張莉+羅燕+李昌勇

摘要：雞兔同籠問(wèn)題是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名題，同時(shí)也是多種數(shù)學(xué)思想與解題方法的載體，在小學(xué)教材和競(jìng)賽教學(xué)中都占有重要地位。在查閱有關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，從雞兔同籠的歷史背景、教學(xué)研究、解法研究等幾方面，對(duì)國(guó)內(nèi)雞兔同籠相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行了梳理，期望為雞兔同籠問(wèn)題的相關(guān)研究提供參考。

關(guān)鍵詞：雞兔同籠 教學(xué) 解法 綜述

一、“雞兔同籠”歷史背景

“雞兔同籠”最初記載于公元 3～4世紀(jì)的《孫子算經(jīng)》，該書(shū)作者不詳。其中將“雞兔同籠”問(wèn)題敘述為：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問(wèn)雉兔各幾何。”后又收錄于明代程大位（1533年～1606年）所著《算法統(tǒng)宗》第八卷的“少?gòu)V章”，問(wèn)題敘述時(shí)把“雉”改為了“雞”，由此“雞兔同籠”的說(shuō)法沿用至今。

古人對(duì)于雞兔同籠的問(wèn)題早已給出了解法。《孫子算經(jīng)》中的解法可概括為：“上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭即得”。此方法即為“半足法”。《算法統(tǒng)宗》給出了兩種不同于“半足法”的算法，一種算法為：“置總頭倍之得七十，與總足內(nèi)減七十余二四，折半得一十二是兔，以四足乘之得四十八足，總足減之余四十六足為雞足，折半得二十三?！绷硪环N算法是先求雞的只數(shù)，與先求兔的只數(shù)程序基本相同。這個(gè)方法叫做“倍頭法”。

二、雞兔同籠相關(guān)研究的分類(lèi)統(tǒng)計(jì)

根據(jù)CNKI檢索結(jié)果，最早關(guān)于“雞兔同籠”的文章寫(xiě)于1950年，本文就2008年至今的229篇文章進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)主要有教學(xué)類(lèi)和解法類(lèi)兩大方面的研究。教學(xué)類(lèi)文章大致有教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)錄及思考這兩類(lèi)，解法類(lèi)大致涵蓋假設(shè)法、方程法、列表法、畫(huà)圖法和面積法，還有一些特殊的方法。據(jù)統(tǒng)計(jì)，教學(xué)設(shè)計(jì)的文章占25%，課堂實(shí)錄及思考占45%，解法占30%，可見(jiàn)從2008年至今人們更關(guān)心“雞兔同籠”教學(xué)問(wèn)題。解法類(lèi)文章中，關(guān)于假設(shè)法的占35%，方程法占24%，列表法占22%，畫(huà)圖法占13%，面積法占4%，其它方法占2%?？梢?jiàn)假設(shè)法是人們研究最多的，也是解決“雞兔同籠”的一般方法；方程法是鏈接小學(xué)與初中的橋梁，是代數(shù)思想的初步認(rèn)識(shí)，因此方程思想還是受到了大家的重視；列表法和畫(huà)圖法是低年級(jí)學(xué)生解決雞兔同籠時(shí)最直觀的方法，符合低年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平，所以它們所占的比重也較大；其他方法研究的相對(duì)較少。

三、雞兔同籠教學(xué)研究綜述

（一）教幾種方法

人教版的編寫(xiě)目的是希望學(xué)生掌握不同的解決問(wèn)題方法，所以執(zhí)教人教版“雞兔同籠”的老師在教學(xué)中更多地選擇兩種及以上的方法。

