☉浙江寧波市鎮(zhèn)海蛟川書院 楚秉晶

基于數學抽象能力培養(yǎng)的數學概念教學初探
——以浙教版八年級下冊“6.1反比例函數”教學為例

☉浙江寧波市鎮(zhèn)海蛟川書院 楚秉晶

一、問題的提出

《普通高中數學課程標準》修訂組提出了六大數學核心素養(yǎng)，即數學抽象、數學推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.對于作為核心素養(yǎng)之一的數學抽象，鮑建生教授曾在《高中數學課程標準修訂中若干問題》一文中指出，其有以下四個方面的表現：形成數學概念和規(guī)則、形成數學命題與模型、形成數學方法與思想、形成數學結構與體系.由此可見數學概念是最基本的抽象，它的教學是培養(yǎng)學生抽象能力的重要環(huán)節(jié).如何讓學生經歷概念的產生和發(fā)展過程，揭示概念的本質與外延，一直困擾著教師.現以浙教版八年級下冊“6.1反比例函數”為例進行探索，談談自己對培養(yǎng)數學抽象能力的一些體會.

二、教學過程簡錄

1.情境創(chuàng)設，孕育新知：選材“孕育生長”.

師：課余時間大家和爸爸、媽媽逛過菜市場吧？下面老師帶著你們到菜市場去逛一逛，我們邊逛邊思考下列問題.

問題1：說一說你們都喜歡吃什么菜.

問題2：10元錢分別能買每種蔬菜的質量一樣嗎？為什么？

問題3：設你買的一種蔬菜單價為x，相應的所能購買的質量為y，則y與x滿足怎樣的關系式？

問題4：媽媽喜歡吃4.5元/斤的番茄，如果買n斤，所花錢數y應如何表示？

問題5：媽媽買菜已經用了25元，還想買8元/斤的魚a斤，則總的花費y與a的關系式如何表示？

問題6：媽媽買完菜準備回家，如果菜市場離家1000米，則媽媽到家所用的時間t與平均速度v之間的關系式如何表示？

【設計意圖】本著數學來源于生活的理念，選擇學生所熟悉的在菜市場購買蔬菜的場景，提出問題串，讓學生感到親切、自然.應用生活經驗學生很容易解決這些問題，因此能最大限度地激發(fā)學生的學習興趣，讓學生真正體會到“生活處處皆數學，生活處處有函數”.

2.歸納類比，形成概念：播種“萌生新芽”.

問題7：我們利用數學表達式描述了上述幾個生活中的例子，請同學們觀察這4個表達式，思考下面問題：

（1）每個表達式中有幾個變量？

（2）這些變量之間有聯系嗎？能具體說一說它們之間的聯系嗎？

（3）研究變量之間的關系，我們通常用的是哪類數學模型？

（4）這里有你熟悉的函數嗎？

（5）你能給另外兩個函數起個名稱嗎？

【設計意圖】通過層層遞進的問題串，使學生進一步感受到函數是反映現實生活的一種有效模型，在原有函數知識的基礎上，進一步深化對函數概念的理解，加強函數反映的是一種“對應關系”的體會，并通過與一次函數、正比例函數的對比，使學生產生認知沖突，引導學生對具體的反比例函數形成感性認識.

問題8：請同學們回憶：我們研究一次函數是從哪幾方面進行的？我們研究反比例函數應該從哪些方面進行呢？

問題9：觀察上述反比例函數解析式，有什么共同的特征？請同學們分組討論一下.

問題10：通過思考和歸納，我們得到了反比例函數解析式的公共特征.你能類比正比例函數的定義給反比例函數下一個定義嗎？

【設計意圖】研究任何一類函數的基本思想方法都是先研究概念，然后研究其圖像與性質，最后利用函數來解決實際問題.上述問題串一方面起到了知識的導入作用；另一方面運用歸納、類比的思想向學生滲透了研究初等函數的基本方法，為今后研究其他函數指明了思維方向，使學生了解研究函數問題的“基本套路”，讓學生充分感受知識的產生和發(fā)展過程.

3.挖掘內涵，深化概念：探尋“生長外延”.

師：根據定義，我們知道反比例函數可以用y=k x（k為常數，k≠0）這種形式來表示，但有時它也會穿著漂亮的花衣服來騙人.請同學們用火眼金睛辨一辨.

問題11：（辨別）下列關系式中，y是x的反比例函數嗎？如果是，比例系數k是多少？

問題12：（變式練習）已知y=（m+2）x|m|-3是反比例函數，求m的值.

問題13：如何判別反比例函數？反比例函數的解析式有哪幾種不同的表達形式？

引導學生歸納y是x的反比例函數就是y與x成反比例，判斷是否為反比例函數的關鍵就是看兩個變量的乘積是否為一個非零常數.根據上述辨析和變式，總結反比例函數的三種表達形式（如圖1）.

