吳穎康 鮑建生

2009年的國際學(xué)生評估項目（PISA）結(jié)果公布后，上海的基礎(chǔ)教育成為了許多國家研究的熱點。其中，上海的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育又成為熱點中的焦點。一方面，數(shù)學(xué)是科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)，是現(xiàn)代公民的必備素養(yǎng)；另一方面，數(shù)學(xué)也是中小學(xué)課程中最能夠達(dá)成國際共識的一門核心學(xué)科。許多西方媒體中的“中國式數(shù)學(xué)課堂”并非上海所獨享，但我們有理由相信，上海有自己的特色。

一、中國式數(shù)學(xué)課堂的特征

1.關(guān)注全體學(xué)生的發(fā)展，因材施教。

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，“材”的理解可以很寬泛，因材施教的含義可以拓展為針對學(xué)生的認(rèn)知特點和具體教學(xué)內(nèi)容的要求，教師從個人的教學(xué)專長出發(fā)，選取恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法進行教學(xué)。上海的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)以學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展為本，在關(guān)注中間水平學(xué)生的同時兼顧兩頭，從學(xué)生的實際情況出發(fā)進行教學(xué)。

2.突出數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)，循序漸進。

孔子在《學(xué)記》中說教育成功有四個原因，其中之一是“不陵節(jié)而施之”，即為要循序漸進。從整體來看，它的確整合了數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的邏輯順序、學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律和數(shù)學(xué)學(xué)科的歷史發(fā)展順序。從局部來看，每一堂數(shù)學(xué)課的教學(xué)也符合數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和學(xué)生認(rèn)知方式所提出的“序”的要求。

3.優(yōu)化傳統(tǒng)的教學(xué)經(jīng)驗，教無定法。

中國教師善于從教學(xué)實踐經(jīng)驗中總結(jié)和提煉教學(xué)方法及模式。盡管上海已經(jīng)有了青浦的嘗試指導(dǎo)教學(xué)模式、楊浦的基本圖形分析法等，但是在課堂還是可以看到靈活多樣的教學(xué)模式。這正是基于因材施教的教學(xué)思想，不同課型、不同學(xué)生、不同教學(xué)內(nèi)容，需要不同的教學(xué)方式。同課異構(gòu)已成為教研活動的重要組織形式，通過對兩個或兩個以上教師基于相同教學(xué)內(nèi)容但不同教學(xué)設(shè)計的課堂教學(xué)的觀摩和討論，能分享看法，促進反思，提高教師的專業(yè)素養(yǎng)。

4.鼓勵教師的課堂研究，教學(xué)相長。

教師應(yīng)該成為研究者，學(xué)會分析診斷課堂教學(xué)中的具體問題，提出改進方案，并加以實施改進。上海市教育科學(xué)研究院顧泠沅教授提出了一種以課例為載體，在教學(xué)行動中開展教學(xué)研修，包含三關(guān)注兩反思”操作活動的行動教育模式。另外，教學(xué)相長的理念是中國傳統(tǒng)教學(xué)思想的重要特征之一。李士和代欽指出，教學(xué)相長至少有以下三層意思：教與學(xué)是互相促進的，教師與學(xué)生是互相促進的，教師的教與教師本人的學(xué)是互相促進的。

二、典型的中國數(shù)學(xué)教學(xué)模式：變式教學(xué)

變式教學(xué)在中國由來已久，被廣大數(shù)學(xué)教師所運用，其中不乏經(jīng)驗性教學(xué)研究，但系統(tǒng)梳理數(shù)學(xué)變式教學(xué)的實踐經(jīng)驗，并在針對性教學(xué)實驗的基礎(chǔ)上進行理論分析，則起始于上世紀(jì)70年代末的“青浦實驗”。

1.“青浦實驗”的變式教學(xué)

