吳穎康 鮑建生
2009年的國際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目(PISA)結(jié)果公布后,上海的基礎(chǔ)教育成為了許多國家研究的熱點(diǎn)。其中,上海的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育又成為熱點(diǎn)中的焦點(diǎn)。一方面,數(shù)學(xué)是科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ),是現(xiàn)代公民的必備素養(yǎng);另一方面,數(shù)學(xué)也是中小學(xué)課程中最能夠達(dá)成國際共識(shí)的一門核心學(xué)科。許多西方媒體中的“中國式數(shù)學(xué)課堂”并非上海所獨(dú)享,但我們有理由相信,上海有自己的特色。
一、中國式數(shù)學(xué)課堂的特征
1.關(guān)注全體學(xué)生的發(fā)展,因材施教。
在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,“材”的理解可以很寬泛,因材施教的含義可以拓展為針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和具體教學(xué)內(nèi)容的要求,教師從個(gè)人的教學(xué)專長(zhǎng)出發(fā),選取恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法進(jìn)行教學(xué)。上海的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)以學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展為本,在關(guān)注中間水平學(xué)生的同時(shí)兼顧兩頭,從學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)進(jìn)行教學(xué)。
2.突出數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì),循序漸進(jìn)。
孔子在《學(xué)記》中說教育成功有四個(gè)原因,其中之一是“不陵節(jié)而施之”,即為要循序漸進(jìn)。從整體來看,它的確整合了數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的邏輯順序、學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律和數(shù)學(xué)學(xué)科的歷史發(fā)展順序。從局部來看,每一堂數(shù)學(xué)課的教學(xué)也符合數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生認(rèn)知方式所提出的“序”的要求。
3.優(yōu)化傳統(tǒng)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),教無定法。
中國教師善于從教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)中總結(jié)和提煉教學(xué)方法及模式。盡管上海已經(jīng)有了青浦的嘗試指導(dǎo)教學(xué)模式、楊浦的基本圖形分析法等,但是在課堂還是可以看到靈活多樣的教學(xué)模式。這正是基于因材施教的教學(xué)思想,不同課型、不同學(xué)生、不同教學(xué)內(nèi)容,需要不同的教學(xué)方式。同課異構(gòu)已成為教研活動(dòng)的重要組織形式,通過對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上教師基于相同教學(xué)內(nèi)容但不同教學(xué)設(shè)計(jì)的課堂教學(xué)的觀摩和討論,能分享看法,促進(jìn)反思,提高教師的專業(yè)素養(yǎng)。
4.鼓勵(lì)教師的課堂研究,教學(xué)相長(zhǎng)。
教師應(yīng)該成為研究者,學(xué)會(huì)分析診斷課堂教學(xué)中的具體問題,提出改進(jìn)方案,并加以實(shí)施改進(jìn)。上海市教育科學(xué)研究院顧泠沅教授提出了一種以課例為載體,在教學(xué)行動(dòng)中開展教學(xué)研修,包含三關(guān)注兩反思”操作活動(dòng)的行動(dòng)教育模式。另外,教學(xué)相長(zhǎng)的理念是中國傳統(tǒng)教學(xué)思想的重要特征之一。李士和代欽指出,教學(xué)相長(zhǎng)至少有以下三層意思:教與學(xué)是互相促進(jìn)的,教師與學(xué)生是互相促進(jìn)的,教師的教與教師本人的學(xué)是互相促進(jìn)的。
二、典型的中國數(shù)學(xué)教學(xué)模式:變式教學(xué)
變式教學(xué)在中國由來已久,被廣大數(shù)學(xué)教師所運(yùn)用,其中不乏經(jīng)驗(yàn)性教學(xué)研究,但系統(tǒng)梳理數(shù)學(xué)變式教學(xué)的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),并在針對(duì)性教學(xué)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行理論分析,則起始于上世紀(jì)70年代末的“青浦實(shí)驗(yàn)”。
