●鄭日鋒

(學(xué)軍中學(xué),浙江 杭州 310012)

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基礎(chǔ)與能力并舉 經(jīng)典與創(chuàng)新共舞*
——2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試卷評(píng)析

●鄭日鋒

(學(xué)軍中學(xué),浙江 杭州 310012)

文章對(duì)2017年浙江省數(shù)學(xué)高考卷的特點(diǎn)、命題規(guī)律及命題的變化進(jìn)行分析，指出試卷對(duì)教學(xué)的啟示．

試題特色；文理合卷；核心素養(yǎng)；復(fù)習(xí)教學(xué)

2017年是浙江省高考改革后的第一年，較往年最大的不同是采用文理合卷．2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試卷依然堅(jiān)持“起點(diǎn)低、坡度緩、層次多、區(qū)分好”的命題思路和命題風(fēng)格，嚴(yán)格遵循國家課程標(biāo)準(zhǔn)、省教學(xué)指導(dǎo)意見及省考試說明，充分考慮文理合卷，試題起點(diǎn)低，角度寬，既系統(tǒng)、全面地考查了高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，又多層次地考查了數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)潛能．試卷有較好的信度、效度與區(qū)分度，難度較前兩年有所下降，有利于高校選拔人才，并對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)具有良好的導(dǎo)向作用，可謂“基礎(chǔ)與能力并舉，經(jīng)典與創(chuàng)新共舞”．

1 試題特色

1.1 注重基礎(chǔ)，體現(xiàn)人文關(guān)懷

試卷充分考慮到文理合卷的特點(diǎn)，從學(xué)科整體和思維價(jià)值的高度設(shè)計(jì)試題，體現(xiàn)人文關(guān)懷．試卷全面覆蓋了中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的主干知識(shí)模塊，對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，既全面又突出重點(diǎn)，層次分明．命制的試題既讓基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生可動(dòng)筆，不致于望題興嘆，也讓優(yōu)秀學(xué)生感覺并不是那么容易，全卷沒有偏難題，絕大部分試題入口寬，不同層次的學(xué)生會(huì)有不同的認(rèn)識(shí)，但方法選擇不當(dāng)會(huì)導(dǎo)致耗時(shí)較多或出錯(cuò)．

立足課本.試卷中第1～4，6，7，11～14，18題以及第19題第1)小題、第20題第1)小題、第21題第1)小題，都來源于課本，或從課本中的例、習(xí)題直接改編而來,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試題的基礎(chǔ)性．

考查概念.如第5題考查函數(shù)的極差，第6題考查等差數(shù)列的定義，第7題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)的關(guān)系，解決這些試題只需概念清楚，無需多動(dòng)筆．

降低起點(diǎn).如第1～3，11，12，18題考查的知識(shí)點(diǎn)單一，考生如熟悉基本知識(shí)、基本方法，解決這些問題可以做到既快又對(duì)．

注重通法.試卷充分考慮了解題方法的大眾化與常規(guī)化，不在冷僻的技巧上設(shè)置問題．努力貼近學(xué)生在通性通法上下功夫，大部分試題中規(guī)中矩、不偏不怪，材料背景熟悉，設(shè)問方式常規(guī)，解題方法基本，和平時(shí)教學(xué)匹配度高，在考基礎(chǔ)、通性、通法上體現(xiàn)得濃墨重彩、淋漓盡致.同一個(gè)問題，可以有多個(gè)視角，進(jìn)而可用多種方法，可以有效區(qū)分不同層次的學(xué)生的數(shù)學(xué)水平和能力，如第19題立體幾何題既可用空間向量法解，也可用傳統(tǒng)綜合法解．

例1 已知向量a,b滿足|a|=1，|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是______,最大值是______.