為了實現(xiàn)“大面積提高教學(xué)質(zhì)量”的目標(biāo)，由顧泠沅主持的“青浦實驗”小組在廣泛篩選經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，對變式教學(xué)進行了系統(tǒng)而深入的實驗研究與理論分析。這項研究主要涉及兩個方面的工作：一是對傳統(tǒng)教學(xué)中的概念變式進行系統(tǒng)的恢復(fù)與整理；二是將概念變式推廣到過程變式，從而使變式教學(xué)既適用于數(shù)學(xué)概念的多角度理解，也適用于數(shù)學(xué)問題解決的有層次的推進和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的增長。

“青浦實驗”對變式教學(xué)的研究源自幾何教學(xué)。在上世紀(jì)七八十年代，幾何概念是一個普遍的教學(xué)難點，顧泠沅的研究表明，影響學(xué)生掌握幾何概念的主要因素有三個：直觀的圖形經(jīng)驗、概念的詞語敘述、概念所包含的圖形變式。因此，“青浦實驗”小組提出了幾何概念變式教學(xué)的兩條策略：通過圖形的變式與比較，凸顯概念的本質(zhì)屬性；通過背景的復(fù)合與分離，建立概念的多角度理解。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，除了概念教學(xué)外，還包括數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的教學(xué)。由于數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗通常鑲嵌在動態(tài)的數(shù)學(xué)過程之中，而靜態(tài)的概念變式難以反映這種動態(tài)的特征，因此，顧泠沅提出了過程變式的概念，并通過實驗總結(jié)出過程變式教學(xué)的兩條策略：通過變式鋪墊與化歸，提高問題解決的效率；通過典型例題的分類與關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)核心知識的融會貫通。

2.變式教學(xué)的基本策略

在“青浦實驗”的推廣過程中，上海市青浦區(qū)及其他區(qū)縣出現(xiàn)了一大批數(shù)學(xué)變式教學(xué)的有效設(shè)計和典型案例，并提煉出一些變式教學(xué)的有效策略。

第一，通過概念變式，幫助學(xué)生多角度理解數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念是一種外延性概念，每個概念都可以用一個集合來表示，即數(shù)學(xué)概念可以表示為一個具有某個本質(zhì)屬性p的所有樣例x所組成的集合P。我們既可以通過概念的本質(zhì)屬性p來學(xué)習(xí)一個概念，也可以通過概念所包括的各種特例（集合元素x）來理解和運用概念，并建立概念屬性與特例之間的各種聯(lián)系，也由此產(chǎn)生了標(biāo)準(zhǔn)變式、非標(biāo)準(zhǔn)變式和反例變式。其中，概念的標(biāo)準(zhǔn)變式有利于學(xué)生對概念的準(zhǔn)確把握，概念的非標(biāo)準(zhǔn)變式有助于多角度的理解概念，反例變式則有利于明確概念的外延，澄清概念與非概念的本質(zhì)區(qū)別。

第二，通過變式鋪墊，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)搭建合適的腳手架。搭建合適的教學(xué)腳手架是學(xué)生從事數(shù)學(xué)探究活動（做數(shù)學(xué)）的必要條件。上海的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐表明，通過設(shè)置奠基性的變式鋪墊，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出高質(zhì)量的數(shù)學(xué)問題，形成數(shù)學(xué)猜想，證明定理，使他們既可以親歷知識的形成過程，又可以充分體驗解決問題的愉悅。

第三，通過過程變式，為數(shù)學(xué)問題解決提供化歸的臺階。數(shù)學(xué)問題解決的一條基本思路是“將未知的問題化歸為已知的問題，將復(fù)雜的問題化歸為簡單的問題”。但由于未知（復(fù)雜）問題與已知（簡單）問題之間往往沒有明顯的聯(lián)系，因此要設(shè)置過程性變式在兩者之間進行適當(dāng)?shù)匿亯|，作為化歸的臺階。運用變式為化歸作鋪墊，成為教師引導(dǎo)學(xué)生進行問題解決的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗在一定程度上就體現(xiàn)在變式問題的豐富性及化歸策略的多樣性上。

