☉重慶獨(dú)立學(xué)者 熊 明

☉四川廣安前鋒區(qū)桂興鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 熊 鑒

傳統(tǒng)方法解盈虧和雞兔同籠類問(wèn)題的局限性

☉重慶獨(dú)立學(xué)者 熊 明

☉四川廣安前鋒區(qū)桂興鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 熊 鑒

盈虧問(wèn)題和雞兔同籠問(wèn)題在我國(guó)古代用算術(shù)法求解，現(xiàn)今在小學(xué)也是用算術(shù)法求解，而在初中用方程法求解.但對(duì)于一些稍微復(fù)雜點(diǎn)的盈虧問(wèn)題和雞兔同籠推廣問(wèn)題，我們發(fā)現(xiàn)中國(guó)古代方法和傳統(tǒng)的方程方法都不能得到這些問(wèn)題的全部解.為此我們分別引入?yún)⒆兞康姆匠毯筒欢ǚ匠探M以彌補(bǔ)中國(guó)古代方法和傳統(tǒng)方法在解決盈虧問(wèn)題和雞兔同籠類問(wèn)題方面的缺陷和不足.在此與廣大數(shù)學(xué)同仁交流和相互學(xué)習(xí).

一、引入?yún)⒆兞拷鉀Q某些盈虧問(wèn)題的全部解

在代數(shù)和方程沒(méi)有出現(xiàn)之前，古代中國(guó)人把“盈虧問(wèn)題”劃分為5類問(wèn)題，對(duì)每類問(wèn)題用相應(yīng)的公式求解，這在當(dāng)時(shí)領(lǐng)先世界.但當(dāng)代數(shù)和一次方程的理論和方法完善后，解決這類問(wèn)題變得非常簡(jiǎn)單，用一元方程或二元方程組便可解決.但某些盈虧問(wèn)題存在多個(gè)解，僅僅靠公式法、一元方程法或二元方程組并不能得到全部解，而引入?yún)?shù)用不定方程可彌補(bǔ)這一缺陷和不足.盡管我們?cè)?004年已經(jīng)對(duì)盈虧問(wèn)題傳統(tǒng)解法做出過(guò)糾正，但現(xiàn)今網(wǎng)絡(luò)上和某些輔導(dǎo)書(shū)上的求解方法仍然沒(méi)有糾正過(guò)來(lái).

例1 快樂(lè)幼兒園大班和小班的小朋友共43人，如果大班每人給7塊糖，小班每人給5塊糖，就多余15塊糖；如果大班每人給10塊糖，小班每人給7塊糖，就有13位小朋友分不到糖.問(wèn)：小班和大班各有多少個(gè)小朋友？（1998年2月27日香港小學(xué)數(shù)學(xué)精英選拔賽）

某些輔導(dǎo)書(shū)和網(wǎng)絡(luò)上百度文庫(kù)給出的解法：大班每人多發(fā)10-7=3（塊），小班每人多發(fā)7-5=2（塊），就需要多15+13×7=106（塊）.因此小班人數(shù)是：（43×3-106）÷（3-2）=23，大班人數(shù)是：43-23=20.

我們認(rèn)為求解時(shí)有如下兩方面的情況需要考慮：（1）本題并沒(méi)有指出未分到糖的小朋友是小班還是大班；（2）當(dāng)大班按照每人10塊糖分時(shí)，若不足10塊則不再繼續(xù)分，這時(shí)糖塊可能還有剩余；同理，當(dāng)小班按照每人7塊分時(shí)，若不足7塊，這時(shí)糖塊可能仍有剩余.于是下面我們引入?yún)⒆兞坎⒎诸愑懻?

解：設(shè)小班小朋友x人，則大班小朋友43-x人.因此按第一種分糖法，糖塊總數(shù)為7（43-x）+5x+15，即-2x+ 316.

對(duì)第二種分糖法，下面我們分兩種情況分別討論：

（1）若未分到糖的13位小朋友為大班的，則設(shè)m表示不足10的糖塊數(shù)，于是按第二種分糖法，糖塊總數(shù)為7x+ 10（43-x-13）+m，從而得到含參變量m的方程-2x+316= 7x+10（43-x-13）+m.

整理上述不定方程得到x=m-16，其中m是0到9的整數(shù)，此時(shí)x＜0，因此此方程無(wú)意義，不再繼續(xù)討論.

（2）若未分到糖的13位小朋友為小班的，則設(shè)n表示不足7的糖塊數(shù)，于是按第二種分糖法，糖塊總數(shù)為7（x-13）+10（43-x）+n，其中n是0到6的整數(shù).進(jìn)而得到方程-2x+316=7（x-13）+10（43-x）+n，整理此方程得到x=23+n，其中n是0到6的整數(shù).從而得到此方程的七個(gè)解：

最后可求得小班和大班的小朋友分別為23、20，或24、19，或25、18，或26、17，或27、16，或28、15，或29、14，共七種情形.原方法僅得到這七種情形的第一種.

上述問(wèn)題中，若不分別引入一個(gè)參數(shù)m、n，建立含參變量的方程，則不能夠得到該問(wèn)題的全部解.

我們可以舉出類似于例1的多個(gè)例子（略），讀者可參閱“對(duì)盈虧問(wèn)題傳統(tǒng)解法的質(zhì)疑和糾正”一文［1］.

二、“雞兔同籠類”問(wèn)題存在多個(gè)解

古代中國(guó)人解決“雞兔同籠”這類問(wèn)題在世界數(shù)學(xué)史上也是非常有名的.比較簡(jiǎn)單的“雞兔同籠類”問(wèn)題，我們既可以用中國(guó)古代傳統(tǒng)的假設(shè)法求解，也可以用初中的一元一次方程或二元一次方程組求解.但對(duì)于稍復(fù)雜的推廣類問(wèn)題，這兩種方法的局限性和缺陷便表現(xiàn)出來(lái)了.

