●周順鈿

(杭州高級(jí)中學(xué)，浙江 杭州 310003)

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橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及教材改進(jìn)的建議*

●周順鈿

(杭州高級(jí)中學(xué)，浙江 杭州 310003)

為檢查和評(píng)估青年教師的教學(xué)業(yè)務(wù)水平，學(xué)校以《數(shù)學(xué)(選修2-1)》第2.2節(jié)“橢圓”為課題，進(jìn)行教學(xué)展示.從教學(xué)效果看，青年教師對(duì)教材的理解、處理等方面存在一些不足，對(duì)教材中內(nèi)隱的知識(shí)不能進(jìn)行有效挖掘，這一方面說(shuō)明青年教師的成長(zhǎng)需要得到指導(dǎo)，另一方面也說(shuō)明教材也有需要改進(jìn)的地方.為方便教材從學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教學(xué)形態(tài)，建議在教材設(shè)計(jì)中以旁白、想一想、思考等不同方式對(duì)教材中隱晦的結(jié)果給出顯性的指示，以幫助更多青年教師迅速走上正確的教學(xué)軌道.

運(yùn)算；推理；拓展；引伸；改進(jìn)；建議

教師是學(xué)校最豐富、最有潛力、最有生命力的教育資源，而青年教師更是學(xué)校的寶貴財(cái)富，是學(xué)校的未來(lái)和希望，青年教師的培養(yǎng)是教育教學(xué)質(zhì)量可持續(xù)發(fā)展的關(guān)鍵環(huán)節(jié).隨著學(xué)校規(guī)模的持續(xù)擴(kuò)大，青年教師的隊(duì)伍也不斷壯大，為提高青年教師準(zhǔn)確把握課標(biāo)、正確處理教材和靈活運(yùn)用教法的能力，學(xué)校以“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”為課題，通過(guò)同課異構(gòu)的方式匯報(bào)交流，對(duì)青年教師的教學(xué)素養(yǎng)進(jìn)行考察.在教學(xué)過(guò)程中，青年教師能基本達(dá)成課程目標(biāo)，但對(duì)教材的重點(diǎn)和難點(diǎn)的把握不夠精準(zhǔn)，對(duì)教學(xué)時(shí)間的掌控能力也有待提高.

本節(jié)課的核心是橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，需要突破3個(gè)難點(diǎn)：1)橢圓定義如何產(chǎn)生；2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程如何推導(dǎo)；3)從橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中能提煉出橢圓的哪些幾何特征.文章就上述3個(gè)問(wèn)題，對(duì)教師的教學(xué)及教材的改進(jìn)給出一些意見(jiàn)和建議.

1 橢圓定義的產(chǎn)生

通過(guò)引言以及日常生活的體驗(yàn)，讓學(xué)生了解橢圓的直觀形狀.但為了讓學(xué)生能自然地產(chǎn)生橢圓的定義，建議先讓學(xué)生進(jìn)行一番由淺入深的探究.

探究1 取一條定長(zhǎng)2a的細(xì)繩，把它的兩端固定在圖板的同一點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，觀察筆尖(動(dòng)點(diǎn))畫(huà)出軌跡的形狀.

探究2 在探究1中，把細(xì)繩的兩端固定在圖板的兩個(gè)點(diǎn)處(如圖1)，保持細(xì)繩松弛，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，觀察筆尖(動(dòng)點(diǎn))畫(huà)出軌跡的形狀.

圖1

探究3 在探究2中，當(dāng)細(xì)繩兩端間的距離增大或縮小時(shí)，觀察筆尖(動(dòng)點(diǎn))畫(huà)出軌跡的形狀如何變化.

由于課堂時(shí)間的限制，建議課前將上述3個(gè)探究提交給學(xué)生，并將學(xué)生的探究結(jié)果通過(guò)投影儀(或多媒體)呈現(xiàn)在課堂上.

探究1的結(jié)論 筆尖(動(dòng)點(diǎn))畫(huà)出的軌跡是以固定點(diǎn)為圓心、a為半徑的圓周.