第四，通過典型例題的變式拓展，構(gòu)建有層次的經(jīng)驗系統(tǒng)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，典型例題具有特殊的學(xué)習(xí)價值。以典型例題為核心進行適當(dāng)?shù)淖兪酵卣梗扔欣趯?shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想方法的深入理解，還可以增加活動途徑的多樣性和活動過程的層次性，圍繞典型例題形成一個有層次的經(jīng)驗系統(tǒng)，成為認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一個重要組成部分。用于構(gòu)建特定經(jīng)驗系統(tǒng)的變式，通常來自典型例題的三種拓展：一題多變，既包括用于鋪墊的變式，也包括對原問題的各種引申（如改變條件、改變結(jié)論、一般化等）；一題多解，將典型例題的不同解決過程作為變式，聯(lián)結(jié)各種不同的解決方法，建立各種數(shù)學(xué)思想方法之間的聯(lián)系；一法多用，將某種特定的方法用于一類基于典型例題拓展的相似問題，由此可產(chǎn)生用于引發(fā)化歸或探究策略的變式。

三、需要進一步研究的問題

第一，構(gòu)建具有中國特色的變式教學(xué)理論體系。從新世紀(jì)開始，顧泠沅領(lǐng)導(dǎo)的上海研究團隊就開始對變式教學(xué)進行深入解讀和理論分析，在國內(nèi)外學(xué)術(shù)期刊和著作中發(fā)表了一系列研究論文。這些研究雖然在一定程度上給出了變式教學(xué)的合理解釋和理論解讀，但仍需要在實踐經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，依據(jù)數(shù)學(xué)的學(xué)科特征，認(rèn)知科學(xué)的研究成果以及中國的教育文化傳統(tǒng)，對變式教學(xué)進行系統(tǒng)的理論分析和實證研究，形成具有中國特色的數(shù)學(xué)教學(xué)理論。

第二，超越雙基，促進學(xué)生高層次數(shù)學(xué)思維能力提升。影響學(xué)生高層次數(shù)學(xué)思維能力的因素有很多，其中的兩個關(guān)鍵因素分別是：開發(fā)需要高層次數(shù)學(xué)思維的各種數(shù)學(xué)探究任務(wù)以及實施這些任務(wù)的有效教學(xué)策略。雖然上海的一些區(qū)縣和學(xué)校已經(jīng)在這方面開展了有益的嘗試，但目前仍存在把變式教學(xué)淪為單純的變式訓(xùn)練的情況。因此，如何在“雙基”的基礎(chǔ)上，圍繞數(shù)學(xué)的知識主干、核心概念和重要的數(shù)學(xué)思想方法進行變式拓展，開發(fā)具有高層次認(rèn)知特征的數(shù)學(xué)探究活動，有計劃地發(fā)展學(xué)生的高層次數(shù)學(xué)思維能力是上海中小學(xué)亟待解決的一個關(guān)鍵問題。

第三，協(xié)同班級授課與個別化學(xué)習(xí)。大班教學(xué)雖然是一種高效的教學(xué)模式，但也在一定程度上制約了學(xué)生的個性發(fā)展和特殊教育教學(xué)需求。因此，如何協(xié)同班級授課與個別化學(xué)習(xí)，在所有學(xué)生都受到良好教育的基礎(chǔ)上，使不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展，也是上海中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)所面臨的挑戰(zhàn)。個別化學(xué)習(xí)的一個核心問題是學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和教師的精準(zhǔn)幫助。要解決這個問題，不僅需要開發(fā)針對學(xué)生不同需求的數(shù)學(xué)課程與教學(xué)資源，而且需要教師知道如何利用這些資源激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；不僅要求教師做到少教多學(xué)，鼓勵學(xué)生自己學(xué)，教會學(xué)生如何學(xué)，還要在學(xué)生需要的時候以合適的方式和時機給予精準(zhǔn)的幫助。近年來，上海開始了針對個別化學(xué)習(xí)的教學(xué)實驗，如“電子書包”“茶館式教學(xué)”等，但總體而言，仍缺乏系統(tǒng)的理論探討和大面積的教學(xué)實驗。