☉浙江寧波市鎮(zhèn)海蛟川書院 楚秉晶

基于數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)初探
——以浙教版八年級下冊“6.1反比例函數(shù)”教學(xué)為例

☉浙江寧波市鎮(zhèn)海蛟川書院 楚秉晶

一、問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂組提出了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析.對于作為核心素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)抽象，鮑建生教授曾在《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中若干問題》一文中指出，其有以下四個方面的表現(xiàn)：形成數(shù)學(xué)概念和規(guī)則、形成數(shù)學(xué)命題與模型、形成數(shù)學(xué)方法與思想、形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.由此可見數(shù)學(xué)概念是最基本的抽象，它的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的重要環(huán)節(jié).如何讓學(xué)生經(jīng)歷概念的產(chǎn)生和發(fā)展過程，揭示概念的本質(zhì)與外延，一直困擾著教師.現(xiàn)以浙教版八年級下冊“6.1反比例函數(shù)”為例進(jìn)行探索，談?wù)勛约簩ε囵B(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力的一些體會.

二、教學(xué)過程簡錄

1.情境創(chuàng)設(shè)，孕育新知：選材“孕育生長”.

師：課余時間大家和爸爸、媽媽逛過菜市場吧？下面老師帶著你們到菜市場去逛一逛，我們邊逛邊思考下列問題.

問題1：說一說你們都喜歡吃什么菜.

問題2：10元錢分別能買每種蔬菜的質(zhì)量一樣嗎？為什么？

問題3：設(shè)你買的一種蔬菜單價為x，相應(yīng)的所能購買的質(zhì)量為y，則y與x滿足怎樣的關(guān)系式？

問題4：媽媽喜歡吃4.5元/斤的番茄，如果買n斤，所花錢數(shù)y應(yīng)如何表示？

問題5：媽媽買菜已經(jīng)用了25元，還想買8元/斤的魚a斤，則總的花費y與a的關(guān)系式如何表示？

問題6：媽媽買完菜準(zhǔn)備回家，如果菜市場離家1000米，則媽媽到家所用的時間t與平均速度v之間的關(guān)系式如何表示？

【設(shè)計意圖】本著數(shù)學(xué)來源于生活的理念，選擇學(xué)生所熟悉的在菜市場購買蔬菜的場景，提出問題串，讓學(xué)生感到親切、自然.應(yīng)用生活經(jīng)驗學(xué)生很容易解決這些問題，因此能最大限度地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生真正體會到“生活處處皆數(shù)學(xué)，生活處處有函數(shù)”.

2.歸納類比，形成概念：播種“萌生新芽”.

問題7：我們利用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述了上述幾個生活中的例子，請同學(xué)們觀察這4個表達(dá)式，思考下面問題：

（1）每個表達(dá)式中有幾個變量？

（2）這些變量之間有聯(lián)系嗎？能具體說一說它們之間的聯(lián)系嗎？

（3）研究變量之間的關(guān)系，我們通常用的是哪類數(shù)學(xué)模型？

（4）這里有你熟悉的函數(shù)嗎？

（5）你能給另外兩個函數(shù)起個名稱嗎？

【設(shè)計意圖】通過層層遞進(jìn)的問題串，使學(xué)生進(jìn)一步感受到函數(shù)是反映現(xiàn)實生活的一種有效模型，在原有函數(shù)知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深化對函數(shù)概念的理解，加強函數(shù)反映的是一種“對應(yīng)關(guān)系”的體會，并通過與一次函數(shù)、正比例函數(shù)的對比，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生對具體的反比例函數(shù)形成感性認(rèn)識.

問題8：請同學(xué)們回憶：我們研究一次函數(shù)是從哪幾方面進(jìn)行的？我們研究反比例函數(shù)應(yīng)該從哪些方面進(jìn)行呢？

問題9：觀察上述反比例函數(shù)解析式，有什么共同的特征？請同學(xué)們分組討論一下.

問題10：通過思考和歸納，我們得到了反比例函數(shù)解析式的公共特征.你能類比正比例函數(shù)的定義給反比例函數(shù)下一個定義嗎？

【設(shè)計意圖】研究任何一類函數(shù)的基本思想方法都是先研究概念，然后研究其圖像與性質(zhì)，最后利用函數(shù)來解決實際問題.上述問題串一方面起到了知識的導(dǎo)入作用；另一方面運用歸納、類比的思想向?qū)W生滲透了研究初等函數(shù)的基本方法，為今后研究其他函數(shù)指明了思維方向，使學(xué)生了解研究函數(shù)問題的“基本套路”，讓學(xué)生充分感受知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程.

