☉江蘇蘇州市高新區(qū)第一中學(xué) 單凈璇

深究尺規(guī)作圖，“牽出”全等三角形
——全等三角形（第1課時(shí)）教學(xué)與思考

☉江蘇蘇州市高新區(qū)第一中學(xué) 單凈璇

全等三角形起始課是很多教研活動(dòng)中的熱點(diǎn)課題，因?yàn)檫@個(gè)課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容只需要關(guān)聯(lián)少量的三角形概念和內(nèi)角和，相對(duì)獨(dú)立，不受教學(xué)進(jìn)度太大影響，成為各級(jí)教研活動(dòng)經(jīng)常選用的比賽課時(shí).然而這個(gè)課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容在各級(jí)教材上多是較為簡(jiǎn)單的全等圖形、全等三角形的概念，簡(jiǎn)單識(shí)別全等三角形后找找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角等訓(xùn)練，對(duì)多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這節(jié)課有些消耗時(shí)間，硬把學(xué)生留在原地空轉(zhuǎn)，而不涉及后續(xù)的全等三角形的判定公理，是值得商榷的.我們注意到全國(guó)著名特級(jí)教師李庾南老師在全等三角形起始課的教學(xué)時(shí)，就引導(dǎo)學(xué)生全面接觸了全等三角形的判定方法，值得學(xué)習(xí).受此啟發(fā)，我們最近在教學(xué)全等三角形起始課時(shí)，也嘗試了由尺規(guī)作圖出發(fā)，“引出”全等三角形概念和一個(gè)公理的教學(xué)嘗試，取得較為理想的教學(xué)效果.本文呈現(xiàn)這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，并跟進(jìn)闡釋教學(xué)立意，供研討.

一、全等三角形起始課教學(xué)設(shè)計(jì)

【教學(xué)目標(biāo)】在尺規(guī)作圖中學(xué)習(xí)全等三角形的基本概念、一個(gè)公理（“邊邊邊”）；理解并靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)（對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等）.

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】識(shí)別經(jīng)過(guò)“變換“之后的全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.

圖1

【教學(xué)流程】

作圖活動(dòng)（一） 用尺規(guī)“復(fù)制”角.

如圖1，作一個(gè)角等于∠AOB.

活動(dòng)設(shè)計(jì)：教師示范尺規(guī)作圖作出一個(gè)角等于已知角（如圖2），并利用透明紙（或裁剪下來(lái)）比對(duì)兩個(gè)角是否相等，說(shuō)清背后的原理，給出公理，兩個(gè)能完全重合的三角形稱之為全等三角形，揭示全等三角形的判定公理SSS，并可適時(shí)鏈接到作平行線的方法.同時(shí)定義全等三角形、符號(hào)表示、相關(guān)概念等.

圖2

作圖活動(dòng)（二） 用尺規(guī)“翻折”三角形.

如圖3，將三角形ABC翻折，右側(cè)為示意圖形.

圖3

活動(dòng)設(shè)計(jì)：教師示范如何將一個(gè)三角形翻折，學(xué)生模仿操作，并追問(wèn)，說(shuō)說(shuō)這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)，寫出全等三角形符號(hào)表示，指出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.

作圖活動(dòng)（三） 用尺規(guī)“旋轉(zhuǎn)”三角形.

如圖4，尺規(guī)作圖，將三角形ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到三角形A′BC′（右側(cè)為示意圖）.

圖4

活動(dòng)設(shè)計(jì)：教師先示范旋轉(zhuǎn)線段BA，將BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度到A′B的位置，分別以B、A′為圓心，BC、AC的長(zhǎng)為半徑作弧交于C′，則△A′BC′就可看成是△ABC旋轉(zhuǎn)而來(lái).追問(wèn)：能否證明此時(shí)兩個(gè)三角形是全等形？它們的對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊是哪些？并跟進(jìn)設(shè)計(jì)一問(wèn)：“求證：∠A′BA=∠C′BC.”

作圖活動(dòng)（四） 用尺規(guī)作出平行四邊形.

如圖5，以三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，再找一個(gè)點(diǎn)D，使點(diǎn)A、B、C、D圍成平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形為平行四邊形）.

圖5

活動(dòng)設(shè)計(jì)：教師示范用圓規(guī)、直尺將一個(gè)三角形補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形，有三種可能的作法，先后呈現(xiàn)兩種，追問(wèn)學(xué)生是否還有不同的作法，引出經(jīng)典問(wèn)題：已知3個(gè)點(diǎn)探究第4個(gè)的位置，使這4個(gè)點(diǎn)能形成平行四邊形.重點(diǎn)還在辨析這類四邊形的由對(duì)角線分割之后的全等三角形及對(duì)應(yīng)關(guān)系.可以針對(duì)其中一個(gè)平行四邊形，提出證明題的要求，比如求證AB∥CD，或者提出問(wèn)題“分析此時(shí)AB、CD之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由”.

課堂小結(jié)與解題訓(xùn)練：

1.如圖6，對(duì)照下列圖形，寫出兩個(gè)三角形全等的符號(hào)表達(dá)式，并指出對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角.

