●李旺強(qiáng)

(清水縣第六中學(xué)，甘肅 清水 741499)

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一道課本例題的解析、改編與變式*

●李旺強(qiáng)

(清水縣第六中學(xué)，甘肅 清水 741499)

例題講解是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中必不可少的環(huán)節(jié).文章中執(zhí)教教師對(duì)課例進(jìn)行深入的挖掘，使其在引領(lǐng)本節(jié)所學(xué)知識(shí)應(yīng)用的同時(shí)，通過(guò)題型的改編、變式以及與高考試題的對(duì)應(yīng)銜接來(lái)進(jìn)一步開闊學(xué)生的視野，提升學(xué)生的思維能力.

一題多解；題型改編；變式提升

人教A版《數(shù)學(xué)(必修2)》第2.2節(jié)“ 直線與平面平行的判定”，筆者在講授這一判定在具體問(wèn)題中的應(yīng)用時(shí)選用了課本上的例1作為示例，先讓學(xué)生自己審題、尋找解決方法，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦的習(xí)慣以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，同時(shí)增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)語(yǔ)感，積累解題經(jīng)驗(yàn).在讓學(xué)生上臺(tái)展示解法時(shí)，有學(xué)生提出了自己的見解與證明方法，針對(duì)學(xué)生的提議，筆者課后對(duì)其解法進(jìn)行了歸納分析，并將課本例題進(jìn)行了改編，同時(shí)增加了幾道相同或相似背景的變式題，以提高學(xué)生對(duì)直線與平面平行的判定定理的理解和應(yīng)用.

例1 求證：空間四邊形相鄰2條邊的中點(diǎn)的連線平行于另外2條邊所確定的平面.

圖1

已知：如圖1，在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，求證：EF∥平面BCD.

(人教A版《數(shù)學(xué)》第55頁(yè)例1)

該題涉及線段中點(diǎn)、平面幾何的相關(guān)性質(zhì)以及空間幾何體等相關(guān)內(nèi)容，主要考查學(xué)生對(duì)線面平行判定定理的理解與應(yīng)用.通過(guò)此題的解答,掌握一些處理線面平行問(wèn)題的相關(guān)思想和方法，重點(diǎn)考查學(xué)生的抽象能力和靈活處理立體幾何問(wèn)題的能力.

1 多視角探析

1.1 利用中位線定理改編

證法1 聯(lián)結(jié)BD.因?yàn)镋,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，所以

AE=EB,AF=FD,EF∥BD.

又因?yàn)镋F∥平面BCD，BD?平面BCD,所以

EF∥平面BCD.

評(píng)注 此證法直接借用題目已知條件，針對(duì)空間四邊形的幾何體結(jié)構(gòu)，借用三角形中位線定理證明，簡(jiǎn)單、明了.

改編1 如圖2，在空間四邊形ABCD中,G是CD的中點(diǎn)，E,F分別是AB,AG的中點(diǎn)，求證：EF∥平面BCD.

分析 由題意易證EF是△ABG的中位線.

圖2 圖3

改編2 如圖3，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，求證：PB∥平面AEC.

分析 聯(lián)結(jié)BD交AC于點(diǎn)O,聯(lián)結(jié)OE,則OE是△PDB的中位線.

變式1 如圖4，已知E,F,G,M分別是四面體的棱AD,CD,BD,BC的中點(diǎn)，求證：AM∥平面EFG.

分析 聯(lián)結(jié)MD交GF于點(diǎn)H，易證EH是△AMD的中位線.

圖4 圖5

變式2 如圖5，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D為AC的中點(diǎn),求證：AB1∥面BDC1.

分析 聯(lián)結(jié)B1C交BC1于點(diǎn)E，易證ED是△B1AC的中位線.

高考聯(lián)結(jié)1 如圖6，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，O為AC中點(diǎn)，M為PD中點(diǎn)，證明：PB∥平面ACM.

(2011年天津市數(shù)學(xué)高考文科試題第17題)

圖6 圖7

高考聯(lián)結(jié)2 如圖7,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中點(diǎn)，證明:BC1∥平面A1CD.

(2014年全國(guó)數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷Ⅱ文科試題第18題)

1.2 構(gòu)造平行四邊形或梯形改編

證法2 如圖8，設(shè)G,H分別是BC,CD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD，EG,GH,FH,則

EF,

從而

EFGH,

故四邊形EFGH是平行四邊形.因?yàn)镚H?平面BCD,所以EF∥平面BCD.

評(píng)注 該證法從已知條件“E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)”出發(fā)，分別選取的中點(diǎn)G，H,采用構(gòu)造平行四邊形的方式進(jìn)行了證明，雖然有點(diǎn)走彎路，但也是一種解決辦法.