1.“青浦實(shí)驗(yàn)”的變式教學(xué)
為了實(shí)現(xiàn)“大面積提高教學(xué)質(zhì)量”的目標(biāo),由顧泠沅主持的“青浦實(shí)驗(yàn)”小組在廣泛篩選經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,對(duì)變式教學(xué)進(jìn)行了系統(tǒng)而深入的實(shí)驗(yàn)研究與理論分析。這項(xiàng)研究主要涉及兩個(gè)方面的工作:一是對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)中的概念變式進(jìn)行系統(tǒng)的恢復(fù)與整理;二是將概念變式推廣到過程變式,從而使變式教學(xué)既適用于數(shù)學(xué)概念的多角度理解,也適用于數(shù)學(xué)問題解決的有層次的推進(jìn)和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的增長(zhǎng)。
“青浦實(shí)驗(yàn)”對(duì)變式教學(xué)的研究源自幾何教學(xué)。在上世紀(jì)七八十年代,幾何概念是一個(gè)普遍的教學(xué)難點(diǎn),顧泠沅的研究表明,影響學(xué)生掌握幾何概念的主要因素有三個(gè):直觀的圖形經(jīng)驗(yàn)、概念的詞語敘述、概念所包含的圖形變式。因此,“青浦實(shí)驗(yàn)”小組提出了幾何概念變式教學(xué)的兩條策略:通過圖形的變式與比較,凸顯概念的本質(zhì)屬性;通過背景的復(fù)合與分離,建立概念的多角度理解。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中,除了概念教學(xué)外,還包括數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)。由于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)通常鑲嵌在動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)過程之中,而靜態(tài)的概念變式難以反映這種動(dòng)態(tài)的特征,因此,顧泠沅提出了過程變式的概念,并通過實(shí)驗(yàn)總結(jié)出過程變式教學(xué)的兩條策略:通過變式鋪墊與化歸,提高問題解決的效率;通過典型例題的分類與關(guān)聯(lián),實(shí)現(xiàn)核心知識(shí)的融會(huì)貫通。
2.變式教學(xué)的基本策略
在“青浦實(shí)驗(yàn)”的推廣過程中,上海市青浦區(qū)及其他區(qū)縣出現(xiàn)了一大批數(shù)學(xué)變式教學(xué)的有效設(shè)計(jì)和典型案例,并提煉出一些變式教學(xué)的有效策略。
第一,通過概念變式,幫助學(xué)生多角度理解數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念是一種外延性概念,每個(gè)概念都可以用一個(gè)集合來表示,即數(shù)學(xué)概念可以表示為一個(gè)具有某個(gè)本質(zhì)屬性p的所有樣例x所組成的集合P。我們既可以通過概念的本質(zhì)屬性p來學(xué)習(xí)一個(gè)概念,也可以通過概念所包括的各種特例(集合元素x)來理解和運(yùn)用概念,并建立概念屬性與特例之間的各種聯(lián)系,也由此產(chǎn)生了標(biāo)準(zhǔn)變式、非標(biāo)準(zhǔn)變式和反例變式。其中,概念的標(biāo)準(zhǔn)變式有利于學(xué)生對(duì)概念的準(zhǔn)確把握,概念的非標(biāo)準(zhǔn)變式有助于多角度的理解概念,反例變式則有利于明確概念的外延,澄清概念與非概念的本質(zhì)區(qū)別。
第二,通過變式鋪墊,在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)搭建合適的腳手架。搭建合適的教學(xué)腳手架是學(xué)生從事數(shù)學(xué)探究活動(dòng)(做數(shù)學(xué))的必要條件。上海的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐表明,通過設(shè)置奠基性的變式鋪墊,有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出高質(zhì)量的數(shù)學(xué)問題,形成數(shù)學(xué)猜想,證明定理,使他們既可以親歷知識(shí)的形成過程,又可以充分體驗(yàn)解決問題的愉悅。
第三,通過過程變式,為數(shù)學(xué)問題解決提供化歸的臺(tái)階。數(shù)學(xué)問題解決的一條基本思路是“將未知的問題化歸為已知的問題,將復(fù)雜的問題化歸為簡(jiǎn)單的問題”。但由于未知(復(fù)雜)問題與已知(簡(jiǎn)單)問題之間往往沒有明顯的聯(lián)系,因此要設(shè)置過程性變式在兩者之間進(jìn)行適當(dāng)?shù)匿亯|,作為化歸的臺(tái)階。運(yùn)用變式為化歸作鋪墊,成為教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問題解決的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在一定程度上就體現(xiàn)在變式問題的豐富性及化歸策略的多樣性上。
