江蘇蘇州吳中區(qū)木瀆實驗中學(xué) (215000) 周先榮江蘇蘇州吳中區(qū)蘇苑高級中學(xué) (215000) 張國棣

讓瞬間的“意外”變成永恒的精彩

江蘇蘇州吳中區(qū)木瀆實驗中學(xué) (215000) 周先榮江蘇蘇州吳中區(qū)蘇苑高級中學(xué) (215000) 張國棣

在江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題《普通高中數(shù)學(xué)教學(xué)方式的兼用性與生成性的實踐和研究》的研究過程中，從觀摩的大量課例看，老師對課堂教學(xué)的方式、內(nèi)容都能夠進行充分的預(yù)設(shè)，而對課堂教學(xué)的生成性卻很難把握及時到位.一旦出現(xiàn)非預(yù)設(shè)的“意外”情況，教師會不自覺地將學(xué)生拉回到自己的預(yù)期軌道.而這種意外很多時候是學(xué)生情感和思維的迸發(fā)，是瞬間生成的難得的探究契機.本文淺談如何把握機遇將意外變成無法逾越的精彩.

一、意外瞬間，情感的激情流淌

課堂是個溫馨地，學(xué)生更是有情人.如果說文本之情是根本，教師之情是橋梁，那么，學(xué)生之情才是最終的價值指向.好的課堂，必須引導(dǎo)學(xué)生在教師的情感中感受情感，在文本的情感中領(lǐng)悟情感，在課堂的情感中點燃情感，讓學(xué)生流淌自己的情感，放縱自己的情感.

課堂意外的生成，對學(xué)生來講就是靈感激蕩的瞬間，老師適時的扶持，就像在學(xué)生的心海投下一枚石子，激起的漣漪正是學(xué)生學(xué)習(xí)的無窮動力.科學(xué)家錢學(xué)森說過：“靈感，也就是人在科學(xué)或藝術(shù)創(chuàng)作中的高潮，突然出現(xiàn)的、轉(zhuǎn)瞬即逝的短暫思維過程.” 數(shù)學(xué)思維靈感的出現(xiàn)往往帶有突然性，同時也可能轉(zhuǎn)瞬即逝.這種機不可失的“妙微心會”，錯過了就不會再來，往前走一步也許就是柳暗花明的新意境.

從學(xué)生核心素養(yǎng)的“適應(yīng)個人終生發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”來看，我們教育的對象是具有豐富情感的生命個體，教育的目的不僅是向?qū)W生傳授知識技能，更應(yīng)該尊重并滿足其合理的精神需求，培養(yǎng)其健康情感和完整人格.所以，我們要確立以人為本的理念,以學(xué)生為本的思想,不能把學(xué)生僅僅看成教育的對象、認(rèn)知的群體,更重要的是要把學(xué)生看成獨立的生命主體.把握住每一次意外生成的契機，回歸到本應(yīng)屬于生命主體的活動中去,回歸到學(xué)生具體的年齡、成長階段和時代背景中去，施以自然有效的引導(dǎo)、探索，少一點人為的雕琢,追求一種自然、和諧的原生態(tài).呵護學(xué)生對知識的渴望、對自我成長的自信、對生命的珍視以及對生活的積極樂觀.

二、追蹤探究，問題的深度發(fā)現(xiàn)

課堂上，學(xué)生萌萌的眼神，喃喃的疑問，怯怯的一揮等等，都是學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，表達情感的方式，都有可能是意外生成的瞬間.教師要善于捕捉這樣的瞬間，抓住機遇將“意外”變成“無法逾越的精彩”，“教學(xué)原本是即席創(chuàng)作.”

1.萌萌的眼神，期盼老師的點撥

“眼睛是心靈的窗口”.有時老師不需要問學(xué)生“聽懂了嗎？”，也不需要回答“聽懂了”，只要短暫的對視，就可以從學(xué)生的眼神里讀懂學(xué)生的心靈，是“聽懂了”、“會做了”的喜悅，還是存在疑惑的期盼，還是充滿探索的欲望.通過心靈的對話，及時從學(xué)生期待的眼神中發(fā)現(xiàn)問題，及時探索，不要將問題留到“課后”.

