☉廣東深圳市龍華區(qū)大浪實驗學校 王振鑫

☉廣東深圳市民治中學 余 濤

在發(fā)現(xiàn)式教學中培養(yǎng)數(shù)學發(fā)散思維

☉廣東深圳市龍華區(qū)大浪實驗學校 王振鑫

☉廣東深圳市民治中學 余 濤

當前，數(shù)學教學改革和發(fā)展的總趨勢就是發(fā)展思維，培養(yǎng)能力.新課程改革就是要培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力.要達到這一要求，教師的教學就必須從優(yōu)化學生的思維品質(zhì)入手，把創(chuàng)新教育滲透到課堂教學中，激發(fā)和培養(yǎng)學生的思維品質(zhì).

中學階段，是思維最為活躍的階段之一.在中學階段，學生的求知欲最為強烈，并且理解能力和學習能力是最為活躍的，因此，對中學生進行發(fā)散思維能力的培養(yǎng)，從某種意義上來講，是最有成效的.數(shù)學作為一門應用最為廣泛、最能培養(yǎng)發(fā)散思維和問題解決能力的基礎課程，其在培養(yǎng)學生的思維能力上具有獨特的優(yōu)勢.因此，應當注重在中學數(shù)學教育中，將培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力、發(fā)散思維放在突出的位置上，以適應轉(zhuǎn)型時代社會發(fā)展的需要.

發(fā)現(xiàn)式教學是基于布魯納的發(fā)現(xiàn)學習而提出的，是指在教師的指導下，通過閱讀、觀察、實驗、思考、討論等方式，引導學生發(fā)現(xiàn)問題，研究問題，進而解決問題、總結(jié)規(guī)律，成為知識的發(fā)現(xiàn)者.發(fā)散思維最基本的特色是：從多方面、多思路去思考問題.發(fā)現(xiàn)式教學培養(yǎng)學生發(fā)散思維有利于提高學生學習質(zhì)量，有利于培養(yǎng)學生獨立研究的能力，更有利于鍛煉學生的思考能力.具體體現(xiàn)在以下幾個方面：

一、營造環(huán)境，培養(yǎng)興趣

在課堂上數(shù)學教師要善于用自己熾熱的數(shù)學情感去調(diào)動、激發(fā)學生對數(shù)學學習的美好情感，營造一個良好的學習環(huán)境.在教學中，注意“課引”的設計，盡量使學生在一開始上課就對本節(jié)課懷有深厚的興趣和好奇心.

案例1：在給初二學生第一次講授不等關系時可以這樣引入：阿凡提給巴依老爺放羊，羊越來越多，羊圈裝不下了，可是小氣的巴依老爺不愿多出做羊圈的柵欄，他讓阿凡提自己想辦法.阿凡提想出一個好辦法：他首先把羊圈由長方形改建成正方形，這樣就裝下了.過了一年羊圈又裝不下了，阿凡提又將正方形改建成圓形，又能把羊裝下了.人們都夸阿凡提聰明.同學們想知道阿凡提這樣做的根據(jù)嗎？

這樣就使本來枯燥的數(shù)學知識和我們的日常生活聯(lián)系起來了，而且以故事形式表現(xiàn)出來，調(diào)動了學生的興趣，活躍了課堂氣氛，使學生的思維處于一種興奮和開放的狀態(tài)，這樣容易培養(yǎng)其發(fā)散思維.

二、在課堂教學中應該適當給予學生思考的習慣與能力

在課堂上善于創(chuàng)設思維情景，引導學生積極思考，運用已學過的知識去解決新問題.其中組織課堂討論是一種使用較普遍的有效方法.這樣培養(yǎng)出來的學生敢于提問題、敢于批判、敢于質(zhì)疑、思維敏捷，不受教師講解的束縛，可為發(fā)散思維的培養(yǎng)創(chuàng)造良好的內(nèi)、外部環(huán)境.

案例2：已知在平面直角坐標系中的三點A（1，0）、B（-1，0）、C（0，2），請你構(gòu)造一些函數(shù)關系式或一些學過的圖形，使其圖像經(jīng)過A、B、C三點，并寫出函數(shù)關系式或圖形的名稱.

解析：我們的教學目的是希望學生閱讀題目后，能盡可能多地寫出滿足題設的函數(shù)關系式或圖形.如果學生最后能從下面的方面構(gòu)造函數(shù)關系式或?qū)懗鰣D形名稱，那么我們的教學目的就達到了.

初中學生通過已學的知識可以從以下方向入手：

生1：從一次函數(shù)和分段函數(shù)著手構(gòu)造.

生2：從二次函數(shù)著手構(gòu)造拋物線函數(shù)關系式.

生3：構(gòu)造等腰三角形.

生4：構(gòu)造菱形.

生5：構(gòu)造等腰梯形.

生5：構(gòu)造圓形.

生6：構(gòu)造圓錐體.