圖1

【設計意圖】在學生對“反比例函數概念”的認識還不夠深入的情況下，引導學生抓住概念的本質，通過讓學生辨別反比例函數解析式的各種不同表達形式來鞏固落實、深化概念.

4.實際運用，發(fā)展思維：見證“完全生長”.

問題14：反比例函數在生活中的應用是非常廣泛的，你還能舉出反比例函數的其他實例嗎？

學生小組合作，交流討論.教師選取學生所舉實例中的某個進行說明.例如：s、v、t三者之間的關系，當s一定時，v是t的反比例函數.

【設計意圖】讓學生進一步感受反比例函數是一類反映現實世界特定數量關系的數學模型.學生利用已有的生活經驗與剛剛形成的對反比例函數的認識，尋找生活中的實際例子，既培養(yǎng)了學生的合作交流能力、語言表達能力，又為后續(xù)問題的提出作好鋪墊.

問題15：電壓為220V時，電阻y關于電流x的函數關系式為________.

師生互動（具體過程略）.教師引導學生進行總結歸納，得出反比例函數同一次函數一樣，也是刻畫現實世界中數量關系的一種重要的數學模型.另外，同一個函數關系式可以表示生活中不同實際問題所具有的函數關系.

【設計意圖】通過舉例、說理、交流達到反比例函數概念的內化、升華，感受現實生活中同一函數關系可以表示生活中不同的實際問題，滲透函數建模的數學思想.

5.綜合應用，深化提高：品味“生長價值”.

問題17：如圖2，阻力為1000N，阻力臂長為5cm.設動力為yN，動力臂為xcm（圖中杠桿本身所受重力略去不計.杠桿平衡時：阻力×阻力臂=動力×動力臂）

圖2

（1）求y關于x的函數解析式.這個函數是反比例函數嗎？如果是，請說出比例系數.

（2）求當x=50時，函數y的值，并說明這個值的實際意義；求當x=100時，函數y的值，并說明這個值的實際意義；當x=150時呢？當x=200歸呢？

（3）利用y關于x的函數解析式，說明當動力臂擴大到原來的n（n＞1）倍時，所需動力將怎樣變化.

教師先讓學生自學，再進行合作交流（具體過程略）

問題18：（合作交流）解決實際問題的基本過程是什么？

教師在學生充分發(fā)表自己見解的基礎上進行歸納，給出了以下參考答案：①審題——問題中存在哪些量？哪些是常量？哪些是變量？②分析——變量與變量之間的變化關系是什么？③建模——根據杠桿原理建立函數關系式；④解模——用代入求值法求函數的值；⑤解答——用數學的解解答實際問題；⑥反思——問題的拓展.

【設計意圖】在應用反比例函數解決實際問題活動中，用“反思”的方式回顧解題的基本過程，有助于學生進一步認識研究數量變化關系問題的思維模式和解決問題的方法，也有助于在研究過程中發(fā)展他們的智力、能力和個性.

6.學有所思，知識梳理：收獲“思想生長”.

教師在解題后反思的基礎上，呈現下列“問題清單”，要求學生在思考的基礎上匯報.

（1）什么叫作反比例函數？反比例函數的本質特征是什么？學習反比例函數有何意義？

（2）反比例函數與正比例函數、一次函數分別有何區(qū)別與聯系？

（3）用反比例函數知識解決實際問題的基本過程是什么？

（4）你在認識反比例函數的過程中，體會和運用了哪些思想方法？碰到了哪些困難？有何感觸？

教師在傾聽學生匯報交流的基礎上，讓學生欣賞反比例函數的自述.

Hi！大家好，我是反比例函數，是函數大家族中的一員.我的本質是變量與變量之間的變化關系.我是一個百變精靈，如果看到或者xy=k（k≠0）這樣的等式，那你要擦亮自己的眼睛，她們可都是我的變身哦！對于好朋友“常數k”，我一點也不介意它的正負，可惜就是與k=0無緣.并且x和y也都不能為0，估計這輩子、下輩子也都沒法跟0做好朋友了.生活中大量存在著我的身影，但在求x的取值范圍時，大家可要小心x的實際意義.要想認識我，其實方法很簡單，你可以類比學一次函數的方式——抓住變量與變量之間的變化關系，遵循從特殊到一般、從具體到抽象的認知規(guī)律，采用運動的觀點和數形結合的思想.

【設計思路】在獨立思考和合作交流中，引導學生梳理本節(jié)課在知識和數學思想方法等方面的收獲，形成知識網絡，提升對數學思想方法的理性認識.在總結的同時讓學生體驗收獲知識的快樂，培養(yǎng)敢于展示自我，敢說、敢問、自信的學習品質.

