蔡江波

【摘要】數(shù)學學科在現(xiàn)階段高職院?；A性學科培養(yǎng)體系中處于重要的位置，它對于學生的基礎知識認知體系的形成具有重要意義.線性規(guī)劃方法是現(xiàn)代數(shù)學學科發(fā)展路徑中用于解決復雜線性約束條件下的最優(yōu)解問題的基本方法，在現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展脈絡中具備極其深遠的現(xiàn)實影響意義.

【關鍵詞】高職數(shù)學；單純性方法；數(shù)形結合

單純形方法是現(xiàn)代數(shù)學中解決線性規(guī)劃最優(yōu)解問題的基礎的和首要的應用方法，對于有效解決無最優(yōu)解的線性規(guī)劃問題、退化解線性規(guī)劃問題，以及多重最優(yōu)解的線性規(guī)劃問題，具備顯著的促進和保障作用.由于現(xiàn)階段絕大多數(shù)高職院校學生尚且無法做到對單純形方法求解現(xiàn)行規(guī)劃問題的本質能夠準確理解，因而，給實際教學效果造成了顯著的不良影響，而數(shù)形結合方法在實際教學中的引入和運用，為有效解決上述教學困境做出了重要貢獻.鑒于此，本文將會圍繞用數(shù)形結合解析單純形方法教學中的幾個問題展開簡要闡釋.

一、無最優(yōu)解的線性規(guī)劃問題

在線性規(guī)劃數(shù)學問題的運算處理過程中，受所求問題和可行域便捷約束條件等因素的共同影響，通常會出現(xiàn)最優(yōu)解不存在現(xiàn)象，而且針對這一數(shù)學問題的計算和證明，往往也是具體教學環(huán)節(jié)開展過程中的難點.

例1求解如下線性規(guī)劃問題：

maxS=3X1+2X2，其約束條件為X1-X2≤2.00；200X1-X2≤6.00；X1≥0；X2≥0.

解根據題干和已知條件，先將原有問題的表述語句轉化為標準形式，并同時引入松弛數(shù)學變量X3和X4，這時可以得到新的問題表達語句為maxS=3.00X1+2.00X2+0X3+0X4.其基本的數(shù)學規(guī)劃約束條件為X1-X2+X3=200；2.00X1-X2+X4≤6.00；X1≥0；X2≥0；X3≥0；X4≥0.

選取線性規(guī)劃數(shù)學運算條件下的可行基Bi=（P3，P4）=E，可以具體列示出線性規(guī)劃可行基B1在單純形線性規(guī)劃方法運用條件下的數(shù)值分布表，并借助換基迭代方法獲取如表1所示數(shù)據結果.

在線性規(guī)劃數(shù)學運算條件下的可行基Bi=（P1，P2）具體對應的單純形測算數(shù)據量表中，由于檢驗性控制參數(shù)（-Cj）項目中的（-7.00）數(shù)據項具有非正數(shù)屬性表現(xiàn)特征，因而，應當針對現(xiàn)有的非基變量項目（X3）實施進基運算處理，與此同時，由于非基變量項（X3）在這一運算處理條件下，所對應表格數(shù)據列中的（-1.00）和（-2.00）項均具有非正數(shù)的數(shù)學屬性特征，直接導致這一數(shù)學運算處理情境之下未能形成基變量處理項目，因而，可以確定這一線性規(guī)劃問題在現(xiàn)有的數(shù)學約束條件下不存在最優(yōu)解求解結果.

以線性規(guī)劃問題求解活動的基本思路展開簡要分析，如果某一檢驗性參數(shù)所在單純形數(shù)據表的所在列向量中不存在數(shù)值表征屬性為正數(shù)的數(shù)據項，則直接可以判定，對應的數(shù)學線性規(guī)劃問題不存在最優(yōu)解.

以例題1所列示的數(shù)學問題場景展開分析，基于初始化數(shù)據求解列表中的T（B1）數(shù)據列，即可明確實現(xiàn)對問題中最優(yōu)解存在與否的準確判斷，由于檢驗性控制參數(shù)（-Cj）項目所在數(shù)據列中的（-2.00）<0，直接可知檢驗性控制參數(shù)（-Cj）項目所在的第二列數(shù)據元素中不存在具備正數(shù)數(shù)學屬性的數(shù)據項目，因而，導致例題1所列示的線性數(shù)學規(guī)劃問題，在現(xiàn)有的約束條件之下，不存在最優(yōu)解.在此基礎上，本文將結合幾何圖形，對例題1的數(shù)學描述特征展開分析.

如圖1所示，由于在題干所述的初始性數(shù)學約束條件中，（X2）項的約束系數(shù)均為非正數(shù)，表明在現(xiàn)有的線性規(guī)劃數(shù)學條件之下，（X2）處于不受約束狀態(tài)，也就是說，例題1對應的可行域圖形具有無上界特征.與此同時，對于線性規(guī)劃問題求解過程中的目標直線簇S而言，其最優(yōu)化求解過程中的方向，是沿著可行無上界域的上方呈現(xiàn)無限變化趨勢的，因而，可以在圖形分析背景下，證實例題1所述問題不存在最優(yōu)解.