如，在“函數(shù)的單調(diào)性(第一課時)”教學(xué)中，筆者構(gòu)造了“我國1980年以來GDP變化情況”的問題情境.給出了1980年以來每年GDP的數(shù)值，讓學(xué)生分析數(shù)據(jù)，并指出隨年份增長的變化規(guī)律.為了讓學(xué)生更直觀的體會“遞增”，筆者還做了“條形圖”讓學(xué)生進行分析觀察感悟.隨后由學(xué)生自主的總結(jié)出函數(shù)單調(diào)性的定義.就在老師甚為得意之時，發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生的眼神萌萌的有點迷茫，說明出現(xiàn)了意外情況.筆者暫停了下一個預(yù)設(shè)的教學(xué)流程，讓學(xué)生隨便談?wù)勛约旱母邢?果然，學(xué)生提出了問題：(1)定義里為什么要“任意”兩個字？(2)為什么是“區(qū)間”？

這說明學(xué)生還沒有真正理解這個概念.學(xué)生有時可以記憶概念、公式，并會用之解題，但真正的理解對學(xué)生來講是遙不可及的.數(shù)學(xué)里的定義、定理，老師會解釋、會證明，但很多學(xué)生感覺這些解釋、證明和自己無關(guān)，聽不懂.因為學(xué)生感覺和老師身在兩個世界里，老師在抽象的數(shù)學(xué)世界里，學(xué)生在現(xiàn)實的世界里，老師認(rèn)為理所當(dāng)然的事情，而學(xué)生正心存疑慮.找不到契合點就無法溝通，老師不能只進行抽象解釋，關(guān)鍵是指明從現(xiàn)實世界走向抽象世界的路徑.很多學(xué)生為什么害怕數(shù)學(xué)，除了“填鴨式”、“題?！钡冉虒W(xué)方式造成的厭倦因素外，很大一部分原因是學(xué)生沒有真正的理解數(shù)學(xué).

情境中的“年份”是有限的，對于一個有限和無限數(shù)列來說，檢驗其是否單調(diào)很容易.函數(shù)的定義域M是區(qū)間、全體實數(shù)集R那樣的無法枚舉、分不出先后的無限集合.現(xiàn)在要檢驗它的函數(shù)值是否隨自變量的增大一直上升(或下降)，而且一個也不能少，怎么辦？此時的單調(diào)性刻畫，不能一個個檢驗，也沒有相鄰兩項可以比較.于是我們只能對“任取得”的兩個值做檢驗，即無論取哪兩個自變量的值，只要對函數(shù)作出比較.定義乃是一種形式化的數(shù)學(xué)表示，在認(rèn)識上具有一定的跳躍性，學(xué)生的思維就會發(fā)生障礙.為什么“任意兩個”？非常突兀，究其根源還在于是無限集.通過這里的咬文嚼字，數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)密性也顯現(xiàn)出來，這樣深度的探索，學(xué)生才能真正的理解了數(shù)學(xué).

事實上，對“任意的……”，是數(shù)學(xué)語言的一次革命，19世紀(jì)末微積分嚴(yán)格化進程中出現(xiàn)的語言，極限定義中“對任意的”，這套語言把無限的過程寫成“有限的形式”.函數(shù)單調(diào)性也是這樣的轉(zhuǎn)換過程，有限的形式反映無限的內(nèi)涵.

2.喃喃的疑問，預(yù)示探究的生成

課堂上，老師容易忽略的往往是學(xué)生的喃喃自語.說不定將學(xué)生的喃喃之語說成學(xué)生“好講話”，“干擾教學(xué)”.事實上，這往往是學(xué)生喧囂想法的一種方式，懾與老師的“威嚴(yán)”而不敢大聲質(zhì)疑罷了.喃喃自語中可能生成新的探究情境，這是不應(yīng)該被忽略的.筆者曾經(jīng)疑問公園小池塘里的天鵝為什么不飛走去追求翱翔的自由呢？難道翅膀的羽毛被剪掉了嗎？不是.天鵝起飛需要一定的振翅劃水的距離，由于池塘小無法提供足夠的起飛距離，它飛不了.同樣，老師要給學(xué)生提供足夠的想象空間，放飛學(xué)生的思維，讓學(xué)生“振翅翱翔”.

如，在一節(jié)平面向量的復(fù)習(xí)課上.當(dāng)師生梳理概念、原理的時候，一個學(xué)生小聲說“平面向量的基本定理怎么來的？有什么用！”面對這種喃喃自語，老師不予理睬嗎？不！學(xué)生的這種略略不滿的疑問，實際上是說明老師教學(xué)中存在失誤.試想：學(xué)生不知道所學(xué)習(xí)內(nèi)容的發(fā)生歷程及重要價值，他能有學(xué)習(xí)興趣嗎？怎么辦？只有讓學(xué)生了解“為什么要學(xué)”，才能點燃學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的熱情.事實上，數(shù)學(xué)原理是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，對概念及概念之間的關(guān)系的學(xué)習(xí).為什么有這個原理，在系統(tǒng)中起什么作用，這也是數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注的，是揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的必然環(huán)節(jié).