圖8 圖9

改編1 如圖9，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點(diǎn),求證：D1O//平面A1BC1.

分析 聯(lián)結(jié)D1B1交A1C1于點(diǎn)O1,聯(lián)結(jié)O1B,OB，易證四邊形OBO1D1是平行四邊形.

分析 取PC的中點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF，則易證四邊形ABFE是平行四邊形.

圖10 圖11

變式1 如圖11，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，點(diǎn)E,F分別為棱AB,PD的中點(diǎn),求證：AF∥平面PCE.

分析 取PC的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)EG，F(xiàn)G，則易證四邊形AEGF是平行四邊形.

分析 取DB的中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)GH,HC，則易證四邊形FGHC是平行四邊形.

圖12

高考聯(lián)結(jié)1[1]如圖13，在五面體ABCDEF中，點(diǎn)O是矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，面CDE是等邊三角形，棱EF，證明：FO∥平面CDE.

(2011年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題第19題)

圖13 圖14

高考聯(lián)結(jié)2 如圖14，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB,PC的中點(diǎn).

1)證明：EF∥平面PAD；

2)若H是AD的中點(diǎn)，證明：EA∥平面PHC.

(2010年陜西省數(shù)學(xué)高考文科試題第18題)

1.3 利用對(duì)應(yīng)線段成比例改編

證法3 如圖15，不妨設(shè)G是BC邊上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)G作GH∥BD交CD于點(diǎn)H,則四邊形EGHF為梯形，從而

EF∥GH.

因?yàn)镚H?平面BCD,所以

EF∥平面BCD.

評(píng)注 證法3直接觀察讓人有點(diǎn)匪夷所思，證法1可以說(shuō)是簡(jiǎn)單、直接、省事，是首選方法.可為何放著現(xiàn)有的平行線不用卻要畫蛇添足重新來(lái)做呢？仔細(xì)琢磨，證法3隱含了另一種題型的證明方法，如將題目中的已知條件改成邊之間的比例關(guān)系，或者涉及相似三角形等相關(guān)知識(shí)時(shí)，證法3大有用場(chǎng).

圖15 圖16

圖17

2 逆向思維、溝通遷移

圖18 圖19

例3 如圖19，四邊形ABCD為正方形，△ABE為等腰三角形，AB=AE,P是線段CD的中點(diǎn)，問(wèn)：在直線AE上是否存在一點(diǎn)M,使PM∥BCE平面？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)M的位置，并證明你的結(jié)論.

分析 過(guò)點(diǎn)M做MF∥AB,聯(lián)結(jié)CF,則當(dāng)四邊形PCFM為平行四邊形時(shí),PM∥平面BCE，故M是AE的中點(diǎn).

學(xué)生是一個(gè)個(gè)鮮活的個(gè)體，對(duì)待問(wèn)題有一定的思想和靈感.通過(guò)例1的解法展示可以看出學(xué)生對(duì)線面平行的判定理解得比較深刻，在具體問(wèn)題應(yīng)用時(shí)，能夠抓住本質(zhì)進(jìn)行必要的構(gòu)造，解題思路清晰、新穎，有自己獨(dú)特的見解.再通過(guò)改編題使學(xué)生對(duì)線面平行的判定理解更為深入，應(yīng)用更加靈活、恰當(dāng)，同時(shí)也拓展了學(xué)生的思維，開闊了學(xué)生的視野.

3 結(jié)束語(yǔ)

改編題分別體現(xiàn)了相同(相似)背景下、不同背景下問(wèn)題的求解策略，有效地刺激了學(xué)生的空間想象能力，也激發(fā)了他們的探究熱情，調(diào)動(dòng)了他們學(xué)習(xí)的積極性和興趣性，使數(shù)學(xué)在他們內(nèi)心中趨于有趣化、常態(tài)化.一道課本例題的解析、改編與變式使他們對(duì)本節(jié)知識(shí)的理解更加透徹[2]，使他們的思維隨著試題的改編、變式而呈螺旋式上升，讓課例發(fā)揮了應(yīng)有的功能和作用.

[1] 李旺強(qiáng)．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)中“講”的再認(rèn)識(shí)——對(duì)一個(gè)向量問(wèn)題教學(xué)的思考[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2016(9)：7-9．

[2] 曹鳳山.從課本例(習(xí))題到高考題的若干命題途徑.[J]中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2012(1)：26-28．

?2016-12-10；

2017-01-15

李旺強(qiáng)(1982-)，男，甘肅清水人，中學(xué)二級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

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1003-6407(2017)08-27-03