☉重慶獨立學者 熊 明

☉四川廣安前鋒區(qū)桂興鎮(zhèn)初級中學 熊 鑒

傳統(tǒng)方法解盈虧和雞兔同籠類問題的局限性

☉重慶獨立學者 熊 明

☉四川廣安前鋒區(qū)桂興鎮(zhèn)初級中學 熊 鑒

盈虧問題和雞兔同籠問題在我國古代用算術法求解，現(xiàn)今在小學也是用算術法求解，而在初中用方程法求解.但對于一些稍微復雜點的盈虧問題和雞兔同籠推廣問題，我們發(fā)現(xiàn)中國古代方法和傳統(tǒng)的方程方法都不能得到這些問題的全部解.為此我們分別引入?yún)⒆兞康姆匠毯筒欢ǚ匠探M以彌補中國古代方法和傳統(tǒng)方法在解決盈虧問題和雞兔同籠類問題方面的缺陷和不足.在此與廣大數(shù)學同仁交流和相互學習.

一、引入?yún)⒆兞拷鉀Q某些盈虧問題的全部解

在代數(shù)和方程沒有出現(xiàn)之前，古代中國人把“盈虧問題”劃分為5類問題，對每類問題用相應的公式求解，這在當時領先世界.但當代數(shù)和一次方程的理論和方法完善后，解決這類問題變得非常簡單，用一元方程或二元方程組便可解決.但某些盈虧問題存在多個解，僅僅靠公式法、一元方程法或二元方程組并不能得到全部解，而引入?yún)?shù)用不定方程可彌補這一缺陷和不足.盡管我們在2004年已經(jīng)對盈虧問題傳統(tǒng)解法做出過糾正，但現(xiàn)今網(wǎng)絡上和某些輔導書上的求解方法仍然沒有糾正過來.

例1 快樂幼兒園大班和小班的小朋友共43人，如果大班每人給7塊糖，小班每人給5塊糖，就多余15塊糖；如果大班每人給10塊糖，小班每人給7塊糖，就有13位小朋友分不到糖.問：小班和大班各有多少個小朋友？（1998年2月27日香港小學數(shù)學精英選拔賽）

某些輔導書和網(wǎng)絡上百度文庫給出的解法：大班每人多發(fā)10-7=3（塊），小班每人多發(fā)7-5=2（塊），就需要多15+13×7=106（塊）.因此小班人數(shù)是：（43×3-106）÷（3-2）=23，大班人數(shù)是：43-23=20.

我們認為求解時有如下兩方面的情況需要考慮：（1）本題并沒有指出未分到糖的小朋友是小班還是大班；（2）當大班按照每人10塊糖分時，若不足10塊則不再繼續(xù)分，這時糖塊可能還有剩余；同理，當小班按照每人7塊分時，若不足7塊，這時糖塊可能仍有剩余.于是下面我們引入?yún)⒆兞坎⒎诸愑懻?

解：設小班小朋友x人，則大班小朋友43-x人.因此按第一種分糖法，糖塊總數(shù)為7（43-x）+5x+15，即-2x+ 316.

對第二種分糖法，下面我們分兩種情況分別討論：

（1）若未分到糖的13位小朋友為大班的，則設m表示不足10的糖塊數(shù)，于是按第二種分糖法，糖塊總數(shù)為7x+ 10（43-x-13）+m，從而得到含參變量m的方程-2x+316= 7x+10（43-x-13）+m.

整理上述不定方程得到x=m-16，其中m是0到9的整數(shù)，此時x＜0，因此此方程無意義，不再繼續(xù)討論.

（2）若未分到糖的13位小朋友為小班的，則設n表示不足7的糖塊數(shù)，于是按第二種分糖法，糖塊總數(shù)為7（x-13）+10（43-x）+n，其中n是0到6的整數(shù).進而得到方程-2x+316=7（x-13）+10（43-x）+n，整理此方程得到x=23+n，其中n是0到6的整數(shù).從而得到此方程的七個解：

最后可求得小班和大班的小朋友分別為23、20，或24、19，或25、18，或26、17，或27、16，或28、15，或29、14，共七種情形.原方法僅得到這七種情形的第一種.

上述問題中，若不分別引入一個參數(shù)m、n，建立含參變量的方程，則不能夠得到該問題的全部解.

我們可以舉出類似于例1的多個例子（略），讀者可參閱“對盈虧問題傳統(tǒng)解法的質(zhì)疑和糾正”一文［1］.

