)在卻有很多題目總有一些點(diǎn)或線不在軸上,建立坐標(biāo)系時(shí)也會(huì)遇到障礙,如本題中先將點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)為P(x,y,z),然后用方程思想解出來(lái),角度獨(dú)特,值得注意.建議在復(fù)習(xí)備考中注意要加強(qiáng)針對(duì)各種情形建立坐標(biāo)系的訓(xùn)練.本題的難點(diǎn)不在于怎么樣建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,而在于怎么樣寫(求)出點(diǎn)P的坐標(biāo).

二、關(guān)于立體幾何中的點(diǎn)(尤其是懸空點(diǎn))的坐標(biāo)的確定

對(duì)于立體幾何中的點(diǎn)的坐標(biāo)確定,我們一般有以下方法:

①位于坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);

②位于坐標(biāo)平面外的點(diǎn)一般采用投影法寫點(diǎn)的坐標(biāo),具體做法一般是將所求點(diǎn)P向坐標(biāo)平面xOy投影,假設(shè)得到點(diǎn)Q,則根據(jù)投影的高度可得到點(diǎn)P的豎坐標(biāo),而點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)與點(diǎn)Q相同;

③對(duì)于一些動(dòng)點(diǎn),如已知線段AB上的任意一點(diǎn)P,可利用向量的共線求出P的坐標(biāo),如

④對(duì)于不大好確定投影而又非某線段上的點(diǎn)(懸空點(diǎn)),我們可以利用向量來(lái)求點(diǎn)的坐標(biāo),請(qǐng)看下面的例題.

例2. 如圖3,三棱柱ABC?A1B1C1中,△ABC是正三角形,AA1=AB=2,平面ACC1A1⊥平面ABC,∠A1AC=60°.

圖3

圖4

(1)證明:A1B⊥AC;

(2)求二面角B?A1C1?C的大小;

(3)求點(diǎn)B1到面BA1C1的距離.

三、不可忽略的基向量法

一說(shuō)到向量法,絕大部分的學(xué)生馬上想到的是建系(坐標(biāo)法),然而確實(shí)有不少的立體幾何題難以建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,或是有些點(diǎn)的坐標(biāo)不大容易寫出,這個(gè)時(shí)候,我們應(yīng)該考慮基向量法,它是對(duì)坐標(biāo)法的一個(gè)補(bǔ)充.

例3. 如圖5,已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

(1)證明:C1C⊥BD;

圖5

所以C1C⊥BD.

(2)要使A1C⊥平面C1BD,則 只 需A1C⊥BD,A1C⊥C1D.由(1)易知BD⊥面AA1C1C,從而A1C⊥BD,故只需

例4. 已知二面角α?l?β的大小為60°,若AB?α,AB⊥l,A為垂足,CD? β,C∈l,∠ACD=135°,則異面直線AB與CD所成角的余弦為( )

圖6

四、利用向量處理空間共線或共面問(wèn)題

例5. 如圖7,四邊形ABCD為直角梯形,AD//BC,AD⊥CD.AD=AB=2BC,四邊形ABEF為矩形,平面ABEF⊥平面ABCD.

(1)C,D,E,F四點(diǎn)共面嗎?證明你的結(jié)論;

(2)設(shè)AF=kAB(0＜k＜1),二面角A?FD?B的余弦值為求實(shí)數(shù)k的值.

圖7

圖8

說(shuō)明①本題兩種解法各有特點(diǎn),顯示了向量對(duì)于解決空間共面問(wèn)題的優(yōu)勢(shì).②結(jié)合反證法,本例告訴我們?cè)鯓幼C明空間四點(diǎn)不共面問(wèn)題,或者說(shuō)可以證明異面直線的問(wèn)題.

例6. (2016全國(guó)高考)平面α過(guò)正方體ABCD?A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α//平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為()

點(diǎn)評(píng)本題也可以利用面面平行的性質(zhì)加以解決,不過(guò)對(duì)面面平行的性質(zhì)定理的理解要求較高!

例7. 在底面是菱形的四棱錐P?ABCD中,PA⊥面ABCD,∠BAD=120°,點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱AD上,平面CEF與PA交于點(diǎn)K,且PA=AB=3,AF=2,則點(diǎn)K到平面PBD的距離為____.

圖9

點(diǎn)評(píng)本題也可以利用平面的公理3加以解決,不過(guò)對(duì)公理3和平面幾何的知識(shí)要求較高,而本例的向量解法在思維上則相對(duì)容易很多!