……

圖1

通過這樣的訓練，注重學生思維能力的培養(yǎng)，訓練創(chuàng)新思維.數(shù)學是思維的體操.因此，若能對數(shù)學教材巧安排，對問題妙引導，創(chuàng)設一個良好的思維情境，對學生的思維訓練是非常有益的.在教學中應打破“老師講，學生聽”的常規(guī)教學，變“傳授”為“探究”，充分暴露知識形成的過程，促使學生一開始就進入創(chuàng)新思維狀態(tài)中，以探索者的身份去發(fā)現(xiàn)問題、總結(jié)規(guī)律.這樣才能避免“死讀書，讀死書”的情況，使學生對所學的知識達到融會貫通，產(chǎn)生學習數(shù)學的喜悅情感，而不是讓學生處于痛苦不堪的題海戰(zhàn)術之中.

案例3：已知p+q+1＜0，求證：1位于方程x2+px+q=0的兩根之間.

分析：對于此題，若按常規(guī)思路，先用求根公式求出方程的兩根x1、x2，再求證結(jié)論，則將陷入困境，因此另覓新路.

證明：設y=x2+px+q，顯然拋物線的開口向上.令x=1，則y=p+q+1.由已知p+q+1＜0，則點（1，p+q+1）在x軸下方（如圖1）.

故原方程有兩根x1、x2，且1位于這兩根之間.

點評：這種解法通常稱為“圖像法”，當用常規(guī)方法不能解決問題時，應教授學生及時改變思路，另選突破口，切忌在原方法上徘徊.否則難以使思維發(fā)生質(zhì)的飛躍，也不利于創(chuàng)造性思維的培養(yǎng).

所以在學習數(shù)學的過程中，我們要著重訓練學生“一題多解”“一題多變”“一法多用”的能力，從而最終實現(xiàn)促使其發(fā)散思維的培養(yǎng)和訓練.

（一）一題多解.

指多角度考慮同一個問題，找出各方法之間的關系和優(yōu)劣.“一題多解”之所以有助于發(fā)散思維的培養(yǎng)，主要是因為它要求學生的思維活動要“多向”，不局限于單一角度，不受一種思路的束縛，為了尋求問題的解決，它要求尋找多樣化的解決方式，謀求多種可能.在這種情況下，學生往往會獨辟蹊徑，發(fā)現(xiàn)解決問題的新途徑.

案例4：如圖2，已知AB是⊙O的切線，切點為B，OA交⊙O于D，連接BD，BC⊥AO于點C，求證：∠1=∠2.

分析：利用條件（AB是⊙O的切線）的方法有多種，若要利用“弦切角定理”證明此題，就必須作出所對的圓周角，作法有如下三種.

圖3

證法1：如圖3，延長AO交⊙O于點E，連接BE、OB，則∠2=∠E，∠DBE=90°.

由∠OBD=∠BDO，∠1+∠OBD=90°，得∠1+∠BDE= 90°.又∠E+∠BDE=90°，所以∠1=∠E.

故∠1=∠2.

證法2：如圖4，延長BC交⊙O于點E，連接ED.

由弦切角定理，可得∠1=∠E.

由垂徑定理，可知∠2=∠E.

故∠1=∠2.

圖4

圖5

證法3：如圖5，連接BO并延長BO，交⊙O于點E，連接DE.

由弦切角定理，可得∠1=∠E=∠ODE.

由∠ODE+∠CDB=90°，∠2+∠CDB=90°，得∠ODE=∠2.

故∠1=∠2.

此題的三種證法，既有效地復習了“切線有關的性質(zhì)”——切線的性質(zhì)定理、弦切角定理、切線定理，又提高了學生應用切線性質(zhì)的能力，培養(yǎng)了學生思維的廣闊性和靈活性.同時，通過多種解法的比較，提煉出最佳解法，從而達到優(yōu)化學生解題思路的目的.

（二）一題多變.

通過題目的引申、變化、發(fā)散，提供問題的背景，提示問題間的邏輯關系.“一題多變”之所以有助于發(fā)散思維的培養(yǎng)，主要是因為它要求學生必須形成知識系統(tǒng)，對不同知識之間的聯(lián)系能通過自己以前所學的知識構(gòu)筑起聯(lián)系它們的橋梁.“一題多變”不僅培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維能力，也極大地激發(fā)了學生學習數(shù)學的積極性和濃厚的興趣.

“一題多變”的常用方法有：

1.變換命題的條件與結(jié)論；

2.保留條件，深化結(jié)論；

3.探討命題的推廣；

4.生根伸枝，圖形變換.

我們?nèi)匀灰园咐?中的題為例，再通過如下變形，更進一步提高整體學習關于圓的相關知識和定理.

案例5：該題可以作如下變化：

圖6

變式1：如圖6，已知AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D，求證：AC平分∠DAB.

變式2：如圖7，已知BC與⊙O相切于點B，CE垂直直徑AF于點E，交弦AB于D，求證：CD=CB.

