☉江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學校 丁志國

并列問題遞進解：難題思路獲取的“暗示”
——以兩道?？季C合題為例

☉江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學校 丁志國

中考綜合題通常下設2～3問，從目前“流行”的命題趨勢來看，以并列式問題為多，即各個小問之間互相獨立，條件不能交叉混用，但是有些優(yōu)秀的試題雖然各個小問之間的條件不能混淆，它們背后的解法思路卻體現(xiàn)著并列式問題與遞進式求解，也就是當后一問較難試題的思路受阻時，要善于退回上一問，思考上一問解法的啟示，或上一問解題成果的擴大，這時往往“柳暗花明”，獲得思路的貫通.本文就最近解題教學期間收集到的一些優(yōu)秀?？碱}，講解這種解答策略，并跟進教學思考，供研討.

一、考題及思路突破

考題1：已知拋物線C：y=（x+2）［t（x+1）-（x+3）］，其中-7≤t≤-2，且無論t取任何符合條件的實數(shù)，點A、P都在拋物線C上.

（1）當t=-5時，求拋物線C的對稱軸；

（2）當-60≤n≤-30時，判斷點（1，n）是否在拋物線C上，并說明理由；

（3）如圖1，若點A在x軸上，過點A作線段AP的垂線交y軸于點B，交拋物線C于點D，當點D的縱坐標為時，求S△PAD的最小值.

圖1

圖2

思路講解：（1）把t=-5代入拋物線C的解析式中，整理得y=-6x2-20x-16，結合對稱軸方程，即得對稱軸為直線

（2）若（1，n）在拋物線上，將點（1，n）代入解析式，得n=6t-12.結合題干條件-7≤t≤-2，可以分析出-54≤n≤-24.比對另一個n的取值范圍-60≤n≤-30，只有在它們的公共部分“-54≤n≤-30”，點（1，n）在拋物線C上；而當-60≤n＜-54時，點（1，n）不在拋物線C上.這里解答時要注意分類討論.

（3）這道較難題的起點在于確認點A、P的坐標，信息在題干中，一直沒有使用（前兩問并沒有涉及這個信息，閑置一段時間后，容易忽略）.由點A在x軸上，拋物線C的解析式“y=（x+2）［t（x+1）-（x+3）］”的特點，容易看出可能是x+2=0，此時對應著A（-2，0），另一個點P的坐標稍難，讓我們把目光投向解析式中的“［t（x+1）-（x+3）］”，要使這個式子的值與t無關，則x=-1，即此時P（-1，-2）.

如圖2，過點P作PN⊥x軸于點N，可得PN=AO=2，∠PNA=∠AOB=90°.由PA⊥AB，得∠PAN+∠BAO=90°.又∠ABO+∠BAO=90°，所以∠PAN=∠ABO.于是△PAN≌△ABO.可得BO=1，再由勾股定理得

過點D作DM⊥x軸于點M，可得∠DMA=∠BOA=90°.又∠DAM=∠BAO，所以△DAM∽△BAO，得比例式.所以（注意，這里也可以根據(jù)銳角三角函數(shù)快速得出）所以由A（-2，0）、B（0，1），解讀出直線AB的解析式為1.當時，x=2m-1（.這里點D的坐標，也可以根據(jù)AM、MO的長演算得出）把點代入拋物線C的解析式，得

另解思考：確認點A、P、B的坐標之后，可寫出直線AB的解析式為將其與拋物線C的解析式聯(lián)立，得

回顧反思：這道試題第（1）問是送分題，但是第（2）問就需要較為扎實的運算、變形能力，且運算到n的取值范圍之后需要與另一個范圍比對、確認公共部分，并分類討論獲得解集.重要的是，第（2）問的解題思路將啟示第（3）問中關于m取值范圍的確定，成為解題過程中一個關鍵步驟.這種解題策略，我們可稱之為“并列式問題與遞進式求解”.以下我們再選取一道體現(xiàn)類似解答策略的幾何考題，進一步講解.

考題2：在△ABC中，D為BC邊上一點.

（1）如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，將△ABC沿著AD折疊，點C落在AB邊上.請用直尺和圓規(guī)作出點D（不寫作法，保留作圖痕跡）.

圖3

圖4

（2）如圖4，將△ABC沿著過點D的直線折疊，點C落在AB邊上的E處.