二、“雞兔同籠類”問題存在多個解

古代中國人解決“雞兔同籠”這類問題在世界數(shù)學史上也是非常有名的.比較簡單的“雞兔同籠類”問題，我們既可以用中國古代傳統(tǒng)的假設法求解，也可以用初中的一元一次方程或二元一次方程組求解.但對于稍復雜的推廣類問題，這兩種方法的局限性和缺陷便表現(xiàn)出來了.

1.一道小升初入學試題及其原解答.

例2 甲1分鐘能洗3個盤子或9個碗，乙1分鐘能洗2個盤子或7個碗.甲、乙兩人合作，20分鐘洗了134個盤子和碗.問：甲、乙共洗了幾個盤子幾個碗？說明理由.

原解答：假設20分鐘都洗盤子，則可洗（2+3）×20= 100（個），共少洗了134-100=34（個）.甲如果洗1分鐘碗，數(shù)量就要多9-3=6（個）；乙如果洗1分鐘碗，數(shù)量就要多7-2=5（個）.因為6×4+5×2=34，所以洗碗的個數(shù)是4×9+2× 7=50，盤子的個數(shù)是134-50=84.

2.對上述小升初試題的進一步探討.

上述方法是用中國古代傳統(tǒng)的假設法求解的，解答過程非常簡潔，那么是否還有其他解的情形呢？

我們發(fā)現(xiàn)：若乙把20分鐘的時間全用于洗盤子，則可洗盤子40個洗碗0個；在此期間，甲分別用分鐘洗盤子和洗碗，則甲分別洗了×9=51（個）盤子和碗；于是甲、乙兩人洗盤子的總個數(shù)和洗碗的總個數(shù)則分別為83、51（盤子和碗總數(shù)仍然是134）.于是我們發(fā)現(xiàn)此問題的答案并不唯一.

進一步地，是否還有其他解？若有，如何求出這個問題的全部解？顯然，傳統(tǒng)的假設法顯得無能為力！這就是這個古代假設法解決雞兔同籠類問題的缺陷和局限性

3.對小升初試題的改編詳解和引申.

例2的改編：甲1分鐘能洗3個盤子或9個碗，乙1分鐘能洗2個盤子或7個碗.甲、乙兩人在20分鐘內(nèi)洗了134個盤子和碗（盤子和碗的總數(shù)為134）.甲、乙各自洗了多少個盤子和多少個碗？各自洗盤子和洗碗的時間分別是多少？

解：設甲洗的盤子和碗分別為x1、x2個，乙洗的盤子和碗分別為y1、y2個.則可根據(jù)他們洗盤子或碗的時間，以及盤子和碗的總數(shù)，列出如下四元方程組：

其中x1、x2、y1、y2都是非負整數(shù).

上述方程組只有三個方程，但卻有四個未知數(shù)，我們把這類方程組稱為不定方程組.下面我用代入消元法求解該不定方程組.

將④⑤都代入方程③，從而得如下二元不定方程：

我們通過代入消元法已經(jīng)將方程組化為了二元不定方程⑥.方程⑥變形為：

因為x2、y2都為非負整數(shù)，而且方程⑦中15和14互質(zhì)，所以y2應該是14的整數(shù)倍，如果令方程⑦中的y2= 14k，再依次回代則可以得出x2、x1、y1關于k的表達式，從而可得到原不定方程組的一般解，如下：

因為根據(jù)此問題的實際情況，x1、x2、y1、y2都是非負整數(shù)，而當k取負整數(shù)或大于3的整數(shù)時，x2、y1便出現(xiàn)負數(shù)，不合題意，所以k只能取0、1、2、3這四個整數(shù)，從而得4個不同的解：

（x1，x2，y1，y2）=（43，51，40，0）、（48，36，36，14）、（53，21，32，28）、（58，6，28，42）.

由上可知：此方程組有且只有四個不同的解，即甲洗盤子和洗碗的個數(shù)及乙洗盤子和洗碗的情形有四種：（43，51，40，0），或（48，36，36，14），或（53，21，32，28），或（58，6，28，42）.

現(xiàn)在換一種代換方式，如果例2中方程①和②分別變形為x2=180-3x1和后，代入方程③，可得，整理后得

令y1=4m，則可得例2中原不定方程組一般解的另一種表達式：

其中m=7、8、9、10.兩個表達式雖然形式上有差別，但可以驗證兩個表達式完全等價.

1.熊明.對盈虧問題傳統(tǒng)解法的質(zhì)疑和糾正［J］.基礎教育（重慶），2004（7）.

2.基礎教育考試評價中心.小學畢業(yè)升學真題詳解·數(shù)學［M］.西安：西安出版社，2016.

3.熊明.在實數(shù)教學中滲透極限思想［J］.課程教育研究（中），2012（6）.