圖7

圖8

變式3：如圖8，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD平分∠BAC，交⊙O于D，過D作⊙O的切線EF，求證：EF∥BC.

通過對同一個題目的不同變形，我們又得到不同的證明結(jié)果，同時每一個結(jié)果的證明方法又可以是多樣的，這樣避免了學生陷入題海之中，同時也讓學生發(fā)現(xiàn)了圓的各種相關知識和定理“萬變不離其宗”的特點，大大提高了學生學習的興趣.

（三）一法多用.

以一種方法處理相似或類似，甚至僅僅有部分條件相似的問題.“一法多用”可以使學生對所學過的知識的理解更加深刻，同樣能夠達到事半功倍的效果.

例如，我們在學習二元一次方程時，采取的求解方式就是聯(lián)立方程.這個方法可以廣泛地運用于求函數(shù)交點之中.

案例6：已知兩個一次函數(shù)的表達式分別是y=3x-4和y=-2x+3，求兩個函數(shù)的交點坐標.

分析：眾所周知，一次函數(shù)實際上和二元一次方程息息相關，求兩個一次函數(shù)的交點，其實就是求兩個二元一次方程的公共解，所以我們只需要把兩個函數(shù)聯(lián)立即可.

（1）求兩個函數(shù)的表達式；

（2）求直線與雙曲線的交點坐標和△AOC的面積.

分析：根據(jù)△AOB的面積求出k=-3.

根據(jù)二元一次方程組求解的方法，聯(lián)立兩個函數(shù)關系式求解即可.

案例8：已知在坐標平面內(nèi)有二次函數(shù)y=x2-2x和一次函數(shù)y=2x+2，求這兩個函數(shù)的交點坐標.

分析：求交點坐標，案例6和7已經(jīng)很明確地告訴我們，只需要將函數(shù)方程聯(lián)立起來，求方程組的解，由此可知：然后求解一元二次方程x2-4x-2=0，得到x1=2+ ■ 6，x2=2- ■6.

由上述三題我們發(fā)現(xiàn)“一法多用“實際上能夠讓學生在學習數(shù)學過程中找到問題的規(guī)律及解決問題的方法，從而擺脫死讀書、讀死書、題海戰(zhàn)術的桎梏.

三、在教學過程中恰當采取延遲評價的教學方法

這樣可以給學生創(chuàng)設一種暢所欲言、互相啟發(fā)的氛圍，使學生在有限的時間內(nèi)提出盡可能多的創(chuàng)造性設想，因而有助于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力.學生思維啟動的過程中別人的特別是老師的過早評價，往往會成為思維展開的抑制因素.正因為如此，我們在課堂上應當表現(xiàn)出極大的耐心，給學生充分的時間，讓他們馳騁聯(lián)想、各抒己見.在這種情況下，學生會有一種“安全感”“自由感”，從而無拘束、無顧慮地針對問題展開積極的思維活動和語言活動，起到相互啟發(fā)的作用.這對小學、中學的教育來說都是一樣的.

四、適當?shù)卦谡n堂上組織集體討論

教師是課程進行過程中的引路人和指南針.但是不能形成教師的話就是“圣旨”，有時候也應該在課堂上組織一些集體討論來培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維.

集體討論可分為2人小組、4人小組或全班討論.這樣的討論沒有教師的介入，有利于學生暢所欲言、集思廣益，從而引發(fā)創(chuàng)造性思維的產(chǎn)生.在集體討論中，學生的思維處于積極狀態(tài)，所以集體討論對思維能力的培養(yǎng)是有益的，對學生真正理解數(shù)學知識也是有益的.從表面上看，集體討論時似乎課堂秩序有點兒亂，但如果學生真正是在參與討論，甚至大聲爭論，那就是學生生動、活潑、主動學習的體現(xiàn)！

“業(yè)精于勤”.只要我們在教學中運用以上各種解題方法培養(yǎng)學生，讓學生去理解各知識點之間的聯(lián)系，觸類旁通，使學生的思維時常處于多向、發(fā)散、開放狀態(tài)，讓他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)問題，從而使他們的思維上升到一個新的領域，使我們的數(shù)學教育真真正正發(fā)生“質(zhì)”的變化，使數(shù)學能更好地為社會主義現(xiàn)代化服務，從而面向世界，面向未來！

1.羅增儒.數(shù)學解題學引論［M］.陜西：陜西師范大學出版社，2004.

2.羅增儒.中學數(shù)學課例分析［M］.陜西：陜西師范大學出版社，2001.

3.林崇德.教育的智慧寫給中小學教師［M］.北京：開明出版社，1999.

4.王憲生.黃崗兵法變式題陣［M］.西安：陜西師范大學出版社，2003.

5.劉家松等.素質(zhì)教育新教案（八年級下）［M］.北京：西苑出版社，2004.

6.馮大學，發(fā)現(xiàn)式教學法應用于新課標教材教學的實踐與反思，《數(shù)學教學通訊》2010年第4期.