3.挖掘內(nèi)涵，深化概念：探尋“生長外延”.

師：根據(jù)定義，我們知道反比例函數(shù)可以用y=k x（k為常數(shù)，k≠0）這種形式來表示，但有時它也會穿著漂亮的花衣服來騙人.請同學(xué)們用火眼金睛辨一辨.

問題11：（辨別）下列關(guān)系式中，y是x的反比例函數(shù)嗎？如果是，比例系數(shù)k是多少？

問題12：（變式練習(xí)）已知y=（m+2）x|m|-3是反比例函數(shù)，求m的值.

問題13：如何判別反比例函數(shù)？反比例函數(shù)的解析式有哪幾種不同的表達(dá)形式？

引導(dǎo)學(xué)生歸納y是x的反比例函數(shù)就是y與x成反比例，判斷是否為反比例函數(shù)的關(guān)鍵就是看兩個變量的乘積是否為一個非零常數(shù).根據(jù)上述辨析和變式，總結(jié)反比例函數(shù)的三種表達(dá)形式（如圖1）.

圖1

【設(shè)計意圖】在學(xué)生對“反比例函數(shù)概念”的認(rèn)識還不夠深入的情況下，引導(dǎo)學(xué)生抓住概念的本質(zhì)，通過讓學(xué)生辨別反比例函數(shù)解析式的各種不同表達(dá)形式來鞏固落實、深化概念.

4.實際運用，發(fā)展思維：見證“完全生長”.

問題14：反比例函數(shù)在生活中的應(yīng)用是非常廣泛的，你還能舉出反比例函數(shù)的其他實例嗎？

學(xué)生小組合作，交流討論.教師選取學(xué)生所舉實例中的某個進(jìn)行說明.例如：s、v、t三者之間的關(guān)系，當(dāng)s一定時，v是t的反比例函數(shù).

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生進(jìn)一步感受反比例函數(shù)是一類反映現(xiàn)實世界特定數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.學(xué)生利用已有的生活經(jīng)驗與剛剛形成的對反比例函數(shù)的認(rèn)識，尋找生活中的實際例子，既培養(yǎng)了學(xué)生的合作交流能力、語言表達(dá)能力，又為后續(xù)問題的提出作好鋪墊.

問題15：電壓為220V時，電阻y關(guān)于電流x的函數(shù)關(guān)系式為________.

師生互動（具體過程略）.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)歸納，得出反比例函數(shù)同一次函數(shù)一樣，也是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一種重要的數(shù)學(xué)模型.另外，同一個函數(shù)關(guān)系式可以表示生活中不同實際問題所具有的函數(shù)關(guān)系.

【設(shè)計意圖】通過舉例、說理、交流達(dá)到反比例函數(shù)概念的內(nèi)化、升華，感受現(xiàn)實生活中同一函數(shù)關(guān)系可以表示生活中不同的實際問題，滲透函數(shù)建模的數(shù)學(xué)思想.

5.綜合應(yīng)用，深化提高：品味“生長價值”.

問題17：如圖2，阻力為1000N，阻力臂長為5cm.設(shè)動力為yN，動力臂為xcm（圖中杠桿本身所受重力略去不計.杠桿平衡時：阻力×阻力臂=動力×動力臂）

圖2

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.這個函數(shù)是反比例函數(shù)嗎？如果是，請說出比例系數(shù).

（2）求當(dāng)x=50時，函數(shù)y的值，并說明這個值的實際意義；求當(dāng)x=100時，函數(shù)y的值，并說明這個值的實際意義；當(dāng)x=150時呢？當(dāng)x=200歸呢？

（3）利用y關(guān)于x的函數(shù)解析式，說明當(dāng)動力臂擴(kuò)大到原來的n（n＞1）倍時，所需動力將怎樣變化.

教師先讓學(xué)生自學(xué)，再進(jìn)行合作交流（具體過程略）

問題18：（合作交流）解決實際問題的基本過程是什么？

教師在學(xué)生充分發(fā)表自己見解的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納，給出了以下參考答案：①審題——問題中存在哪些量？哪些是常量？哪些是變量？②分析——變量與變量之間的變化關(guān)系是什么？③建?！鶕?jù)杠桿原理建立函數(shù)關(guān)系式；④解?！么肭笾捣ㄇ蠛瘮?shù)的值；⑤解答——用數(shù)學(xué)的解解答實際問題；⑥反思——問題的拓展.