二、退化解線性規(guī)劃問題

例2求解如下線性規(guī)劃問題：

maxS=-2.00X1-5.00X2；其約束條件為X1+3.00X2≤6.00；X1-X2≤2.00；X1≥0；X2≥0.

解根據題干和已知條件，先將原有問題的表述語句轉化為標準形式，并同時引入松弛數(shù)學變量X3和X4，這時可以得到新的問題表達語句為maxS=2.00X1+5.00X2+0X3+0X4.

其基本的數(shù)學規(guī)劃約束條件為X1+3.00X2+X3=600；X1-X2+X4=2.00；X1≥0；X2≥0；X3≥0；X4≥0.

選取線性規(guī)劃數(shù)學運算條件下的可行基Bi=（P3，P4）=E，可以具體列示出線性規(guī)劃可行基B1在單純形線性規(guī)劃方法運用條件下的數(shù)值分布表，并借助換基迭代方法獲取如表2所示數(shù)據結果.

通過對基項參數(shù)T（B3）中列示的相關內容展開具體分析，可知例題2中所列線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解為S=-1000，此時X1=0，X2=2.00.

在實施第一次迭代運算處理過程中，如果在完成基變量項目選擇環(huán)節(jié)基礎上，同時出現(xiàn)了兩個具備等同性比值特征的最小值，則通?？梢匀我膺x取其中的一個作為后續(xù)運算處理過程中的基礎條件.如果在完成第一次迭代運算處理基礎上出現(xiàn)了基變量項目X1=0的運算處理結果，則通常認為這一運算條件下獲取的最優(yōu)解，具備退化特征.

在實際開展基變量選取環(huán)節(jié)過程中，如果同時存在兩個或者是兩個以上的、具備等同性比值特征的最小值，如果在這一運算處理情境下，隨機選取任意一個最小值展開后續(xù)的進基性計算分析規(guī)劃求解處理過程中，往往會同時出現(xiàn)一個或者是多個基變量參數(shù)項目同時為零的運算處理結果，這時通常認為實際求解獲取的基礎解具備表征明顯的退化性特征.

在線性規(guī)劃問題的運算求解構成中，退化解計算結果的出現(xiàn)，將會直接導致目標函數(shù)無法獲取到及時有效的數(shù)學改良，因而，在運用一般運算法處理后獲取的新的線性規(guī)劃解，往往依然具有退化特征，直接導致線性規(guī)劃問題的求解處理過程，在有限的區(qū)間內呈現(xiàn)出循環(huán)往復特征，始終無法實現(xiàn)對最優(yōu)解的求解處理目標.為切實解決退化解運算處理過程中的循環(huán)往復現(xiàn)象，通常需要：分別計算出緊接求解列之后一列的元素與求解列相應的元素的比值數(shù)據結果，并從中選取比值數(shù)據最小的一個數(shù)據行作為最終應用的求解行.

例題2中所列示數(shù)學情境，其具體涉及的運算求解處理過程，不具有循環(huán)性表現(xiàn)特征，直接導致該問題通過換基迭代的計算處理方法，能夠獲取到最優(yōu)化的結果.在引入數(shù)形結合分析方法基礎上，可以獲取如圖2所示的可行域.

在圖2所示的可行域求解圖形中，A點對應的恰好就是基于單純形法獲取的基本解系，在單純形計算處理方法背景下所表現(xiàn)的變化特征.

事實上，在例題2所述的問題情境中，點A（0，2）在兩個獨立存在的線性規(guī)劃約束條件的共同約束之下，就可以實現(xiàn)準確的運算描述.而本組例題中同時給出了三個線性規(guī)劃可行域邊界約束條件，即X1=0；X1+X2=2.00；X1+3.00X2=6.00.從這里可以知道，在線性規(guī)劃可行域的便捷約束條件數(shù)量超過極點確定過程中的約束條件個數(shù)限制條件下，通常會導致線性規(guī)劃數(shù)學問題，在具體的求解處理過程中，出現(xiàn)退化解現(xiàn)象，給最優(yōu)解的計算分析求解處理過程造成極其顯著的技術困難.

三、結束語

針對數(shù)形結合解析單純形方法教學中的幾個問題，本文從無最優(yōu)解的線性規(guī)劃問題、退化解線性規(guī)劃問題兩個基本方面，結合對具體例題的計算分析處理，具體論述了線性規(guī)劃問題求解過程中最優(yōu)解的不存在現(xiàn)象，以及可能發(fā)生的循環(huán)性退化解問題，旨在為相關領域的研究人員和一線教師提供借鑒.

【參考文獻】

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