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        學(xué)科教學(xué)知識視角下的《導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用》復(fù)習(xí)課教學(xué)

        2017-06-20 02:13:34北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)張燕勤符谷雨
        衛(wèi)星電視與寬帶多媒體 2017年10期
        關(guān)鍵詞:學(xué)科知識零點圖象

        北京市懷柔區(qū)第一中學(xué) 李 悅 張燕勤 符谷雨

        一、問題的提出

        學(xué)科教學(xué)知識(Pedagogical Content Knowledge)首先由舒爾曼在1986年提出,簡稱PCK,他認(rèn)為PCK是教師在面對具體的學(xué)科時,如何針對不同學(xué)生的不同興趣以及能力,將學(xué)科知識進(jìn)行合理組織、有效調(diào)整與充分呈現(xiàn),從而達(dá)到有效的教學(xué)目的的知識。這種知識既是一種區(qū)分教師與學(xué)科專家的專門知識,也是一種可教性的學(xué)科知識[],屬于學(xué)科知識中的一種具體有效的形式。

        二、教學(xué)設(shè)計總體思路

        揭示函數(shù)單調(diào)性質(zhì)的關(guān)鍵是導(dǎo)函數(shù)符號的確定或是直接利用導(dǎo)函數(shù)的零點進(jìn)行判斷,而導(dǎo)函數(shù)的符號又與導(dǎo)函數(shù)的零點密切相關(guān)。本節(jié)課是一節(jié)高三第二輪的復(fù)習(xí)課,學(xué)生已經(jīng)掌握了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法,也積累了這類問題的解題經(jīng)驗。在研究過程的各個階段中存在的問題有:求導(dǎo)函數(shù)出現(xiàn)錯誤、不能判斷導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值情況、不能處理導(dǎo)函數(shù)有零點但不可解的情況等。為此,我們從導(dǎo)函數(shù)無零點、導(dǎo)函數(shù)有零點且可解、導(dǎo)函數(shù)有零點但不可解三個方面分別選取組織例題,對導(dǎo)函數(shù)零點的不同情形的處理辦法做了分析梳理。根據(jù)學(xué)科知識內(nèi)容和學(xué)生的掌握情況,我們選擇和組織了以下內(nèi)容材料,用于兩課時的課堂教學(xué)。

        例1,判斷下列函數(shù)的單調(diào)性

        例2,判斷函數(shù)的單調(diào)性

        變式:設(shè)a為實數(shù),求證:當(dāng)且x>0時

        例4,證明函數(shù):存在最小值.

        上述內(nèi)容安排了兩課時的教學(xué)時間,梳理導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的相關(guān)知識,讓學(xué)生在分析解決較為復(fù)雜函數(shù)的問題中,進(jìn)一步認(rèn)識和體會導(dǎo)數(shù)用于研究函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)內(nèi)容和重要作用。第一課時是針對導(dǎo)函數(shù)無零點的問題展開教學(xué)討論,第二課時是針對導(dǎo)函數(shù)有零點的問題展開教學(xué)討論。下文我們從學(xué)科教學(xué)知識的視角進(jìn)行課堂觀察與分析,限于篇幅,這里僅介紹第一課時的教學(xué)過程,以實錄的形式呈現(xiàn)。

        三、課堂教學(xué)片段:不能直接判斷導(dǎo)函數(shù)符號的樣例的討論

        師:來看 例2。我找一位同學(xué)上來做。(學(xué)生做題,教師巡視)

        師:好,我們來看一看生8做的情況。

        原函數(shù)定義域為R,求出的導(dǎo)函數(shù)有問題嗎?

        生眾:沒有。

        師:然后生8畫了個圖。生8你來解釋一下你是怎么想的。

        生8:就是要看導(dǎo)函數(shù)符號,我把它分成兩個,一個是ex和x…

        師:為什么要分成兩個?

        生8:因為我發(fā)現(xiàn)單從導(dǎo)函數(shù),看不出來它的正負(fù)。

        師:那你有沒有解方程找零點呢?

        生8:我解不出來。

        師:為什么解不出來?

        生8:因為求值不好使了。

        師:實際上是因為它們是兩個不同類型的函數(shù),目前我們還解決不了,所以你想到了什么?

        生8:畫圖。

        師:好,因為它(指)解不了所以畫圖。那你畫圖的目的是把它轉(zhuǎn)化為什么問題?