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第15題)

思路1 利用向量加減法幾何意義及重要不等式，得

|a+b|+|a-b|≥2|a|,

|a+b|+|a-b|≥2|b|,

從而 |a+b|+|a-b|≥2max{|a|,|b|}=4，

當(dāng)且僅當(dāng)a,b共線時(shí)，等號(hào)成立，故|a+b|+|a-b|的最小值是4.由

思路2 利用向量的坐標(biāo)表示及三角函數(shù)知識(shí)，設(shè)a=(1,0),b=(2cosθ,2sinθ),則

|a+b|+|a-b|=

從而

16≤t2≤20,

設(shè)置臺(tái)階，選擇題、填空題、解答題都分別由淺入深，每一道解答題分層設(shè)計(jì)，前一小題的解決為后面的小題作鋪墊，逐步化解難點(diǎn)，拾級(jí)而上，即便壓軸題也是如此．

1．2 能力立意，聚焦核心素養(yǎng)

試卷在考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的基礎(chǔ)上，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，檢測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第17題)

本題表面上是已知含參數(shù)函數(shù)的最大值，求參數(shù)的范圍問題，本質(zhì)是函數(shù)圖像的對(duì)稱性問題．

此方法需要學(xué)生運(yùn)用觀察、類比、化歸的策略，考查了學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．解決此題還可用通常的方法,如直接求f(x)的最值(分3種情況a≥5，a≤4，4

( )

A．γ<α<βB．α<γ<β

C．α<β<γD．β<γ<α

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第9題)

此題要求比較三棱錐D-PQR的3個(gè)面與底面所成二面角的平面角的大小，過點(diǎn)D作DO⊥平面ABC,垂足為O,則O為正△ABC的中心.分別設(shè)O到直線PR,PQ,QR的距離為d1,d2,d3，則

問題可轉(zhuǎn)化為比較d1,d2,d3的大?。?/p>

圖1 圖2

如圖2，由已知得點(diǎn)P,O,C共線，∠RQC=90°，∠ROC=90°,故點(diǎn)R,O,Q,C共圓，于是∠ORQ=30°,∠PRO>30°,因此d1>d3.同理可得d3>d2,從而

d1>d3>d2, tanα

即

α<γ<β.

故選B．

本題將空間問題平面化，這是解決立體幾何問題的基本策略，如能畫出比較準(zhǔn)確的圖形，利用直觀也可得出結(jié)論(但要嚴(yán)格論證需要有較深厚的平面幾何功底)，考查了學(xué)生直觀想象、推理論證等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

圖3

1)求直線AP斜率的取值范圍；

2)求|PA|·|PQ|的最大值.

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第21題)

本題是一道解析幾何求變量的取值范圍或最值問題，考查坐標(biāo)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想及轉(zhuǎn)化思想，試題常規(guī)而不落俗套．

分析 1)直接利用經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)的直線斜率公式，得直線AP的斜率為

2)關(guān)鍵是|PQ|的計(jì)算.根據(jù)題目給出的信息，利用勾股定理計(jì)算|PQ|較簡(jiǎn)便．

|PA|·|PQ|=(k+1)3(1-k).

此方法利用勾股定理，避免了求點(diǎn)Q的坐標(biāo)帶來的繁雜運(yùn)算，也可利用向量法：

以上各種方法回避了韋達(dá)定理，借助圖形的性質(zhì)或向量，減少了運(yùn)算量，因此也是規(guī)避題海的一個(gè)典例，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

此外，試卷在數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用上也做足了文章，第20～22題都考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，凸顯了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的廣泛性，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問題及數(shù)學(xué)建模等能力．

1．3 演繹經(jīng)典，彰顯鮮明特色

將以往的浙江省數(shù)學(xué)高考試題推陳出新，是浙江卷的一貫風(fēng)格，2017年試卷尤其突出．

例5 已知數(shù)列{an}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(xn+1+1)(其中n∈N*).證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，

1) 0

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第22題)

本題給出的遞推式中含自然對(duì)數(shù)，規(guī)避了題海，也是2017年試題的一個(gè)亮點(diǎn)，背景是泰勒展開式，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及放縮的策略．此題實(shí)際上是2006年浙江省數(shù)學(xué)高考理科壓軸題改編而成的．