1.一道小升初入學(xué)試題及其原解答.

例2 甲1分鐘能洗3個(gè)盤(pán)子或9個(gè)碗，乙1分鐘能洗2個(gè)盤(pán)子或7個(gè)碗.甲、乙兩人合作，20分鐘洗了134個(gè)盤(pán)子和碗.問(wèn)：甲、乙共洗了幾個(gè)盤(pán)子幾個(gè)碗？說(shuō)明理由.

原解答：假設(shè)20分鐘都洗盤(pán)子，則可洗（2+3）×20= 100（個(gè)），共少洗了134-100=34（個(gè)）.甲如果洗1分鐘碗，數(shù)量就要多9-3=6（個(gè)）；乙如果洗1分鐘碗，數(shù)量就要多7-2=5（個(gè)）.因?yàn)?×4+5×2=34，所以洗碗的個(gè)數(shù)是4×9+2× 7=50，盤(pán)子的個(gè)數(shù)是134-50=84.

2.對(duì)上述小升初試題的進(jìn)一步探討.

上述方法是用中國(guó)古代傳統(tǒng)的假設(shè)法求解的，解答過(guò)程非常簡(jiǎn)潔，那么是否還有其他解的情形呢？

我們發(fā)現(xiàn)：若乙把20分鐘的時(shí)間全用于洗盤(pán)子，則可洗盤(pán)子40個(gè)洗碗0個(gè)；在此期間，甲分別用分鐘洗盤(pán)子和洗碗，則甲分別洗了×9=51（個(gè)）盤(pán)子和碗；于是甲、乙兩人洗盤(pán)子的總個(gè)數(shù)和洗碗的總個(gè)數(shù)則分別為83、51（盤(pán)子和碗總數(shù)仍然是134）.于是我們發(fā)現(xiàn)此問(wèn)題的答案并不唯一.

進(jìn)一步地，是否還有其他解？若有，如何求出這個(gè)問(wèn)題的全部解？顯然，傳統(tǒng)的假設(shè)法顯得無(wú)能為力！這就是這個(gè)古代假設(shè)法解決雞兔同籠類問(wèn)題的缺陷和局限性

3.對(duì)小升初試題的改編詳解和引申.

例2的改編：甲1分鐘能洗3個(gè)盤(pán)子或9個(gè)碗，乙1分鐘能洗2個(gè)盤(pán)子或7個(gè)碗.甲、乙兩人在20分鐘內(nèi)洗了134個(gè)盤(pán)子和碗（盤(pán)子和碗的總數(shù)為134）.甲、乙各自洗了多少個(gè)盤(pán)子和多少個(gè)碗？各自洗盤(pán)子和洗碗的時(shí)間分別是多少？

解：設(shè)甲洗的盤(pán)子和碗分別為x1、x2個(gè)，乙洗的盤(pán)子和碗分別為y1、y2個(gè).則可根據(jù)他們洗盤(pán)子或碗的時(shí)間，以及盤(pán)子和碗的總數(shù)，列出如下四元方程組：

其中x1、x2、y1、y2都是非負(fù)整數(shù).

上述方程組只有三個(gè)方程，但卻有四個(gè)未知數(shù)，我們把這類方程組稱為不定方程組.下面我用代入消元法求解該不定方程組.

將④⑤都代入方程③，從而得如下二元不定方程：

我們通過(guò)代入消元法已經(jīng)將方程組化為了二元不定方程⑥.方程⑥變形為：

因?yàn)閤2、y2都為非負(fù)整數(shù)，而且方程⑦中15和14互質(zhì)，所以y2應(yīng)該是14的整數(shù)倍，如果令方程⑦中的y2= 14k，再依次回代則可以得出x2、x1、y1關(guān)于k的表達(dá)式，從而可得到原不定方程組的一般解，如下：

因?yàn)楦鶕?jù)此問(wèn)題的實(shí)際情況，x1、x2、y1、y2都是非負(fù)整數(shù)，而當(dāng)k取負(fù)整數(shù)或大于3的整數(shù)時(shí)，x2、y1便出現(xiàn)負(fù)數(shù)，不合題意，所以k只能取0、1、2、3這四個(gè)整數(shù)，從而得4個(gè)不同的解：

（x1，x2，y1，y2）=（43，51，40，0）、（48，36，36，14）、（53，21，32，28）、（58，6，28，42）.

由上可知：此方程組有且只有四個(gè)不同的解，即甲洗盤(pán)子和洗碗的個(gè)數(shù)及乙洗盤(pán)子和洗碗的情形有四種：（43，51，40，0），或（48，36，36，14），或（53，21，32，28），或（58，6，28，42）.

現(xiàn)在換一種代換方式，如果例2中方程①和②分別變形為x2=180-3x1和后，代入方程③，可得，整理后得

令y1=4m，則可得例2中原不定方程組一般解的另一種表達(dá)式：

其中m=7、8、9、10.兩個(gè)表達(dá)式雖然形式上有差別，但可以驗(yàn)證兩個(gè)表達(dá)式完全等價(jià).

1.熊明.對(duì)盈虧問(wèn)題傳統(tǒng)解法的質(zhì)疑和糾正［J］.基礎(chǔ)教育（重慶），2004（7）.

2.基礎(chǔ)教育考試評(píng)價(jià)中心.小學(xué)畢業(yè)升學(xué)真題詳解·數(shù)學(xué)［M］.西安：西安出版社，2016.

3.熊明.在實(shí)數(shù)教學(xué)中滲透極限思想［J］.課程教育研究（中），2012（6）.