三、基于課例的幾點思考

數學概念是客觀現實中數量關系和空間形實的本質屬性在人腦中的反映，是數學知識體系中的基本元素，也是數學教學的核心.數學概念是人們通過實踐，從數學研究對象的眾多屬性中抽象出其本質屬性，經高度概括而形成的.因此，數學概念具有高度的抽象性，這是數學概念難教、難學的原因之一.特級教師吳增生老師在“數學抽象及其教學設計”的講座中指出，數學概念抽象具有以下步驟：分離與建構—概括與普適化—定義與符號化—系統(tǒng)化.在概念教學中，教師必須要追溯概念本源，展現其形成過程，挖掘其內涵和外延，才能真正培養(yǎng)學生的數學抽象能力.

1.“數學抽象”須著眼于概念的分離與建構.

分離與建構要求通過對比、聯想和表征初步發(fā)現屬性，建構起具有本質特征的若干典型對象.概念的分離與建構過程是對概念產生原因的解釋過程.不同的概念產生的背景不一樣，有的概念產生是為了滿足社會發(fā)展的需要；有的則是為了滿足知識發(fā)展的需要.因此在操作時，要揭示概念生成的背景，了解概念產生的必要性與合理性，讓學生經歷對概念由感性到理性的認識過程.本課例以學生感興趣的去菜市場買菜為背景，立足于“簡而不減”的思維層面，創(chuàng)設了有利于調動學生積極思維的問題情境，直擊學習的主題，使比較復雜的內容變得簡單明了，讓學生體會到數學來源于生活也應用于生活，同時為后續(xù)活動的定向展開作了必不可少的奠基.

2.“數學抽象”須著眼于概念的概括與普適化.

概括與普適化要求通過對研究對象的一般化概括確認其共同屬性.數學抽象要以基于感知和操作的知覺經驗為基礎，通過典型的實例引導學生對概念的屬性進行分析、比較，充分討論、理解后歸納出共同屬性.這個過程一定要讓學生有充分的過程性體驗，讓學生以“發(fā)現者”角色經歷概念的發(fā)現過程，輔助學生對知識進行同化與順化，促進學生認知水平的發(fā)展.

本課例以學生現有的知識經驗為起點，為激發(fā)學生形成概念搭建了由淺入深的問題串，讓學生了解反比例函數與以前所學的一次函數的不同之處，通過分析歸納對具體的反比例函數表達式的基本特征有一個感性的認識.

3.“數學抽象”須著眼于概念的定義與符號化.

定義與符號化要求定義對象，明確概念的內涵，準確表述概念.史寧中教授對數學抽象有很獨到、深刻的見解.他認為抽象有兩個層次，一個是直觀描述，另一個是符號表達.在給概念下定義的過程中，學生對概念的本質屬性理解透徹后，需要進行整理，一般用文字語言來闡述，但為了記憶與使用方便，數學概念還可以用簡約的符號語言進行表示.文字語言重在對概念的內涵進行語言方面的闡述，而符號語言則體現數學的簡約美.

本課例通過先觀察、尋找?guī)讉€函數解析式的共同特點，再類比正比例函數的定義得到反比例函數的定義及符號表示，這種從特殊到一般，從具體到抽象的認知規(guī)律，為學生開啟了學習概念的模式，提升了學生數學抽象的能力.

4.“數學抽象”須著眼于概念的系統(tǒng)化.

系統(tǒng)化要求系統(tǒng)構建概念體系，形成有序多級的數學系統(tǒng).概念教學的育人功能在于對概念認識的系統(tǒng)提升過程中，通過自主探索、合作交流，促進知識的同化與遷移，讓學生在探索中總結數學學習的規(guī)律，歸納發(fā)現數學知識的方法，領悟數學學習過程中所體現的數學思想，有利于學生數學思維能力的培養(yǎng).

本課例中，在教師的引導下，學生類比一次函數建構反比例函數的研究內容與思路，類比一次函數解析式的求法研究反比例函數解析式的求法.后續(xù)的教學則是分步實施研究方案的過程.通過探索，有效地發(fā)展了學生的思維內力，既操練了研究“方法”，又修煉了思維層面的“道”（類比思想、數學建模思想）.

四、結束語

這里筆者只是粗略地勾畫了對于“數學抽象能力培養(yǎng)”教學設計的幾點思考.在平時的教學中，以數學核心素養(yǎng)為導向的教學設計，須著力創(chuàng)設有利于發(fā)展學生數學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的教學情境，通過屬于學生主觀性的數學基本活動，啟發(fā)學生獨立思考、引領學生合作交流、引導學生把握數學的本質.課堂研究沒有終點，永遠行走在路上.希望這節(jié)課能拋磚引玉，讓我們的課堂教學內容更加充實，形式更加豐富.

1.鮑建生.高中數學課程標準修訂中若干問題［J］.數學教學（中），2014（4）.

2.王飛兵.例談中學數學概念教學的基本步驟［J］.中學數學教育（中），2014（3）.

3.黃玉華.跨界思維：打開初中數學概念教學的一扇窗——以“一元二次方程”教學為例［J］.中學數學（下），2016（6）.

4.方厚良.談數學核心素養(yǎng)之數學抽象與培養(yǎng)［J］.中學數學（上），2016（7）.