探究2的結(jié)論 筆尖(動(dòng)點(diǎn))畫(huà)出的軌跡是橢圓，F(xiàn)1,F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).

探究3的結(jié)論 記細(xì)繩兩端間連線的長(zhǎng)度為2c：當(dāng)a=c時(shí)，細(xì)繩拉緊，筆尖(動(dòng)點(diǎn))畫(huà)出的軌跡是線段F1F2；當(dāng)a>c>0時(shí)，筆尖(動(dòng)點(diǎn))畫(huà)出的軌跡是橢圓，若c→a，則橢圓越扁平，若c→0，則橢圓越接近于圓.特別地，當(dāng)c=0時(shí)，筆尖(動(dòng)點(diǎn))畫(huà)出的軌跡是圓；當(dāng)c>a>0時(shí)，細(xì)繩將崩斷，這樣的軌跡不存在.

上述探究過(guò)程可以借助信息技術(shù)的動(dòng)態(tài)演示，增強(qiáng)學(xué)生的直觀感知效果，加深對(duì)“常數(shù)要大于|F1F2|”的理解，進(jìn)而讓學(xué)生歸納出橢圓的定義.

橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.

奧蘇伯爾說(shuō):影響學(xué)生學(xué)習(xí)新知的最重要因素是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么，要探明這一點(diǎn)，并據(jù)此展開(kāi)教學(xué).由于學(xué)生對(duì)橢圓的定義找不到“感覺(jué)”，因此教師提供適宜學(xué)生學(xué)習(xí)的探究素材是十分必要的，不能進(jìn)入學(xué)生視野的東西就不可能使他們主動(dòng)學(xué)習(xí)和探究.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011)》提出：“數(shù)學(xué)教學(xué)不是把現(xiàn)成的結(jié)論教給學(xué)生，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生自己尋求知識(shí)產(chǎn)生的起因，探索它與其他事物的聯(lián)系，在探索過(guò)程中形成概念、尋求規(guī)律、獲得結(jié)論.”這充分闡明了數(shù)學(xué)教學(xué)要重視學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的主體地位，要讓學(xué)生參與知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的全過(guò)程，要為學(xué)生設(shè)計(jì)有助于促進(jìn)思維發(fā)展的問(wèn)題，激勵(lì)學(xué)生更加積極地參與教學(xué)活動(dòng).

2 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程是本節(jié)課的核心，需要學(xué)生認(rèn)真推理，從而培養(yǎng)學(xué)生縝密的邏輯推理能力.這個(gè)過(guò)程筆者傾向于讓學(xué)生在課堂上即時(shí)推導(dǎo)，但也可以作為探究4在課前一并交給學(xué)生，然后將結(jié)果在課堂上用投影儀進(jìn)行展示.

探究4 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于2a(其中2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡方程是什么？

思考 類比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，怎樣建立直角坐標(biāo)系能使橢圓方程更加簡(jiǎn)潔？

由于前一課時(shí)授課內(nèi)容為“曲線與方程”，課堂反饋學(xué)生普遍了解求曲線軌跡方程的基本步驟：建、設(shè)、列、代、化、驗(yàn).

圖2

建系 觀察橢圓圖形的對(duì)稱性，以F1F2所在直線為x軸、F1F2的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖2).

設(shè)點(diǎn) 設(shè)M(x,y)，F(xiàn)1(-c,0),F2(c,0).

列式 橢圓滿足集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}.

代入

(1)

化簡(jiǎn) 兩個(gè)根式放在一起，給學(xué)生的恒等變形帶來(lái)極大的挑戰(zhàn)，化簡(jiǎn)的關(guān)鍵在于去根號(hào)，學(xué)生直覺(jué)感知式(1)兩邊直接平方會(huì)較繁，為均衡起見(jiàn)，采取移動(dòng)一個(gè)根式到右邊，再兩邊平方去根號(hào).

方法1 移項(xiàng)

兩邊平方整理

(2)

再兩邊平方整理

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，

兩邊同除a2(a2-c2),得

類比直線方程的截距式，令b2=a2-c2，得

(x2+c2+y2)2-4c2x2=[2a2-(x2+c2+y2)]2，

展開(kāi)整理，得

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，

下同方法1.

