林文斌

352100 寧德市高級(jí)中學(xué) 福建寧德

【摘 要】本文主要從宏觀上說(shuō)明全國(guó)卷高考橢圓問(wèn)題的有效復(fù)習(xí)及備考的解題策略。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；橢圓；解題；策略

歷屆高考數(shù)學(xué)卷中，橢圓問(wèn)題均做為必考題出現(xiàn)，在各種題型中均有考查，其中以解答題為重。有時(shí)以選填小題形式出現(xiàn)，這類(lèi)題難度偏??；也有以解答題的大題形式出現(xiàn)，若為準(zhǔn)壓軸題則該題的難度偏大，若與極坐標(biāo)和參數(shù)方程結(jié)合，難度也相對(duì)較小。在高考復(fù)習(xí)中要引起我們的重視，下面探究此類(lèi)問(wèn)題的突破策略。

一、有關(guān)橢圓的基本知識(shí)回顧

（1）橢圓的基本定義：橢圓的第一定義，特別注意橢圓存在的條件，強(qiáng)調(diào)“2a>2c”。

（2）橢圓的方程和性質(zhì)：方程有標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、參數(shù)方程；性質(zhì)包含圖形、頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心、焦點(diǎn)、焦距、離心率等。

從2011-2016這六年的高考情況來(lái)看，高頻考點(diǎn)有橢圓的定義、性質(zhì)以及和其他曲線(xiàn)（直線(xiàn)、圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)）的位置關(guān)關(guān)系等。不管是一輪復(fù)習(xí)、二輪復(fù)習(xí)都要對(duì)有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生在解題前認(rèn)真審題、在解題中規(guī)范解答、在解題后反思，最后由教師斷后，做好通解通法的點(diǎn)撥和總結(jié)。

二、做好考情、學(xué)情分析

筆者所在學(xué)校是一所省二級(jí)達(dá)標(biāo)高中，招生時(shí)先由城區(qū)一級(jí)達(dá)標(biāo)學(xué)校砍頭（優(yōu)質(zhì)生源）后，再被同類(lèi)學(xué)校分去相當(dāng)中等生，學(xué)生基礎(chǔ)差，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的抽象思維能力有限，計(jì)算能力差，對(duì)知識(shí)的把握程度不足。解幾的解題又必須結(jié)合以上多項(xiàng)能力的問(wèn)題。我們從引導(dǎo)學(xué)生在解幾解題技巧上進(jìn)行歸納，在準(zhǔn)壓軸題上只能讓他們用常用的思路求出第一小題，第二小題基本是直線(xiàn)與橢圓問(wèn)題用六步法套路解題，讓大多同學(xué)能拿個(gè)基本分。如何以橢圓問(wèn)題為突破口，讓學(xué)生在高考中盡量在解析幾何板塊上多得分，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素質(zhì)有所提高是我們的重要目標(biāo)。

三、橢圓常見(jiàn)題型的解題方法總結(jié)

題型1.考察橢圓的定義及應(yīng)用：

橢圓（雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)）的定義是解析幾何的核心內(nèi)容，以橢圓的定義為載體可以與函數(shù)、不等式、平面向量等知識(shí)交匯，能充分考查橢圓的特點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的思想。此類(lèi)問(wèn)題的突破策略是遇到與焦點(diǎn)有關(guān)時(shí)優(yōu)先考慮用定義解之。求曲線(xiàn)方程最常用的方法就是待定系數(shù)法，具體的解題步驟是“先定形（哪種曲線(xiàn)、“x型”還是“y型”），再定式，最后定量（寫(xiě)出最后的解析式）”。

題型2.橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用：

橢圓的離心率問(wèn)題是高考的高頻考點(diǎn)，離心率問(wèn)題綜合性強(qiáng)，靈活多變，能較好地反映學(xué)生對(duì)知識(shí)的熟練掌握和靈活運(yùn)用的能力，能有效地反映學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度。橢圓的性質(zhì)主要是圍繞橢圓中的“六點(diǎn)”（兩個(gè)焦點(diǎn)、四個(gè)頂點(diǎn)），“兩線(xiàn)一心”（兩條對(duì)稱(chēng)軸、一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心），“兩形”（中心、焦點(diǎn)以及短軸端點(diǎn)構(gòu)成的或橢圓上一點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形），“兩圍”（x的范圍，y的范圍），注意用圖形有平面幾何特征解題。

題型3.橢圓和直線(xiàn)以及其他二次曲線(xiàn)（圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)）的關(guān)系問(wèn)題（包括：切線(xiàn)、弦長(zhǎng)、定點(diǎn)、定直線(xiàn)、定值等）

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，這蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想等，題型3是復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的好素材。橢圓的切線(xiàn)問(wèn)題是高考中較為新穎的問(wèn)題，結(jié)合韋達(dá)定理可以設(shè)而不求，有時(shí)還要恰當(dāng)運(yùn)用平面幾何知識(shí)對(duì)其進(jìn)行求解。題型3涉及的最值問(wèn)題與范圍問(wèn)題是新課標(biāo)全國(guó)卷的最熱點(diǎn)，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類(lèi)問(wèn)題的一般思路是抓住函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)量表示為一個(gè)或多個(gè)變量的函數(shù)，然后借助這個(gè)函數(shù)的探求使問(wèn)題得以解決。

針對(duì)橢圓和直線(xiàn)的關(guān)系，我們向?qū)W生總結(jié)了此類(lèi)問(wèn)題的應(yīng)試“六步法”，也適用于其它圓錐曲線(xiàn)與直線(xiàn)的關(guān)系問(wèn)題?！傲椒ā卑ǎ旱谝徊皆O(shè)點(diǎn)（設(shè)而不求）、第二步設(shè)線(xiàn)（討論斜率是否存在）、第三步聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程、第四步求判別式△>0（主要是有交點(diǎn)）、第五步用韋達(dá)定理列出根與系數(shù)的關(guān)系式、第六步根據(jù)具體題目要求的問(wèn)題逆向思考需要的條件，具體問(wèn)題具體分析，常涉及分類(lèi)討論思想。至于橢圓和其它二次曲線(xiàn)的關(guān)系問(wèn)題也能用“六步法”的模式求解。

另外，特殊問(wèn)題特殊法（如點(diǎn)差法（特別是中點(diǎn)弦問(wèn)題），對(duì)稱(chēng)法）。

四、高考真題賞析：詳見(jiàn)2011-2016年新課標(biāo)高考全國(guó)卷

總而言之，在橢圓的復(fù)習(xí)中，幫助學(xué)生梳理考點(diǎn)，總結(jié)常用的解題途徑和思路，讓學(xué)生學(xué)會(huì)讀題、審題、破題、解題，教師要展示必要的、完整的解題思路，提供可供模仿的解題過(guò)程，適當(dāng)進(jìn)行“一題多解”、“多題一解”的針對(duì)訓(xùn)練；在平時(shí)訓(xùn)練時(shí)要求學(xué)生選擇好的算法，提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性，讓學(xué)生在高考中有所斬獲。