向量全面進入中學(xué)數(shù)學(xué)課程是21世紀(jì)的事情.最早古代就用向量表示力，公元前350年，亞里士多德就知道了力可以表示為兩個向量，兩個力的合力可以用平行四邊形的法則來得到.以后的一千多年，經(jīng)歷文藝復(fù)興時期，牛頓創(chuàng)立微積分之后的17、18世紀(jì)，向量的知識都沒有什么變化.雖然伽利略更清楚的敘述了“平行四邊形”法則，但向量并沒有發(fā)展為獨立的學(xué)科.這種向量的加、減也停留在可操作的有限個向量的層面，這算是向量啟蒙階段.

有力的合成就必有力的分解.力的分解單靠加、減法運算無法完成，必須引進另一個運算“數(shù)乘”，有了“數(shù)乘”向量才具有了自己的特定數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).解決了許多向量計算問題，這就有了向量的基本定理.

基于平面上的全體向量做出的集合，定義了加法和數(shù)乘運算，就可以構(gòu)成新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，叫空間向量.平面幾何與立體幾何以綜合法演繹為主，引入坐標(biāo)后發(fā)展為坐標(biāo)幾何即解析幾何，但解析幾何中的點不能運算，“點”作為向量后就可以運算了，這又比解析幾何更深一層，特別引進數(shù)量積后，向量幾何又插上翅膀超越了解析幾何.隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，向量在未來將有更大的發(fā)展空間.可以說進入數(shù)量積，是向量的完善階段.

如果對向量基本定理不能這樣深入分析其存在的合理性，向量的學(xué)習(xí)就打了折扣.這個探索的過程，滲透了數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化，這也是學(xué)生必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng).經(jīng)過這樣的探索，學(xué)生感覺到向量的神奇，形成強大的學(xué)習(xí)內(nèi)蓄力，這正是我們所期盼的.

3.怯怯的一揮，數(shù)學(xué)本質(zhì)的發(fā)展

在問題解決中，怎樣尋找問題的關(guān)鍵信息，如何解釋、轉(zhuǎn)換問題的各種信息，怎樣將已經(jīng)嘗試過的方法保存在頭腦中，怎樣權(quán)衡假設(shè)的可能性，如何將目標(biāo)進行分解，如何將部分綜合成整體，在遇到困難時如何及時轉(zhuǎn)換思路，如何通過具體問題的解決歸納出一般的思想方法，等等.這些基本知識、基本技能的習(xí)得都是老師教學(xué)中需重點關(guān)注的.

但是，如何在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，體現(xiàn)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并加以分析、解決的過程？如何在數(shù)學(xué)深度探索中，對問題結(jié)構(gòu)性層次發(fā)展，更加關(guān)注基本活動經(jīng)驗和基本思想的積淀？這些問題，本杰明·富蘭克林的一句名言：“Tell me, so I will forget.Show me, so I may remember. Involve me, so I will understand.”(告訴我，我忘了；給我看，我也許記住了；讓我參與其中，所以我理解了.)，這給了我們足夠的啟示.就是通過一系列更微觀的子問題探索，使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識形成深刻的、結(jié)構(gòu)化的理解，形成自己的、可以遷移的問題解決策略，強調(diào)的是使用數(shù)學(xué)的意識，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、合作意識和實際操作能力，通過問題解決產(chǎn)生更為濃厚的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、形成認(rèn)真求知的科學(xué)態(tài)度和勇于進取的堅定信念.這些探索過程的生成往往是一瞬間的事情，老師要抓住機遇，有“任憑風(fēng)雨來襲，我自巋然不動”的讓學(xué)生堅定探究的理念.

如，課堂上筆者給出這樣的問題：請你用一塊正三角形紙片，剪拼成一個正三棱柱模型.

如圖1、2，當(dāng)學(xué)生給出兩種解答之后，學(xué)生反思：因為正三棱柱的各個面展開后成一個平面十邊形，所以，要把正三角形紙片剪拼成正三棱柱,實際上就是把正三角形紙片剪拼成一個平面十邊形(等面積).

這時一個學(xué)生怯怯的舉起了手，問道：“任意一個三角形總可以(等面積)剪拼成一個十邊形？”面對這意外的發(fā)問，老師放棄了原來要講“下一題”的教學(xué)預(yù)設(shè)，改為讓學(xué)生對新問題的合作探究.