方法3 從有理化的角度處理.由式(1)可知

(3)

式(1)+式(3)，得

(4)

式(1)-式(3)，得

(5)

圖3

式(2)與式(5)的本質(zhì)相同，下同方法1.

驗(yàn)證 略.

如果學(xué)生在課堂上即時(shí)推導(dǎo)，建議給學(xué)生以充足的時(shí)間，靜待花開(kāi)，常常會(huì)有意想不到的收獲.

章建躍博士認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù)是學(xué)會(huì)運(yùn)算和推理，運(yùn)算離不開(kāi)推理，推理在高中乃至整個(gè)基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的展現(xiàn)形式就是運(yùn)算，“能推理，會(huì)運(yùn)算”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要養(yǎng)成的基本素質(zhì)[1].在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中，許多學(xué)生面對(duì)“復(fù)雜”的運(yùn)算無(wú)從下手，需要教師引導(dǎo)他們挖掘信息、走出困境，此時(shí)學(xué)生收獲的不僅僅是解題技能的提高，更是思維水平的提升和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的激揚(yáng).

3 挖掘橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過(guò)程中隱藏在代數(shù)式背后的幾何特征

由于時(shí)間有限，青年教師在課堂中均沒(méi)有對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程作進(jìn)一步研究，事后詢問(wèn)執(zhí)教教師，也沒(méi)有對(duì)推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行繼續(xù)探究的打算.事實(shí)上，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程是一座豐富的礦藏，其代數(shù)式背后蘊(yùn)藏著重要的幾何特征，具有十分重要的教學(xué)價(jià)值.

特征1 焦半徑公式.

式(4)和式(5)表示橢圓上點(diǎn)M到左、右焦點(diǎn)的距離，俗稱焦半徑公式

這也可以從式(2)得到.由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程易知，-a≤x≤a，于是

a-c≤|MF1|≤a+c，

當(dāng)點(diǎn)M位于橢圓長(zhǎng)軸上的端點(diǎn)A1處時(shí)，

|MF1|min=a-c，

當(dāng)點(diǎn)M位于橢圓長(zhǎng)軸上的端點(diǎn)A2處時(shí)，

|MF1|max=a+c.

這與教材第49頁(yè)A組第9題涉及的“近日點(diǎn)”“遠(yuǎn)日點(diǎn)”兩個(gè)概念相互印證.

特征2 橢圓的第二定義.

由焦半徑公式變形得

這與教材第47頁(yè)例6相互印證.

評(píng)注 為了控制難度，教學(xué)時(shí)可以不向?qū)W生提出橢圓第二定義的概念.

特征3 橢圓上的點(diǎn)(異于長(zhǎng)軸上的端點(diǎn)A1,A2和短軸上的端點(diǎn)B1,B2)與橢圓對(duì)稱軸端點(diǎn)連線的斜率之積為定值.

即

即

同理可得

這與教材第41頁(yè)例3相互印證.

即

亦即

事實(shí)上，上述3個(gè)幾何特征在教材例題和習(xí)題中均有要求，這些關(guān)系在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中均可順利得到，它既可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也可以培養(yǎng)學(xué)生深入思考的良好習(xí)慣，何樂(lè)而不為？

如果學(xué)生能夠?qū)裹c(diǎn)△MF1F2繼續(xù)研究，那么還可以得到以下二級(jí)結(jié)論:

橢圓是高中教學(xué)中極其重要的教學(xué)內(nèi)容，把橢圓教好了、教活了，那么接下來(lái)學(xué)習(xí)雙曲線和拋物線就容易多了，學(xué)生也有了類比探究的可能和興趣.4 改進(jìn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)的教材內(nèi)容的意見(jiàn)和建議

教材不同于學(xué)術(shù)專著，就在于它不僅要保證科學(xué)性，還要考慮使用者的可接受性.為了方便教材從學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教學(xué)形態(tài)，讓青年教師快速掌握橢圓教學(xué)的要領(lǐng)，建議在教材處理時(shí)能以“旁白”“想一想”“思考”等多種方式給出較為明確的指向，將例(習(xí))題中隱晦的提示變?yōu)轱@性的啟發(fā)，以幫助更多青年教師快速領(lǐng)悟編者的意圖.