【設(shè)計意圖】在應(yīng)用反比例函數(shù)解決實際問題活動中，用“反思”的方式回顧解題的基本過程，有助于學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識研究數(shù)量變化關(guān)系問題的思維模式和解決問題的方法，也有助于在研究過程中發(fā)展他們的智力、能力和個性.

6.學(xué)有所思，知識梳理：收獲“思想生長”.

教師在解題后反思的基礎(chǔ)上，呈現(xiàn)下列“問題清單”，要求學(xué)生在思考的基礎(chǔ)上匯報.

（1）什么叫作反比例函數(shù)？反比例函數(shù)的本質(zhì)特征是什么？學(xué)習(xí)反比例函數(shù)有何意義？

（2）反比例函數(shù)與正比例函數(shù)、一次函數(shù)分別有何區(qū)別與聯(lián)系？

（3）用反比例函數(shù)知識解決實際問題的基本過程是什么？

（4）你在認(rèn)識反比例函數(shù)的過程中，體會和運用了哪些思想方法？碰到了哪些困難？有何感觸？

教師在傾聽學(xué)生匯報交流的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生欣賞反比例函數(shù)的自述.

Hi！大家好，我是反比例函數(shù)，是函數(shù)大家族中的一員.我的本質(zhì)是變量與變量之間的變化關(guān)系.我是一個百變精靈，如果看到或者xy=k（k≠0）這樣的等式，那你要擦亮自己的眼睛，她們可都是我的變身哦！對于好朋友“常數(shù)k”，我一點也不介意它的正負(fù)，可惜就是與k=0無緣.并且x和y也都不能為0，估計這輩子、下輩子也都沒法跟0做好朋友了.生活中大量存在著我的身影，但在求x的取值范圍時，大家可要小心x的實際意義.要想認(rèn)識我，其實方法很簡單，你可以類比學(xué)一次函數(shù)的方式——抓住變量與變量之間的變化關(guān)系，遵循從特殊到一般、從具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律，采用運動的觀點和數(shù)形結(jié)合的思想.

【設(shè)計思路】在獨立思考和合作交流中，引導(dǎo)學(xué)生梳理本節(jié)課在知識和數(shù)學(xué)思想方法等方面的收獲，形成知識網(wǎng)絡(luò)，提升對數(shù)學(xué)思想方法的理性認(rèn)識.在總結(jié)的同時讓學(xué)生體驗收獲知識的快樂，培養(yǎng)敢于展示自我，敢說、敢問、自信的學(xué)習(xí)品質(zhì).

三、基于課例的幾點思考

數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實中數(shù)量關(guān)系和空間形實的本質(zhì)屬性在人腦中的反映，是數(shù)學(xué)知識體系中的基本元素，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心.數(shù)學(xué)概念是人們通過實踐，從數(shù)學(xué)研究對象的眾多屬性中抽象出其本質(zhì)屬性，經(jīng)高度概括而形成的.因此，數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，這是數(shù)學(xué)概念難教、難學(xué)的原因之一.特級教師吳增生老師在“數(shù)學(xué)抽象及其教學(xué)設(shè)計”的講座中指出，數(shù)學(xué)概念抽象具有以下步驟：分離與建構(gòu)—概括與普適化—定義與符號化—系統(tǒng)化.在概念教學(xué)中，教師必須要追溯概念本源，展現(xiàn)其形成過程，挖掘其內(nèi)涵和外延，才能真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.

1.“數(shù)學(xué)抽象”須著眼于概念的分離與建構(gòu).

分離與建構(gòu)要求通過對比、聯(lián)想和表征初步發(fā)現(xiàn)屬性，建構(gòu)起具有本質(zhì)特征的若干典型對象.概念的分離與建構(gòu)過程是對概念產(chǎn)生原因的解釋過程.不同的概念產(chǎn)生的背景不一樣，有的概念產(chǎn)生是為了滿足社會發(fā)展的需要；有的則是為了滿足知識發(fā)展的需要.因此在操作時，要揭示概念生成的背景，了解概念產(chǎn)生的必要性與合理性，讓學(xué)生經(jīng)歷對概念由感性到理性的認(rèn)識過程.本課例以學(xué)生感興趣的去菜市場買菜為背景，立足于“簡而不減”的思維層面，創(chuàng)設(shè)了有利于調(diào)動學(xué)生積極思維的問題情境，直擊學(xué)習(xí)的主題，使比較復(fù)雜的內(nèi)容變得簡單明了，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活也應(yīng)用于生活，同時為后續(xù)活動的定向展開作了必不可少的奠基.