第四,通過典型例題的變式拓展,構(gòu)建有層次的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,典型例題具有特殊的學(xué)習(xí)價(jià)值。以典型例題為核心進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪酵卣?,既有利于?duì)數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想方法的深入理解,還可以增加活動(dòng)途徑的多樣性和活動(dòng)過程的層次性,圍繞典型例題形成一個(gè)有層次的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng),成為認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要組成部分。用于構(gòu)建特定經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的變式,通常來自典型例題的三種拓展:一題多變,既包括用于鋪墊的變式,也包括對(duì)原問題的各種引申(如改變條件、改變結(jié)論、一般化等);一題多解,將典型例題的不同解決過程作為變式,聯(lián)結(jié)各種不同的解決方法,建立各種數(shù)學(xué)思想方法之間的聯(lián)系;一法多用,將某種特定的方法用于一類基于典型例題拓展的相似問題,由此可產(chǎn)生用于引發(fā)化歸或探究策略的變式。
三、需要進(jìn)一步研究的問題
第一,構(gòu)建具有中國特色的變式教學(xué)理論體系。從新世紀(jì)開始,顧泠沅領(lǐng)導(dǎo)的上海研究團(tuán)隊(duì)就開始對(duì)變式教學(xué)進(jìn)行深入解讀和理論分析,在國內(nèi)外學(xué)術(shù)期刊和著作中發(fā)表了一系列研究論文。這些研究雖然在一定程度上給出了變式教學(xué)的合理解釋和理論解讀,但仍需要在實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,依據(jù)數(shù)學(xué)的學(xué)科特征,認(rèn)知科學(xué)的研究成果以及中國的教育文化傳統(tǒng),對(duì)變式教學(xué)進(jìn)行系統(tǒng)的理論分析和實(shí)證研究,形成具有中國特色的數(shù)學(xué)教學(xué)理論。
第二,超越雙基,促進(jìn)學(xué)生高層次數(shù)學(xué)思維能力提升。影響學(xué)生高層次數(shù)學(xué)思維能力的因素有很多,其中的兩個(gè)關(guān)鍵因素分別是:開發(fā)需要高層次數(shù)學(xué)思維的各種數(shù)學(xué)探究任務(wù)以及實(shí)施這些任務(wù)的有效教學(xué)策略。雖然上海的一些區(qū)縣和學(xué)校已經(jīng)在這方面開展了有益的嘗試,但目前仍存在把變式教學(xué)淪為單純的變式訓(xùn)練的情況。因此,如何在“雙基”的基礎(chǔ)上,圍繞數(shù)學(xué)的知識(shí)主干、核心概念和重要的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行變式拓展,開發(fā)具有高層次認(rèn)知特征的數(shù)學(xué)探究活動(dòng),有計(jì)劃地發(fā)展學(xué)生的高層次數(shù)學(xué)思維能力是上海中小學(xué)亟待解決的一個(gè)關(guān)鍵問題。
第三,協(xié)同班級(jí)授課與個(gè)別化學(xué)習(xí)。大班教學(xué)雖然是一種高效的教學(xué)模式,但也在一定程度上制約了學(xué)生的個(gè)性發(fā)展和特殊教育教學(xué)需求。因此,如何協(xié)同班級(jí)授課與個(gè)別化學(xué)習(xí),在所有學(xué)生都受到良好教育的基礎(chǔ)上,使不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展,也是上海中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)所面臨的挑戰(zhàn)。個(gè)別化學(xué)習(xí)的一個(gè)核心問題是學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和教師的精準(zhǔn)幫助。要解決這個(gè)問題,不僅需要開發(fā)針對(duì)學(xué)生不同需求的數(shù)學(xué)課程與教學(xué)資源,而且需要教師知道如何利用這些資源激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;不僅要求教師做到少教多學(xué),鼓勵(lì)學(xué)生自己學(xué),教會(huì)學(xué)生如何學(xué),還要在學(xué)生需要的時(shí)候以合適的方式和時(shí)機(jī)給予精準(zhǔn)的幫助。近年來,上海開始了針對(duì)個(gè)別化學(xué)習(xí)的教學(xué)實(shí)驗(yàn),如“電子書包”“茶館式教學(xué)”等,但總體而言,仍缺乏系統(tǒng)的理論探討和大面積的教學(xué)實(shí)驗(yàn)。