4.1 對(duì)橢圓焦半徑公式的處理

建議在教材第39頁(yè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程邊上，以“旁白”的方式給出：在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中，你能用點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x表示點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離|MF1|，|MF2|嗎？它們的最大值和最小值是多少？

在這里，是否給出左(右)焦半徑的稱謂，是無(wú)關(guān)緊要的.

4.2 對(duì)橢圓第二定義的處理

如此安排，學(xué)生便能夠很自然地知道橢圓第一定義、橢圓第二定義、橢圓的焦半徑之間的內(nèi)在聯(lián)系，并將它們作為一個(gè)有機(jī)的整體理解和掌握.

4.3 對(duì)于橢圓上的點(diǎn)與橢圓對(duì)稱軸端點(diǎn)連線的斜率之積為定值的處理

這是例3的自然推廣，既有聯(lián)系，也有深度，可以培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般、鍥而不舍的探究精神.

4．4 對(duì)橢圓焦點(diǎn)三角形的處理

對(duì)于與橢圓焦點(diǎn)三角形有關(guān)問(wèn)題的研究，可以在教材第39頁(yè)思考1后面，加入思考2：在焦點(diǎn)△MF1F2，記∠F1MF2=θ，你能用θ表示△MF1F2的面積嗎？你還能在焦點(diǎn)△MF1F2中得到哪些結(jié)論？

這樣處理的好處是讓學(xué)生關(guān)注這個(gè)特殊的焦點(diǎn)三角形，不足是容易分散學(xué)生推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的注意力.不妨退一步，在教材第50頁(yè)B組練習(xí)中增加一個(gè)與焦半徑有關(guān)的習(xí)題，讓學(xué)有余力的學(xué)生去主動(dòng)探究.

4.5 余味：橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題

事實(shí)上，θ=90°時(shí)的焦點(diǎn)弦AB我們通常稱為橢圓的通徑，這與拋物線的通徑概念是相互統(tǒng)一、前后照應(yīng)的，這個(gè)問(wèn)題是否也應(yīng)該以例題或習(xí)題的形式予以呈現(xiàn)呢？

當(dāng)然，與橢圓定義有關(guān)的結(jié)論還有許多，單靠教材是無(wú)法窮盡的，但一些重要的結(jié)論要盡可能體現(xiàn).

數(shù)學(xué)的本源在教材中，只有深刻地理解教材，才能挖掘教材的精髓.教材中的概念、公式、定理等大多都是以具有較強(qiáng)的抽象性、概括性的“學(xué)術(shù)形態(tài)”呈現(xiàn)出來(lái)的.這些知識(shí)，有的是學(xué)生自我感知就可以掌握的，而有的則是學(xué)生自主學(xué)習(xí)、認(rèn)知理解困難的，這時(shí)候就需要教師認(rèn)真鉆研教材，吃透教材中的概念、公式、定理等內(nèi)涵，不僅要在宏觀上理清思路，還要在微觀上推敲細(xì)節(jié)，合理地利用教材并對(duì)其進(jìn)行適度的“二次開(kāi)發(fā)”，將其轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于理解的“教育形態(tài)”知識(shí)，即生動(dòng)具體的、暴露實(shí)質(zhì)的“淺顯”知識(shí).在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，留給學(xué)生充足的時(shí)間和空間，體驗(yàn)建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，幫助學(xué)生化解建構(gòu)知識(shí)的難點(diǎn)[2].

[1] 章建躍.高中數(shù)學(xué)教材落實(shí)核心素養(yǎng)的幾點(diǎn)思考[J].課程教材教法，2016(7):44-49.

[2] 張林.定理在孕育中生成 題目在遞進(jìn)中生長(zhǎng)[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2016(12):22-25.

?2017-04-25；

2017-05-27

周順鈿(1965-)，男，浙江紹興人，浙江省特級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)08-32-05