《把學(xué)生的潛能變成現(xiàn)實(shí)——一節(jié)“雞兔同籠”課的思考》中，李玲玲認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)接觸過(guò)“雞兔同籠”問(wèn)題，故可以把教材上的三種列表法直接呈現(xiàn)成學(xué)生，重點(diǎn)讓學(xué)生來(lái)觀察三種列表法特點(diǎn)，學(xué)生基本能用自己語(yǔ)言描述，李玲玲再進(jìn)行小結(jié)并板書(shū)這三種列表法：逐一列表法、跳躍列表法、取中列表法，再讓學(xué)生嘗試其他方法，如假設(shè)法、列方程、畫(huà)圖法，由老師引導(dǎo)全班體會(huì)和學(xué)習(xí)這些方法?？梢钥闯隼盍崃崾窃谝欢ǔ潭壬蠈⑦@節(jié)課作為了活動(dòng)課，將學(xué)生置于“已會(huì)”的狀態(tài)，注重學(xué)生探索，在活動(dòng)中讓學(xué)生體會(huì)了多種方法并感受參與課堂的愉悅感，不過(guò)這種教學(xué)更適合基礎(chǔ)較好的班級(jí)。

《讓數(shù)學(xué)課堂充滿生命成長(zhǎng)的智慧—“雞兔同籠”教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析》中何仲秋先是設(shè)計(jì)了一個(gè)小活動(dòng)讓學(xué)生感受“猜測(cè)—驗(yàn)證—調(diào)整”；接著拋出“雞兔同籠”問(wèn)題并引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)列表，圍繞“怎么猜”“怎么驗(yàn)證”“猜錯(cuò)了又怎么辦”來(lái)探討“猜”；學(xué)生獨(dú)立完成表格并分享思路；接下來(lái)，何仲秋引入假設(shè)法，假設(shè)所有兔子都站起來(lái)，分析這時(shí)腿的數(shù)目變化，發(fā)現(xiàn)兔子站起來(lái)就相當(dāng)于都看成雞了，提出假設(shè)思想并請(qǐng)學(xué)生計(jì)算；此外，何仲秋還設(shè)計(jì)了方程法。

作為小學(xué)高年段的課堂教學(xué)，大部分老師都是選擇列表、假設(shè)、方程等幾種方法給學(xué)生呈現(xiàn)，而在教學(xué)安排上又講究了幾種方法的先后順序，強(qiáng)調(diào)了解法之間的關(guān)聯(lián)。

（二）教一種方法

邱良洪在《“雞兔同籠”教學(xué)設(shè)計(jì)（一）—嘗試與猜測(cè)》中給出了專(zhuān)門(mén)講授列表法的教學(xué)設(shè)計(jì)。課上老師給出問(wèn)題背景，讓學(xué)生經(jīng)歷猜測(cè)、嘗試和不斷調(diào)整的過(guò)程，在解決雞兔同籠問(wèn)題的過(guò)程中經(jīng)歷逐一列表、取中列表和跳躍式列表，對(duì)比三種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，使學(xué)生獲得用列表解決一般問(wèn)題的能力，感悟枚舉的數(shù)學(xué)思想。

陸潮江在《自主選擇，自主體會(huì)——列方程解“雞兔同籠”問(wèn)題教學(xué)實(shí)錄》中設(shè)計(jì)著重講授方程法的教學(xué)。老師首先讓學(xué)生用已學(xué)的方法解決最常見(jiàn)的“頭和腳和”型雞兔同籠問(wèn)題，再引入用方程法解雞兔同籠，突出方程的思想。之后依次呈現(xiàn)出“頭和腳差”“頭差腳差”型雞兔同籠問(wèn)題，促使學(xué)生自覺(jué)選擇方程法，感受方程法的優(yōu)越性，重點(diǎn)讓學(xué)生獲得用方程法解決問(wèn)題的能力。

潘聲榮在《從“雞兔同籠”問(wèn)題談假設(shè)策略的教學(xué)》著重講授假設(shè)策略。老師首先讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖、列表解決數(shù)量簡(jiǎn)化后的“雞兔同籠”問(wèn)題，初步體會(huì)用假設(shè)分析數(shù)量關(guān)系的過(guò)程，再讓學(xué)生利用假設(shè)法解決“雞兔同籠”原題，之后通過(guò)反思提煉得到假設(shè)策略。

只講授一種方法有利于老師對(duì)某一方法進(jìn)行有深度的教學(xué)思考，學(xué)生深入地學(xué)習(xí)這類(lèi)方法蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，避免了方法多卻不精的情況，至于選擇哪種方法就需要老師針對(duì)學(xué)情適當(dāng)選擇，但是幾乎沒(méi)有只講畫(huà)圖和面積法的專(zhuān)題課程。

