●吳淑芳 朱成萬

(杭州第十四中學(xué),浙江 杭州 310006)

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1個(gè)公式 5類問題 14年高考*
——對角線向量定理在浙江高考中的妙用

●吳淑芳 朱成萬

(杭州第十四中學(xué),浙江 杭州 310006)

浙江省數(shù)學(xué)高考試題有自己的風(fēng)格和特點(diǎn)，?？汲Ｐ?，每年總有1～2道試題能被同一對角線向量定理秒殺．文章對該定理的應(yīng)用進(jìn)行分類解析，形成通解通法，實(shí)現(xiàn)從復(fù)習(xí)到考試的軟著陸．

對角線向量定理;通解通法；極化恒等式

浙江省數(shù)學(xué)高考自主命題，從2004年以來，已經(jīng)成功地實(shí)現(xiàn)了軟著陸，并形成了自己的特點(diǎn)和風(fēng)格[1]．對主干知識的考查每年從不同的角度設(shè)問，?？汲Ｐ拢脐惓鲂拢P者研究發(fā)現(xiàn)：這14年(2004～2017)的浙江省數(shù)學(xué)高考試卷中每年都有1～2道試題能被同一個(gè)公式秒殺，這個(gè)公式就是：

(1)

筆者稱式(1)為對角線向量定理(文獻(xiàn)[2]稱之為四點(diǎn)向量定理，筆者認(rèn)為把它叫做對角線向量定理更能體現(xiàn)該公式的特點(diǎn))．它可以用來破解高考試題中有關(guān)平面向量數(shù)量積問題和立體幾何中的異面直線所成角、線面角以及二面角等空間角度問題，也可以破解立體幾何中有關(guān)距離的問題和翻

折問題．

1 對角線向量定理

圖1

如圖1，在△ABC中，由余弦定理的向量式得

在△ADC中，同理可得

因此在四邊形ABCD中，

,

(1)

式(1)就是對角線向量定理，它表明：四邊形的兩條對角線對應(yīng)向量的數(shù)量積可用4條邊的長度表示．該定理的兩個(gè)推論是顯而易見的．

(2)

式(2)表明：當(dāng)對角線互相垂直時(shí)，四邊形兩組對邊的平方和相等．

推論2

(3)

圖2

式(3)可以求平面或空間的角度問題，包括線線角、線面角和二面角．

需要說明的是，式(1)～(3)既適用于平面向量也適用于空間向量(如圖2所示)．

2 用對角線向量定理妙解浙江高考題

為了理解上的方便，筆者以知識內(nèi)容為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類解析，從以下5個(gè)方面欣賞對角線向量定理在歷年浙江省數(shù)學(xué)高考試題中的妙解．

2.1 用對角線向量定理妙解平面向量題

向量的數(shù)量積是向量中的一個(gè)重要問題，也是每年浙江省數(shù)學(xué)高考必考的核心內(nèi)容之一．根據(jù)式(1)，當(dāng)四邊形4條邊的長度可控時(shí)(不要求4條邊的長度都是已知的定值)，就可以求對角線所在向量的數(shù)量積．

( )

A．I1

C．I3

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第10題)

解 由對角線向量定理得

所以I3

圖3 圖4

( )

A.-8 B.-1 C.1 D.8

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考樣卷第9題)

解 由對角線向量定理得

故選D．

( )

A．b2-a2B．a(chǎn)2-b2

C．a(chǎn)2+b2D．a(chǎn)b

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考樣卷第5題)

圖5 圖6

解 由對角線向量定理得

b2-a2.

故選A．

2．2 用對角線向量定理妙解線線角

求空間直線所成角通常有兩種方法:一是作輔助線(平行線);二是建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)運(yùn)算．利用推論2，可以很方便地求出兩條異面直線所成角的余弦(避免了作輔助線和繁復(fù)的坐標(biāo)運(yùn)算)．下面舉兩個(gè)例子，體會對角線向量定理在破解空間直線所成角問題中的威力．

例4 設(shè)M,N是直角梯形ABCD兩腰的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E(如圖6)．現(xiàn)將△ADE沿DE折起，使二面角A-DE-B為45°，此時(shí)點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點(diǎn)B，則點(diǎn)M,N的連線與AE所成角的大小為______．

(2005年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第12題)

解 由題意得AM=EM.因?yàn)榉酆驛B⊥面BCDE，∠AEB=45°,所以AN=EN.由對角線向量定理得

圖7

例5 如圖7，三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2,點(diǎn)M,N分別是AD,BC的中點(diǎn)，則異面直線AN,CM所成角的余弦值是______．

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第13題)