圖4

例6 已知函數(shù)f(x)=x3+x2，數(shù)列{xn}(其中xn>0)的第一項(xiàng)x1=1，以后各項(xiàng)按如下方式確定：曲線y=f(x)在(xn+1,f(xn+1))處的切線與經(jīng)過點(diǎn)(0，0)和(xn,f(xn))的直線平行(如圖4)，求證：當(dāng)n∈N*時(shí)，

(2006年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

例5的第3)小題與例6的第2)小題證明的是同一個(gè)結(jié)論．例6直接從導(dǎo)數(shù)的幾何意義出發(fā)設(shè)計(jì)問題，而例5隱去了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，需要考生去挖掘，對(duì)考生的數(shù)學(xué)能力來說是挑戰(zhàn)．解決此題需綜合運(yùn)用數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)知識(shí)及分析、觀察、歸納、猜想等能力及思維品質(zhì)，入口寬，解法多樣，能綜合檢測(cè)考生分析問題、解決問題的能力及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能與潛質(zhì)．

再如2017年數(shù)學(xué)高考卷的第7題由2007年理科卷第8題改編而來；第15題由2014年理科卷第8題改編而來；第17題由2008年理科卷第15題改編而來；第21題由2008年理科卷第20題改編而來．如此密集地演繹經(jīng)典試題，并且都是重點(diǎn)題，創(chuàng)下了歷年之最．

2 試題對(duì)教學(xué)的啟示

2017年試題秉承了浙江卷的特點(diǎn)，是文理合卷的一次有益探索，命題設(shè)計(jì)盡可能地從現(xiàn)實(shí)問題或幾何背景出發(fā)，構(gòu)造出素材樸實(shí)、內(nèi)蘊(yùn)豐富的試題，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在實(shí)質(zhì)．試卷中的題目處處閃現(xiàn)著問題解決的智慧，既加強(qiáng)了概念考查，又突出對(duì)學(xué)生能力的考查，對(duì)課堂教學(xué)是一種很好的引導(dǎo)，引導(dǎo)教師、學(xué)生避免將大量的精力消耗在盲目套用所謂的解題技巧上．這給我們昭示了一個(gè)信息：會(huì)思考、具有良好思維品質(zhì)的考生能考出優(yōu)異的成績(jī)，也給我們的復(fù)習(xí)教學(xué)諸多啟示．

學(xué)生缺乏的不是技巧，而是基礎(chǔ)．在考試中，不少學(xué)生對(duì)概念、定理、公理等認(rèn)識(shí)模糊，導(dǎo)致在遇到陌生問題時(shí)不知道如何運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去合理地展開聯(lián)想，進(jìn)行有效地探究，選擇簡(jiǎn)便的方法.他們解答了大量的習(xí)題，但“大運(yùn)動(dòng)量的訓(xùn)練”不能使他們獲得思考和解決問題的能力．研究每一章節(jié)的典型習(xí)題，注重“源”與“本”的關(guān)系，才能提高學(xué)生對(duì)“雙基”的靈活運(yùn)用．

高考試題源于課本與以往的高考試題，這是高考試題公平性的體現(xiàn)，以往的高考試題凝聚了命題教師的心血．可以通過專題的形式分條塊進(jìn)行，引導(dǎo)學(xué)生厘清每一條塊是怎么考的，答題策略有哪些，蘊(yùn)藏著哪些規(guī)律,問題的本質(zhì)是什么．

數(shù)學(xué)重在思維，教學(xué)中教師需幫助學(xué)生縱橫梳理知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)知識(shí)條理化、有序化、網(wǎng)絡(luò)化．對(duì)重點(diǎn)知識(shí)與重點(diǎn)方法，要理解準(zhǔn)、透，對(duì)難點(diǎn)知識(shí)、方法適度開展探究式教學(xué)，從基本問題出發(fā)，從多角度探索、一題多變、策略提升、建立數(shù)學(xué)模型展開教學(xué)，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

?2017-06-11；

2017-07-03

鄭日鋒(1962-)，男，浙江瑞安人，浙江省特級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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1003-6407(2017)08-41-04