四、“雞兔同籠”解法研究綜述

（一）假設(shè)法

假設(shè)思想方法是通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的一些數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)母淖?，然后根?jù)題目的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算和推理，再根據(jù)計(jì)算所得數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的差異進(jìn)行修正和還原，最后使原問(wèn)題得到解決的思想方法。

解決雞兔同籠問(wèn)題可從不同角度假設(shè)。沈婷在《談小學(xué)數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)——以“雞兔同籠”問(wèn)題為例》中寫(xiě)到極端假設(shè)法：假設(shè)全是雞（兔）。假設(shè)全是雞，35只雞共70只腳，但實(shí)際是94只，假設(shè)比實(shí)際少24只腳，少在將4只腳的兔看成2只腳的雞，每只兔少2只腳，所以兔共只，雞35-12=23只。假設(shè)全是兔，思路是一樣的。

在林革的《“雞兔同籠”問(wèn)題解答集錦和評(píng)析》中談到我國(guó)科學(xué)院院士張景中教授給出的一種解法，稱(chēng)其為公平設(shè)計(jì)法：兔有4只腳，雞只有2只腳不公平，所以我們就將雞的兩個(gè)翅膀也看作腳，那么總共有35×4=140只腳，如果不把翅膀當(dāng)作腳，那么腳94只，所以多出的140-94=46只腳為雞的一對(duì)翅膀，所以雞有46÷2=23只，兔有12只。

北京大學(xué)附中特級(jí)教師周沛耕提出了“抬腳法”：假設(shè)把雞和兔都抬起兩只腳，則只有兔子還有兩只腳在地上，地上總共剩下94-35×2=24只兔子腳，故兔共12只，雞35-12=23只。

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞十分推崇《孫子算經(jīng)》中的“半足法”，并稱(chēng)之為“金雞獨(dú)立法”，這種方法也可稱(chēng)為“折半法”。沈婷還寫(xiě)到“增頭法”，這其實(shí)就是《算法統(tǒng)宗》里的“倍頭法”。

假設(shè)法有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，滲透化歸的思想。上述幾種方法雖然解決問(wèn)題的角度不同，但都是立足于假設(shè)思想上，這為我們用假設(shè)思想解決問(wèn)題提供了不同的思考方向。

（二）方程法

不少文章中均提到了用一元一次方程解雞兔同籠，設(shè)雞x只，兔（35-x）只，由數(shù)量關(guān)系可列方程：2x+4（35-x）=94，解得x=23，即雞23只，兔35-23=12只。也可設(shè)兔x只，過(guò)程類(lèi)似。

二元一次方程組，設(shè)雞x只，兔y只，列方程組：解得x=23，y=12。

方程法體現(xiàn)的是代數(shù)思想，需要一定的抽象思維和用符號(hào)代替數(shù)的能力，故方程法比較適合高年級(jí)學(xué)生。

（三）列表法

北師大五年級(jí)數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)了三種列表法。第一種是逐一列舉，將雞的只數(shù)從1開(kāi)始依次列出，再計(jì)算出相應(yīng)的兔的只數(shù)以及總的腳數(shù)，找到正確答案為止；第二種跳躍列舉，跳躍計(jì)算雞兔的數(shù)量，逐步逼近雞兔數(shù)量的可能性范圍，以減少列舉的次數(shù)；第三種取中列舉，雞兔共35只，取最中間的數(shù)開(kāi)始列舉，觀察列舉的腳數(shù)與實(shí)際的腳數(shù)的差值，判斷正確值從中間值的左邊還是右邊，再在選擇的一面繼續(xù)取中列舉，這樣大大縮減了列舉的范圍。方愛(ài)斌也提到了利用特殊值進(jìn)行合理推理，逐步逼近正確值，提出了取中猜測(cè)和跳躍式猜測(cè)。

常規(guī)的逐一列舉法利于低年級(jí)的學(xué)生理解，鍛煉了學(xué)生的估算和推理能力，培養(yǎng)了學(xué)生用列表法解決問(wèn)題的策略。跳躍列舉、取中列舉是優(yōu)化后的列表法，培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)特殊數(shù)據(jù)的敏感性，滲透了極限逼近思想。