2.“數(shù)學(xué)抽象”須著眼于概念的概括與普適化.

概括與普適化要求通過對研究對象的一般化概括確認(rèn)其共同屬性.數(shù)學(xué)抽象要以基于感知和操作的知覺經(jīng)驗為基礎(chǔ)，通過典型的實例引導(dǎo)學(xué)生對概念的屬性進(jìn)行分析、比較，充分討論、理解后歸納出共同屬性.這個過程一定要讓學(xué)生有充分的過程性體驗，讓學(xué)生以“發(fā)現(xiàn)者”角色經(jīng)歷概念的發(fā)現(xiàn)過程，輔助學(xué)生對知識進(jìn)行同化與順化，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知水平的發(fā)展.

本課例以學(xué)生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗為起點，為激發(fā)學(xué)生形成概念搭建了由淺入深的問題串，讓學(xué)生了解反比例函數(shù)與以前所學(xué)的一次函數(shù)的不同之處，通過分析歸納對具體的反比例函數(shù)表達(dá)式的基本特征有一個感性的認(rèn)識.

3.“數(shù)學(xué)抽象”須著眼于概念的定義與符號化.

定義與符號化要求定義對象，明確概念的內(nèi)涵，準(zhǔn)確表述概念.史寧中教授對數(shù)學(xué)抽象有很獨到、深刻的見解.他認(rèn)為抽象有兩個層次，一個是直觀描述，另一個是符號表達(dá).在給概念下定義的過程中，學(xué)生對概念的本質(zhì)屬性理解透徹后，需要進(jìn)行整理，一般用文字語言來闡述，但為了記憶與使用方便，數(shù)學(xué)概念還可以用簡約的符號語言進(jìn)行表示.文字語言重在對概念的內(nèi)涵進(jìn)行語言方面的闡述，而符號語言則體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡約美.

本課例通過先觀察、尋找?guī)讉€函數(shù)解析式的共同特點，再類比正比例函數(shù)的定義得到反比例函數(shù)的定義及符號表示，這種從特殊到一般，從具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律，為學(xué)生開啟了學(xué)習(xí)概念的模式，提升了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力.

4.“數(shù)學(xué)抽象”須著眼于概念的系統(tǒng)化.

系統(tǒng)化要求系統(tǒng)構(gòu)建概念體系，形成有序多級的數(shù)學(xué)系統(tǒng).概念教學(xué)的育人功能在于對概念認(rèn)識的系統(tǒng)提升過程中，通過自主探索、合作交流，促進(jìn)知識的同化與遷移，讓學(xué)生在探索中總結(jié)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律，歸納發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng).

本課例中，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生類比一次函數(shù)建構(gòu)反比例函數(shù)的研究內(nèi)容與思路，類比一次函數(shù)解析式的求法研究反比例函數(shù)解析式的求法.后續(xù)的教學(xué)則是分步實施研究方案的過程.通過探索，有效地發(fā)展了學(xué)生的思維內(nèi)力，既操練了研究“方法”，又修煉了思維層面的“道”（類比思想、數(shù)學(xué)建模思想）.

四、結(jié)束語

這里筆者只是粗略地勾畫了對于“數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)”教學(xué)設(shè)計的幾點思考.在平時的教學(xué)中，以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)設(shè)計，須著力創(chuàng)設(shè)有利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的教學(xué)情境，通過屬于學(xué)生主觀性的數(shù)學(xué)基本活動，啟發(fā)學(xué)生獨立思考、引領(lǐng)學(xué)生合作交流、引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)的本質(zhì).課堂研究沒有終點，永遠(yuǎn)行走在路上.希望這節(jié)課能拋磚引玉，讓我們的課堂教學(xué)內(nèi)容更加充實，形式更加豐富.

1.鮑建生.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中若干問題［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)（中），2014（4）.

2.王飛兵.例談中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本步驟［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教育（中），2014（3）.

3.黃玉華.跨界思維：打開初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一扇窗——以“一元二次方程”教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（6）.

4.方厚良.談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象與培養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（7）.