為了形成探究的梯度，老師鼓勵學(xué)生從特殊圖形(矩形、平行四邊形)出發(fā)“以簡馭繁”地探究問題，下面是學(xué)生探究的一些結(jié)果.

探究1 任意三角形都可以等面積地剪拼成一個矩形.

學(xué)生探究如圖3的剪拼過程(取三角形兩邊中點，三角形1和2、3和4分別是全等三角形).

探究2 兩個面積相等且有一個公共邊的矩形和平行四邊形可以互相剪拼.

如圖4，可以完成剪拼.

探究3 兩個面積相等的矩形可以互相剪拼.

如圖5，假設(shè)ABCD與EFGH是兩個面積相等的矩形，AB是兩個矩形中最長的邊，因為AB≥EH，可作EL等于AB，取KL等于EF，則平行四邊形EFKL與矩形ABCD、矩形EFGH都有一條等長的邊，可以相互剪拼.

這時學(xué)生又提出問題：“任意多邊形都可以(等面積)相互剪拼嗎？”，繼續(xù)探索吧！

探究4 任意多邊形都可以等面積地剪拼成一個矩形.

學(xué)生的探究出現(xiàn)了困難，老師及時發(fā)揮“腳手架”的作用，進行點撥、扶持.學(xué)生解釋以下事實：多變形可以剪拼成若干個三角形，由探究1、探究3，在理論上是可以完成的.

探究5 兩個面積相等的任意多邊形可以互相剪拼.

學(xué)生解釋：可以把其中一個多邊形(等面積地)剪拼成一個矩形,另外一個(多邊形)也可以(等面積地)剪拼成同樣一個矩形,既然兩個多邊形都能剪拼成同一個矩形,說明這兩個多邊形是可以互相剪拼的.

這就是著名的波爾約-蓋爾文定理.學(xué)生為了能探索這樣深奧的數(shù)學(xué)而歡呼.這樣的探究，重要的是在反思中培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題的意識，和探究問題的興趣.

波利亞指出：“一個好的教師應(yīng)該懂得并傳授給學(xué)生下述看法：沒有任何一道題可以解決的十全十美，總剩下一些工作要做，經(jīng)過充分的探討總結(jié)，總會有點滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平”.暮然回首，只因在燈火闌珊處“多看了你一眼”，出現(xiàn)了瞬間的驚喜，往前一步，就會帶來無限風(fēng)光.

三、仰望星空，看到數(shù)學(xué)的深邃

仰望星空的人，看得到1+1=2中的函數(shù)思想，看得到簡單數(shù)學(xué)問題背后的長長的數(shù)學(xué)思想隧道，看得到數(shù)學(xué)的深邃.有智慧的人會把復(fù)雜的問題教的簡單，會把簡單的問題教的厚實，會讓人從一個概念、一個公式、一個算法中看到整個數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力.當(dāng)教師的眼里有真正的數(shù)學(xué)，當(dāng)課堂中有真正的學(xué)生，數(shù)學(xué)教育就有了撬動地球的支點.

理查德·科朗(Richard Courant)在《什么是數(shù)學(xué)》中指出：“數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳?shù)耐评砗蛯ν昝谰辰绲淖非?”愛恩斯坦曾說過：“提出一個問題比解決問題更重要，后者僅僅是方法和實驗過程，而前者則要找到問題的關(guān)鍵和要害”.被老師“牽著走”的學(xué)生是學(xué)不好數(shù)學(xué)的.只有學(xué)生不停的自主提出問題、探索問題才能讓思維更加厚重.

布盧姆(Benjamin Bloom)對學(xué)習(xí)分為六個部分知識、領(lǐng)會、應(yīng)用、分析、綜合、評價.學(xué)生“領(lǐng)會”數(shù)學(xué)已經(jīng)不易，要學(xué)生能夠評價數(shù)學(xué)、評價自己的學(xué)習(xí)，老師教學(xué)必須從“知道什么”到能夠運用知識 “解決什么”的轉(zhuǎn)型，更重要的是從“解決問題”到“提出問題”的轉(zhuǎn)型，這是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的根本.

總之，在“意外”生成的探索中，引導(dǎo)學(xué)生不斷地對問題進行觀察分析、歸納類比、抽象概括，對問題所蘊含的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想進行不斷的思考并做出新的判斷，讓學(xué)生體會發(fā)現(xiàn)帶來的樂趣，享受探究帶來的成就感.長此以往，逐步養(yǎng)成學(xué)生獨立思考、積極探究的習(xí)慣，并懂得如何學(xué)數(shù)學(xué)，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件.

[1]張奠宙.數(shù)學(xué)教育隨想集[M].華東師范大學(xué)出版社.2013.5.