（四）面積法

李樹(shù)清在《“雞兔同籠”問(wèn)題的解法探討》中提出把“雞兔同籠”變?yōu)橐坏缼缀晤}來(lái)做，如圖1所示，AB=35表示共35個(gè)頭，BC=2表示雞2只腳，AF=4表示兔4只腳，表示雞兔共94只腳，求AH和HB，即兔、雞各有多少只。此法巧妙地將“腳總數(shù)=雞頭數(shù)×2+兔頭數(shù)×4”轉(zhuǎn)化為“長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬”。延長(zhǎng)CD交AF于G，可得到，則，所以兔頭數(shù)，得兔有12只，故雞有23只。

楊通的《數(shù)形結(jié)合解決“雞兔同籠”問(wèn)題》和林革的《“雞兔同籠”問(wèn)題解答集錦及評(píng)析》也提到了面積法，思路與李樹(shù)清一致。

周春荔在《“雞兔同籠”問(wèn)題的兩個(gè)新解法》一文中提出兩個(gè)圖解新法，解法一過(guò)程如下：設(shè)雞只，共只腳，兔只，共只腳，則列得方程組：，得 即平均每頭動(dòng)物只腳。由此可作圖2，AB表示35個(gè)頭，BC表示雞頭數(shù)，BF表示2只腳，AC表示兔頭數(shù)，AE表示4只腳，AP即平均每頭動(dòng)物只腳。從圖2可以看出，表示共有94只腳，由此得到，式子表示：，解得，故，。解法二則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為和差問(wèn)題，設(shè)雞只，兔只，如圖3，表示雞腳，表示兔腳，根據(jù)圖形面積關(guān)系可列方程：，解得結(jié)合解得，。

李樹(shù)清所說(shuō)的面積法，實(shí)質(zhì)是將算術(shù)問(wèn)題幾何化，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和構(gòu)造的思想。周春荔所提的新解法也是基于將算術(shù)問(wèn)題幾何化的想法，但是先是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理并且對(duì)幾何圖形的構(gòu)造也進(jìn)一步擴(kuò)展。面積法是一種具有挑戰(zhàn)性的方法，需要較強(qiáng)的幾何思維，所以目前對(duì)面積法的研究并不多。

（五）畫(huà)圖法

在低年級(jí)教學(xué)中，不少老師選擇畫(huà)圖法給學(xué)生直觀講解。所謂畫(huà)圖法即畫(huà)一個(gè)○表示頭，線段表示腳，畫(huà)出35個(gè)○，在每個(gè)○下畫(huà)兩只腳，共70只腳比94少，所以需要添腳，而一只兔比一只雞多兩只腳，所以每次給一個(gè)○加兩只腳變成兔，發(fā)現(xiàn)給12個(gè)○添腳剛好滿足，故兔12只，雞23只。也可先全畫(huà)成兔，再去掉多的腳。畫(huà)圖法的實(shí)質(zhì)是假設(shè)，只是比純假設(shè)列式增加了形象的示意圖。

此外，還有一些特殊解法，例如畫(huà)線段圖法、比例分配法、差量作比法、代數(shù)消元法，紀(jì)祥在《“雞兔同籠題，千年沒(méi)變過(guò)”說(shuō)開(kāi)去》中甚至主張將雞兔的數(shù)量關(guān)系與向量矩陣的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，可見(jiàn)“雞兔同籠”的解法越來(lái)越豐富。

五、小結(jié)與研究展望

“雞兔同籠”問(wèn)題可以體現(xiàn)化歸、方程、建模、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要載體，具有很大的教學(xué)價(jià)值，它有利于培養(yǎng)學(xué)生一題多解和建立模型的思維習(xí)慣。

分析發(fā)現(xiàn)“雞兔同籠”解法和教學(xué)的研究已十分豐富，但它具有的數(shù)學(xué)價(jià)值卻不僅僅止于解決“雞兔同籠”本身或者傳達(dá)一兩種數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)影響下，筆者認(rèn)為有待研究的問(wèn)題是：如何對(duì)“雞兔同籠”再設(shè)計(jì)，才能實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的！

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