王玉秀

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，只有讓主體發(fā)揮能動性，學(xué)習(xí)才能精彩。如何發(fā)揮學(xué)生的能動性？老師要從演員退居到幕后，而作為導(dǎo)演的我們?nèi)绾巫屟輪T演好戲，那就要適時地對演員予以肯定并加以指導(dǎo)。

一、教學(xué)案例描述

問題1.數(shù)列的前4項(xiàng)為： ， ， ， 。求數(shù)列的通項(xiàng)

公式。

學(xué)生：易知此數(shù)列中的項(xiàng)是分?jǐn)?shù)，且分子都是2，分母依次組成等差數(shù)列，從而得an= 。

老師：這位同學(xué)非常好地運(yùn)用了“通過前幾項(xiàng)排列的規(guī)律，獲知第n項(xiàng)結(jié)果”這種從具體到一般的數(shù)學(xué)思想方法，完成得很

精彩。

（話鋒一轉(zhuǎn)）但我總有這么一種擔(dān)心，a5是不是仍符合前四項(xiàng)的這個規(guī)律？

學(xué)生：我算過a5= 老師：那a6呢？（靜觀學(xué)生中的反應(yīng)）然后a7呢？

應(yīng)該承認(rèn)，以后的項(xiàng)是否仍有這樣的排列規(guī)律，的確不知，在沒有找到這樣的保證之前，這位同學(xué)的結(jié)果，只能算是對an的一個猜測。

老師：你們都確信an= 是正確的嗎？

學(xué)生：是。

老師：這只是我們通過數(shù)列的前四項(xiàng)得到的數(shù)列通項(xiàng)的猜想，正確與否，必須要給出證明。

老師小結(jié)：在數(shù)列問題中，算前幾項(xiàng)，猜后面的項(xiàng)是行之有效的解決方法。請大家看下面一道題。

問題2.數(shù)列{an}中，a1=4an=2an-1-1（n∈N*，n>1），求an。

老師：能不能先求出幾項(xiàng)，找找規(guī)律？

學(xué)生興奮地求解：a1=4，a2=7，a3=13，a4=25，a5=49。有規(guī)律嗎？

突然一個學(xué)生大叫：老師，我找到規(guī)律了！前四項(xiàng)的每一項(xiàng)減1后分別為3，6，12，24，48它們成等比數(shù)列。

老師：這位同學(xué)回答得很好，規(guī)律找得很準(zhǔn)確。但是是不是所有的項(xiàng)都符合這個規(guī)律呢？

學(xué)生思考了兩分鐘，又一學(xué)生高呼：老師，我能證明。

學(xué)生在黑板板書：an=2an-1-1∴an-1=2an-1-2∴an-1=2（an-1-1）。

老師：以上公式說明了什么？

學(xué)生：{an-1}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。

老師：讓我們?yōu)樽约旱呐桶l(fā)現(xiàn)鼓掌吧。

老師小結(jié)：對于符合an=kan-1+b的數(shù)列{an}，我們可以通過構(gòu)造等比數(shù)列求解。問題3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和Sn=2n-2n，

求an。

給予學(xué)生適當(dāng)?shù)乃伎紩r間后，開始交流和討論，匯報他們的所做所得。

老師：是不是與上題一樣，也通過算幾項(xiàng)，猜一猜？

學(xué)生：是。

老師：好！那么a1=？a2=？a3=？a4=？

學(xué)生：a1=0，a2=0，a3=-2，a4=-8

（老師在算法上有意識地征求大家的意見，并在a1、a2、a3、a4的值旁注上所獲得的最佳探求過程：a1=S1，a2=S2-S1，a3=S3-S2，a4=S4-S3。）

老師：根據(jù)前四項(xiàng)的數(shù)值，很難找出其中排列的明顯規(guī)律（上一題的方法）。請大家開拓思路，擴(kuò)大觀察的視野。

學(xué)生：從算的式子看，可以得到規(guī)律：an=Sn-Sn-1，進(jìn)而得an=2-2n-1。

老師：太好了！先猜測列出的會是什么樣的式子，進(jìn)而推測出會有的結(jié)果，學(xué)會分步完成非常好！對這個猜測的結(jié)果，大家有沒有異議？

學(xué)生：n=1時，不是這個形式，而是a1=S1，因而要分類寫。

老師：也就是an=2-2n-1（n≥2，a1=0）

學(xué)生：對。

老師：這個結(jié)果當(dāng)然仍是猜測，想想怎么證明？（一會兒后）其實(shí)也非常容易證明：Sn=a1+a2+…+an-1+an，Sn=a1+a2+…+an-1（n>1），就可以推出Sn-Sn-1=an（兩式相減），而n=1時，a1=S1顯然不適合！

老師小結(jié)：本例獲得了數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系an=2-2n-1，這很重要，希望同學(xué)們重視，并學(xué)會應(yīng)用。也留一個題，供大家課后練習(xí)：

已知數(shù)列{an}滿足下列條件a1+2a2+3a3+…+nan=5-2n求an。

問題4.求數(shù)列1，3，7，13，21，…的一個通項(xiàng)公式。

老師提示：相鄰兩項(xiàng)的差有沒有規(guī)律？

學(xué)生運(yùn)算后回答：有。

學(xué)生黑板板書：a2-a1=3-1=2，a3-a2=7-3=4，a4-a3=13-7=6，

……

an-an-1=2（n-1）

老師：我們由上面的n-1個式子如何求通項(xiàng)公式？

學(xué)生：以上n-1個等式左右兩邊分別相加。

學(xué)生板書：an-a1=2[1+2+3+…+（n-1）]=（n-1）n，

∴an=n2-n+1。

老師：我們的解答有什么問題嗎？學(xué)生思考：n=1時，要檢驗(yàn)a1=1是否適合上式。

老師小結(jié)：若數(shù)列{an}滿足an+1-an=f（n）（n∈N*），其中{f（n）}是易求和數(shù)列，那么可用累差法求an。我們應(yīng)驗(yàn)證n=1時a1=1適合an=n2-n+1式。

二、案例反思

在本案例實(shí)施過程中有的學(xué)生活動積極性不高，這些學(xué)生多為成績較差者，他們長期形成了悲觀的學(xué)習(xí)態(tài)度，針對這些學(xué)生，可建立一個小檔案，把他們每一天的進(jìn)步都記錄下來，讓他們看到自己的進(jìn)步，體會到學(xué)習(xí)的樂趣，重新樹立學(xué)習(xí)的自信；在活動中多開展分組討論的環(huán)節(jié)，通過交流加深自己對問題的理解和印象，同時鍛煉自己的表達(dá)能力和掌控能力。

教師從演員變?yōu)閷?dǎo)演對學(xué)生的發(fā)展至關(guān)重要，學(xué)生能力的提升，靈魂的升華，對數(shù)學(xué)的理解，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的提高都在這一轉(zhuǎn)變中得到實(shí)現(xiàn)。同時教師本身對數(shù)學(xué)藝術(shù)的理解也會加深，何樂而不為呢？

編輯 李建軍