●鄭 良

(靈璧第一中學,安徽 靈璧 234200)

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關(guān)系暗含難定斷 “隔離”明言易呈現(xiàn)*

●鄭 良

(靈璧第一中學,安徽 靈璧 234200)

高三專題復習教學中會出現(xiàn)很多解法上的困惑.文章研究剖析了一道試題的解法，明晰問題的邏輯基礎，給出相關(guān)問題的解答與點評，并從問題背景、思維歷程、邏輯關(guān)系等多角度進行揭示，同時針對教學現(xiàn)狀，結(jié)合教學實踐給出教學思考.

高三復習教學；“隔離”函數(shù)；凹(凸)函數(shù)；傳遞性；思維過程；自然解法

1 問題提出

在高三“函數(shù)與導數(shù)”的專題復習教學中，筆者曾給出如下問題：

例1 已知函數(shù)f(x)=x2lnx，且x1≠x2，滿足f(x1)=f(x2).求證：x1+x2>1.

證明 由函數(shù)f(x)的單調(diào)性可得

m(x1)

即

從而

(x2-x1)(x2+x1-1)>0.

因為x2-x1>0，所以

x2+x1>1.

學生驚奇于函數(shù)構(gòu)造的巧妙，困惑于：為什么要如此隔離函數(shù)g(x)、怎么想到如此隔離、什么情況下需要用到“隔離”函數(shù)、如何確定隔離函數(shù)等.

2 案例剖析

通過比較，能對兩種或兩種以上同類的事物辨別異同或高下.如數(shù)學中比較數(shù)的大小，常有以下方法：作差法(將差與0比較)、作商法(將商(分母不為0)與1比較)、圖像法(通過圖像上點的高低來判斷)、單調(diào)性法(正用或逆用構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性)、中間值法(通過中間值進行大小關(guān)系的傳遞).同樣，判斷兩個函數(shù)(包含常數(shù)函數(shù))的大小關(guān)系更值得我們關(guān)注.學生將以上解法與已存儲的解法模型進行比對，發(fā)現(xiàn)無法對號入座，此時更能激發(fā)其探究的興趣，從而化突兀為自然，深化對問題的理解.

一般地，當兩個函數(shù)的大小關(guān)系不易確定(如函數(shù)的種類不同、差函數(shù)的導數(shù)符號難以確定等)時，往往根據(jù)兩個函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征選擇與兩者相關(guān)的中間函數(shù)進行牽線搭橋，實現(xiàn)溝通.“間隔”函數(shù)的選擇未必唯一，它需要由f(x)與g(x)的“親密”程度決定：若f(x)與g(x)的關(guān)系松散(差距較大)，則有無數(shù)個h(x)可趁虛而入，反之，則需要不斷地調(diào)試才能確定函數(shù)h(x)，特別地，當f(x)=g(x)時，f(x)與g(x)的“間隔”函數(shù)只能是其本身.選擇的“隔離”函數(shù)要盡可能簡單，如兩個函數(shù)對應曲線的公切線所對應的函數(shù)等，更應通過知識的積累(如常見結(jié)論ex≥x+1)、方法的調(diào)整等方式分析和解決問題.

3 問題鏈接與簡評

1)求實數(shù)a,b的值；

2)若x≥0，求證：f(x)≤g(x).

(河北省石家莊市2017屆高三復習教學質(zhì)量檢測一理科試題第21題)

2)證明 由第1)小題可知

即證

顯然此式成立.

綜上所述，當x≥0時，

即

f(x)≤g(x).

點評 對于第2)小題，若令φ(x)=g(x)-f(x)(其中x≥0)，則

例2通過兩條曲線的公切線實現(xiàn)了有效傳遞過渡，若兩條曲線的公切線不易找到，則可考慮分別尋找其“隔離”函數(shù)進行傳遞.

例3 已知函數(shù)f(x)=2ex-x2-2x-2.

1)判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性；

1)f(x)在R上的單調(diào)遞增(過程略).

2)證明 由第1)小題知，當x>0時，

f(x)>f(0)=0，

從而

于是

點評 第2)小題中待證不等式左、右兩邊的函數(shù)類型不同，直接作差求證幾乎不可能.嘗試通過“某函數(shù)”進行隔離(傳遞)是否可行？以下從待證不等式兩邊所對應的兩個函數(shù)的性質(zhì)(背景)出發(fā)進行探究：

φ′(x)=x2ex>0，

從而φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，于是

φ(x)>φ(0)=0，

即函數(shù)m(x)為(0,+∞)上的下凸函數(shù)，且

亦即“m(x)在x=0處的切線為y=x”，因此對任意x>0，恒有m(x)>x.因為函數(shù)n(x)是周期為2π的周期函數(shù)，且當x∈(π,2π)時，n(x)<0，所以先研究函數(shù)n(x)在[0,π]上的性質(zhì).