①若DE⊥AB，垂足為E，請用直尺和圓規(guī)作出點D（不寫作法，保留作圖痕跡）；

②若AB=4 ■ 2，BC=6，∠B=45°，求CD的取值范圍.

思路講解：第（1）問屬于基本作圖，理解題意后知道應該作出∠A的角平分線.

圖5

圖6

第（2）①問需要分析出考查意圖，可利用草圖分析，確認應該“轉向”第（1）問的基本圖形，構造出一個直角三角形A′BC，再作出∠BA′C的角平分線交BC于點D.

對于第（3）②問，先構思圖7.

圖7

圖8

作出AC的垂直平分線交BC于D點，結合已知線段的長及∠B是45°，可以確認CD=5，這也就是CD的最大值，此時C點的對稱點落在點A處；最小值比較復雜，一個易錯點是想象成點C與B互為對稱點，從而得到CD=3；這時如果“到此為止”，缺少對圖6的這種情形進行分析，則解答并不完善.讓我們把目光投向上一問中的圖6，可以確定，比較一下與3的大小，可知故6 ■ 2-6≤CD≤5.

二、關于綜合題的教學思考

1.深刻理解綜合題系列小問的關系，善于明辨“關聯(lián)”.

綜合題下設的系列小問通常都為并列式關系，但多數(shù)設計優(yōu)秀的并列問題之間都存在著一定意義上的關聯(lián).教師備課時，不僅追求解題思路的貫通、答案的獲取，還需要思考這些小問之間的關系有哪些，比如它們之間是否體現(xiàn)了從特殊到一般的成果擴大思想；是否屬于一般中探究特例的由大到小的研究風格；上一問的解題策略是否對后一問獲得思路具有啟示、暗示作用；等等.教者想清辨明，則可以在后續(xù)備課時融入教學環(huán)節(jié)中.

2.解題教學時針對“上一問”互動講評，即時鏈接“同類”.

綜合題解題教學時，對上一問較為基礎的習題有些初任教師常?！拜p輕滑過”，缺少對這些基礎問題的細致解讀、對話追問，沒有讓學生在這樣的教學對話過程中對這些基礎問題背后的思想方法、設元意圖、成果擴大提高認識、深刻理解，于是匆忙進入較難題的探究時，往往準備不足，解題思路或念頭的出現(xiàn)較為奇巧、生硬，學生感覺思路“若從天上來”，不自然，對數(shù)學難題破解的策略感悟不深.我們認為，針對上一問的互動講評要深入到命題者的意圖探究，并適當成果擴大，讓學生在這些追問對話中對前面的基礎問題達到深刻理解的程度，為迎難而上、挑戰(zhàn)難題作足準備、鋪平墊穩(wěn).

3.解題教學之后加強反思與變式跟進，注重解后“回顧”.

近年來，《中學數(shù)學（下）》不少優(yōu)秀解題教學課例都十分注意解后反思和變式跟進，這對我們的解題教學有很強的引領作用，筆者也深受教益，在日常教學中也注意變式跟進，有效反饋學生聽課效果.作為本文的最后，我們也針對考題1，給出“變式再練”：

變式再練：如圖1，已知拋物線C：y=（x+2）［t（x+1）-（x+3）］，其中-7≤t≤-2，且無論t取任何符合條件的實數(shù)，點A、P都在拋物線C上.

（1）若點（1，a）在拋物線C上，求a的取值范圍；

（2）點A在x軸上，過點A作線段AP的垂線交y軸于點B，交拋物線C于點D.

①求AP的長；

②求D點的坐標（用含t的式子表示）；

③分析S△PAD的最值（包括最大值與最小值）.

1.劉東升.并列式問題與遞進式求解——由一則解題教學案例說起［J］.中學數(shù)學教學參考（中），2012（8）.

2.嚴君華.特例引路以退為進，逆向思考深化理解——以一道幾何難題的思路突破為例［J］.中學數(shù)學（下），2017（2）.

3.季紅妹.解題教學的追求：關聯(lián)同類，感悟結構——從一道“網(wǎng)傳錯誤解答”說起［J］.中學數(shù)學（下），2017（2）.

4.付小飛.明辨并列與遞進，引導分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學思考［J］.中學數(shù)學（下），2016（7）.