解 容易求得

由推論2得

用向量法求線面角β:首先要找到平面的法向量n，再求法向量與所求直線方向向量的夾角θ，要注意角β與θ是互余的．用對角線向量定理求空間線面角的方法與步驟也是這樣的，不過我們所用到的法向量，不必用坐標(biāo)法求出，只需找平面的一條垂線段即可．

例6 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，點(diǎn)D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1C1C所成的角為α，則α=

( )

(2004年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第10題)

故選D．

圖8 圖9

例7 如圖9，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，點(diǎn)M，N分別為PC，PB的中點(diǎn)．

1)求證：PB⊥DM；

2)求CD與平面ADMN所成的角．

(2006年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

1)證明 因?yàn)镹是PB的中點(diǎn)，PA=AB，所以AN⊥PB．又AD⊥平面PAB，從而AD⊥PB，于是PB⊥平面ADMN．由DM?平面ADMN，知PB⊥DM．

2．4 用對角線向量定理妙解空間二面角

二面角是立體幾何的重要內(nèi)容，也是浙江省數(shù)學(xué)高考每年必考題目之一(特別是在立體幾何的大題中)．求二面角的大小通常需要建立空間坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算求出法向量，進(jìn)而求解；或者通過二面角的平面角定義作出平面角(這是一個(gè)難點(diǎn))．用對角線向量定理求二面角給出了一種全新的視角．

圖10

1)求二面角A′-FD-C的余弦值；

2)點(diǎn)M,N分別在線段FD,BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使點(diǎn)C與點(diǎn)A′重合，求線段FM的長．

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

2)略．

2．5 用對角線向量定理妙解立體幾何翻折問題

用對角線向量定理破解翻折問題，可以通過代數(shù)運(yùn)算來刻畫邊長與角度的變化，降低對空間想象能力的要求．

例9 如圖11，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足．設(shè)AK=t，則t的取值范圍是______．

(2009年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

圖11

解 因?yàn)槊鍭BD⊥面ABC,又DK⊥AB，所以DK⊥面ABCF，故DK⊥AF.根據(jù)推論1可知：當(dāng)DK⊥AF時(shí)，

設(shè)DF=x(其中x>1)，則

x2+t2=12+[(x-t)2+1],

從而

( )

A．存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直

B．存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直

C．存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直

D．對任意位置，直線“AC與BD”“AB與CD”“AD與BC”均不垂直

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第10題)

顯然AC與直線BD不垂直．而

當(dāng)AC=1時(shí)，直線AB與直線CD垂直.故選B．

例11 如圖12，已知△ABC，D是AB的中點(diǎn)，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則

( )

A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥α

C．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

圖12 圖13

所以

cos∠A′DB≤cosα，

即∠A′DB≥α.故選B．

評注 這是同一份試卷第二次出現(xiàn)此類問題．

圖14

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第14題)

解 翻折后仍有

設(shè)直線AC與BD′所成角為θ，由對角線向量定理得

當(dāng)且僅當(dāng)BD′最小時(shí)，AC與BD′所成角的余弦值最大．

3 從對角線向量定理到極化恒等式

設(shè)M是CD的中點(diǎn)，則

這就是極化恒等式，它可以由對角線向量定理推導(dǎo)而來，因此可將極化恒等式作為對角線向量定理的一個(gè)推論．從形式上看，極化恒等式揭示的也是向量數(shù)量積與對角線之間的關(guān)系[3]．

( )

A．∠ABC=90° B．∠BAC=90°

C．AB=ACD．AC=BC

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

圖15

解 如圖15，取線段BC的中點(diǎn)M，則

對角線向量定理還可以秒殺更多的試題，限于篇幅，不再舉例．研究用對角線向量定理秒殺一類浙江省數(shù)學(xué)高考試題，并不是追求高難度的解題技巧，相反，是尋求問題的通解通法,形成統(tǒng)一解法，著意于解題工具的選擇，著意于數(shù)學(xué)問題的理解，直透問題的本質(zhì)，看出題目的結(jié)果．

[1] 高考數(shù)學(xué)研究組．浙江數(shù)學(xué)高考2004一路走來[M]．杭州：浙江大學(xué)出版社，2016．

[2] 范廣發(fā).用四點(diǎn)向量定理破解空間角難題[J]．中小學(xué)數(shù)學(xué):高中，2017(3)：58-60．

[3] 王紅權(quán)，李學(xué)軍，朱成萬．巧用極化恒等式 妙解一類向量題[J]，中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2013(8)：24-25．

?2017-06-15；

2017-07-03

吳淑芳(1978-)，女，浙江東陽人，中學(xué)一級教師.研究方向:數(shù)學(xué)教育．

O123.1

A

1003-6407(2017)08-36-05