例3仍然通過函數(shù)m(x)，n(x)在“x=0”處的公切線來過渡，不同的是m(x)在“x=0”處沒有定義，通過洛必達法則巧妙實施.

1)若f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍.

2)當a≥1時，任意x∈[0,+∞)，問：不等式sinx-cosx≤eax-2是否恒成立？請說明理由.

1)實數(shù)m的取值范圍為(-∞,1](過程略).

2)證法1 由第1)小題知，當x∈[0,+∞)時，sinx≤x，且

即

從而

由M′(x)=ex-x-1知M(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，從而

M(x)≥M(0)=0，

證法2 記φ(x)=ex-2-sinx+cosx，x∈[0,+∞)，則

φ′(x)=ex-cosx-sinx,

φ"(x)=ex-cosx+sinx.

φ"(x)≥1-1+sinx≥0；

φ"(x)≥e1-1-1>0，

即對任意x∈[0,+∞)，φ"(x)≥0，從而φ′(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，φ′(x)≥φ′(0)=0，即函數(shù)φ(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，于是

φ(x)≥φ(0)=0，

即

ex-2≥sinx-cosx.

因此，當a≥1時，對任意x∈[0,+∞)，sinx-cosx≤ex-2≤eax-2恒成立.

點評 兩個函數(shù)的“親密”程度不同，選擇的“間隔”函數(shù)必須滿足精度要求.對于第2)小題，證法1利用二次多項式牽針引線(背景是y=sinx，y=cosx，y=ex的泰勒展開式);證法2通過對自變量的合理劃分，直接構(gòu)造函數(shù)求解，體現(xiàn)了解法的多樣性.我們在解題時不能迷信于參考答案，而應強化多方聯(lián)系，細化分析，優(yōu)化策略.

4 教學思考

4.1 教師要做有心人

隨著社會節(jié)奏的加快，知識(不限于靜態(tài)的知識內(nèi)容)成指數(shù)爆炸式增長.教師必須做個有心人，及時更新理念，接納新知識，提高技能與方法，在甄別中提煉，在比較中澄清，在優(yōu)化中提升.只要我們有心、用心，資源才不會從身邊溜走，課堂上才能避免“滑過”現(xiàn)象的發(fā)生.如我們對“隔離”函數(shù)并不陌生，分離參數(shù)法就是“隔離”函數(shù)的應用之一.隔離函數(shù)的邏輯基礎是什么(不等式的傳遞性)、怎么想到“隔離”函數(shù)(直接求解碰壁后從充要條件角度辨識)、如何找到合適的“隔離”函數(shù)(知識的積累為背景的揭示提供糧草庫，通過審題找到分析問題的起點、方向及可能的調(diào)整策略)等等,只有在解題時留意上心，才能使知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng)化、思維程序條理化、方法策略優(yōu)質(zhì)化.

4.2 教師要做明白人

以己昏昏，豈能使人昭昭.面對新事物(知識、方法)帶來的諸多困惑，我們不能怨天尤人，更應主動出擊，做個明白的教師，這是“傳道、授業(yè)、解惑”的前提.教師要理解數(shù)學、理解教學、理解學生，才能做到因材施教.教學中，教師要想學生所想、惑學生所惑、重走學生思維之路，從而引領學生到達解決問題的彼岸.

4.3 教師要追求高尚

耽誤時間無異于扼殺生命.少數(shù)教師業(yè)務不專，教學中讓學生在題海中歸納、在操作中感悟，事倍功半，導致學生逐漸喪失對數(shù)學的興趣甚至厭惡數(shù)學.眾所周知集腋成裘的道理，一個教師一輩子接觸上萬個學生，若為每個學生節(jié)省10分鐘，創(chuàng)造的價值與意義非常巨大.具有高尚情操的教師，教學時會瞄準高考而不囿于高考，如教師可根據(jù)學生的具體情況，適度補充洛必達法則、中學階段常見函數(shù)的泰勒展開式等拓展性內(nèi)容.跳出圈子看世界，讓學生品味數(shù)學文化，提升數(shù)學素養(yǎng).因此，我們要盡可能地深入研習，在獲得更好的課堂教學效益的同時，創(chuàng)造出更多的社會價值.

?2017-04-17；

2017-05-20

鄭 良(1980-)，男，安徽靈璧人，中學高級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O122.1

A

1003-6407(2017)08-23-04