圖6

2.如圖7，下面是利用尺規(guī)作∠AOB的角平分線OC的作法：

①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)D、E；

圖7

③畫射線OC，射線OC就是∠AOB的角平分線.

在上述用尺規(guī)作角平分線的過(guò)程中，請(qǐng)利用全等三角形的知識(shí)，解釋OC為什么是∠AOB的角平分線.

設(shè)計(jì)意圖：第1題是在不同的全等三角形圖形中，引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別全等三角形，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，為后續(xù)全面、系統(tǒng)學(xué)習(xí)全等三角形的判定作好準(zhǔn)備；第2題是訓(xùn)練角平分線的尺規(guī)作圖與作圖依據(jù).

附：板書設(shè)計(jì)

二、教學(xué)思考

1.深刻理解全等三角形在幾何中的地位，從“教教材”走向“用教材教”.

由于全等三角形在平面幾何中的特殊地位，后續(xù)很多幾何問(wèn)題都需要建立在全等三角形的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究，它是溝通邊、角關(guān)系的重要工具，特殊三角形的性質(zhì)、勾股定理的證明、平行四邊形的判定與性質(zhì)的探究、圓的學(xué)習(xí)等，都需要全等三角形的支持.而全等三角形的判定公理有多條，屬于作圖驗(yàn)證的公理.基于上述認(rèn)識(shí)，我們決定“學(xué)材再建構(gòu)”（李庾南老師新近提出的“三學(xué)”之一），即打破教材順序，從尺規(guī)作圖說(shuō)起，先通過(guò)作圖驗(yàn)證兩個(gè)三角形重合的關(guān)鍵，定義全等三角形，給出“邊邊邊”公理，真正踐行從“教教材”走向“用教材教”（鐘啟泉語(yǔ)）.

2.基于尺規(guī)作圖與全等三角形的關(guān)系，選定尺規(guī)作圖驅(qū)動(dòng)教學(xué)進(jìn)程.

尺規(guī)作圖博大精深，現(xiàn)行初中幾何教學(xué)對(duì)尺規(guī)作圖的要求整體不高，各級(jí)考試（特別是中考）往往也是考查簡(jiǎn)單的幾種尺規(guī)作圖，不少地區(qū)對(duì)這個(gè)考點(diǎn)甚至多年不考，這就影響了平時(shí)的幾何教學(xué)，誤以為這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是可以淡化甚至忽略的.從上面的教學(xué)設(shè)計(jì)來(lái)看，各個(gè)環(huán)節(jié)都是在尺規(guī)作圖的驅(qū)動(dòng)下向前推進(jìn)，每種尺規(guī)作圖之后需要追問(wèn)學(xué)生作圖依據(jù)，組織推理語(yǔ)句、展示交流他們的理解.因?yàn)閷?duì)于尺規(guī)作圖的一些作法來(lái)說(shuō)，更重要的是作圖之后的推理證明，幾何的理性思維也在于此.

3.注意平衡尺規(guī)作圖與全等三角形新知之間的教學(xué)用時(shí).

由于這是全等三角形起始課，而且各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都是由尺規(guī)作圖驅(qū)動(dòng)著前進(jìn)，會(huì)給學(xué)生或聽課老師一種錯(cuò)覺，誤以為這是在專題學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖，故教師需要十分注意控制尺規(guī)作圖作法上的時(shí)間，在歸納全等三角形新知、訓(xùn)練全等三角形符號(hào)表達(dá)、推理語(yǔ)句組織的教學(xué)活動(dòng)上下足功夫，而不是整節(jié)課都是訓(xùn)練學(xué)生作圖、糾正作法等偏離教學(xué)重點(diǎn)的教學(xué)行為.

三、寫在后面

全等三角形在后續(xù)幾何學(xué)習(xí)中價(jià)值巨大，奠基作用明顯，缺它不可，同時(shí)全等三角形也與諸多數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系緊密（如本課的“驅(qū)動(dòng)問(wèn)題”——尺規(guī)作圖）.故對(duì)全等三角形起始課的教學(xué)研究也是熱點(diǎn)課題，本文也是本著“同課異構(gòu)”、殊途同歸的教學(xué)追求，開展一次教學(xué)實(shí)踐，有一定的教學(xué)可行性，但也不一定適合所有教師和學(xué)生，歡迎大家批評(píng)指正.

1.仇錦華.從數(shù)學(xué)整體觀看單元教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（11）.

2.劉東升.我們需要怎樣的“問(wèn)題”驅(qū)動(dòng)課堂——由美國(guó)莎維女士執(zhí)教的函數(shù)圖像課說(shuō)起［J］.教育研究與評(píng)論（課堂觀察版），2016（11）.

3.顧為秀.從“標(biāo)準(zhǔn)”到“變式”，從封閉走向開放——以“全等三角形”起始課教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（12）.

4.周紅娟.從操作走向思考，從“參觀”走向“探索”——“等腰三角形的性質(zhì)（第1課時(shí)）”教學(xué)與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（7）.

5.鄭毓信.“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（7）.