        生8:圖象問題。

        師:圖象。是想看什么呢?

        生8:交點、正負(fù)。

        師:看它有沒有交點,判斷一下正負(fù)。好,大家看這個圖象,看他畫的對不對?

        生9:我沒畫圖象。

        師:好,讓他說完你再說,行嗎?這圖像大家說他畫的對不對?

        師生眾:對。

        師:實際上我們可以把圖象畫的標(biāo)準(zhǔn)點,指數(shù)函數(shù)過(0,1),還過(1,e);而正比例函數(shù)過的是(1,1)。我們這邊(指x軸負(fù)半平面)還有什么?和(-1,-1)。我們還可以找到(2,e2)。顯然它(指函數(shù)ex的圖像)在它(指函數(shù)x的圖象)的上方。之后這個函數(shù)我們可以觀察到它增長非常的快,我們管他叫什么函數(shù)?

        師生眾:爆炸函數(shù)。

        師:對,它增長得非常的快。而正比例函數(shù)是一直這樣勻速增長,所以它們的圖象應(yīng)該是ex始終在y=x的上方,對嗎?

        生8:對。

        師:很好,請坐。有不同意見嗎?生9你說說。

        生9:圖象不能用于證明。

        師:圖象不能用于“由圖可知”這。好,非常不錯?!皥D象不能用于嚴(yán)格證明”,大家同意嗎?

        眾生:同意。

        師:對,圖象只是我們的一個輔助工具。有的圖象,當(dāng)然我們能看到它們之間的關(guān)系;而有的圖象,可能會導(dǎo)致你看似可能沒有交點,但實際上是有交點的,對吧?因此,它只能作為一種輔助的工具直觀感受。那么我們要想說理就需要用代數(shù)來證明,就所謂的“算”。好,生9請繼續(xù)。

        生9:說明

        師:同意嗎?

        眾生:同意。

        師:好,這是我們的目標(biāo)?,F(xiàn)在怎么把這事說清楚了?

        生眾:再求一遍、再導(dǎo)一遍……

        師:把它看做新函數(shù)再導(dǎo)一遍。再導(dǎo)的目的是什么?

        生眾:求它的最值。

        師:我們的目標(biāo)是證明對吧?所以我們再導(dǎo)一遍目標(biāo)是要說明

        師生眾:最小值大于零。

        師:同意嗎?

        生眾:同意。

        師:好。接下來我們來把它完善。(選生10上黑板完成)

        四、案例分析

        課程標(biāo)準(zhǔn)對導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的要求是,結(jié)合實例,借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在解決具體問題的過程中,將研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法與初等方法做比較,以體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中中的一般性和有效性。我們認(rèn)為,雖然是一個復(fù)習(xí)課內(nèi)容,但是作為導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性這一特定課題的一部分,突出其最有教學(xué)價值的知識,即其中的數(shù)學(xué)思想和思維價值,仍應(yīng)是教學(xué)目標(biāo)的最基本定位。

        片段1中,安排了復(fù)習(xí)回顧利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本步驟,并且引導(dǎo)學(xué)生對導(dǎo)函數(shù)零點的的不同情況提出有零點和無零點的簡單分類。讓學(xué)生通過解決問題來強(qiáng)化利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題的方式與方法。通過總結(jié)研究的一般步驟,為解決函數(shù)單調(diào)性問題提供了定向。例1選擇四個函數(shù)作為判斷單調(diào)性的任務(wù),它們覆蓋了初高中學(xué)習(xí)過的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù),對適當(dāng)組合之后得到的這四個函數(shù)的求導(dǎo)任務(wù),需要用到上述函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則;要判斷所求導(dǎo)函數(shù)的符號,需要對導(dǎo)函數(shù)解析式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危ㄈ缗浞剑貏e需要注意函數(shù)的定義域。從一些簡單函數(shù)的練習(xí)入手,讓學(xué)生在整個教學(xué)過程中始終都能夠體會到導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的工具性作用。關(guān)于例2,學(xué)生很容易求出它的導(dǎo)函數(shù),但是既不能直接判斷導(dǎo)函數(shù)的符號,也不會求其導(dǎo)函數(shù)的零點。

        上述內(nèi)容的選擇和布局,是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用這一特定課題的需要,能夠體現(xiàn)相關(guān)的概念體系和邏輯脈絡(luò),兼顧了導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識、研究函數(shù)性質(zhì)的基本技能、以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法。

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