北京市懷柔區(qū)第一中學(xué) 李 悅 張燕勤 符谷雨

一、問題的提出

學(xué)科教學(xué)知識（Pedagogical Content Knowledge）首先由舒爾曼在1986年提出，簡稱PCK，他認(rèn)為PCK是教師在面對具體的學(xué)科時，如何針對不同學(xué)生的不同興趣以及能力，將學(xué)科知識進(jìn)行合理組織、有效調(diào)整與充分呈現(xiàn)，從而達(dá)到有效的教學(xué)目的的知識。這種知識既是一種區(qū)分教師與學(xué)科專家的專門知識，也是一種可教性的學(xué)科知識[],屬于學(xué)科知識中的一種具體有效的形式。

二、教學(xué)設(shè)計總體思路

揭示函數(shù)單調(diào)性質(zhì)的關(guān)鍵是導(dǎo)函數(shù)符號的確定或是直接利用導(dǎo)函數(shù)的零點進(jìn)行判斷，而導(dǎo)函數(shù)的符號又與導(dǎo)函數(shù)的零點密切相關(guān)。本節(jié)課是一節(jié)高三第二輪的復(fù)習(xí)課，學(xué)生已經(jīng)掌握了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法，也積累了這類問題的解題經(jīng)驗。在研究過程的各個階段中存在的問題有：求導(dǎo)函數(shù)出現(xiàn)錯誤、不能判斷導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值情況、不能處理導(dǎo)函數(shù)有零點但不可解的情況等。為此，我們從導(dǎo)函數(shù)無零點、導(dǎo)函數(shù)有零點且可解、導(dǎo)函數(shù)有零點但不可解三個方面分別選取組織例題，對導(dǎo)函數(shù)零點的不同情形的處理辦法做了分析梳理。根據(jù)學(xué)科知識內(nèi)容和學(xué)生的掌握情況，我們選擇和組織了以下內(nèi)容材料，用于兩課時的課堂教學(xué)。

例1，判斷下列函數(shù)的單調(diào)性

例2，判斷函數(shù)的單調(diào)性

變式：設(shè)a為實數(shù)，求證：當(dāng)且x＞0時

例4，證明函數(shù)：存在最小值.

上述內(nèi)容安排了兩課時的教學(xué)時間，梳理導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的相關(guān)知識，讓學(xué)生在分析解決較為復(fù)雜函數(shù)的問題中，進(jìn)一步認(rèn)識和體會導(dǎo)數(shù)用于研究函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)內(nèi)容和重要作用。第一課時是針對導(dǎo)函數(shù)無零點的問題展開教學(xué)討論，第二課時是針對導(dǎo)函數(shù)有零點的問題展開教學(xué)討論。下文我們從學(xué)科教學(xué)知識的視角進(jìn)行課堂觀察與分析，限于篇幅，這里僅介紹第一課時的教學(xué)過程，以實錄的形式呈現(xiàn)。

三、課堂教學(xué)片段:不能直接判斷導(dǎo)函數(shù)符號的樣例的討論

師：來看 例2。我找一位同學(xué)上來做。（學(xué)生做題，教師巡視）

師：好，我們來看一看生8做的情況。

原函數(shù)定義域為R，求出的導(dǎo)函數(shù)有問題嗎？

生眾：沒有。

師：然后生8畫了個圖。生8你來解釋一下你是怎么想的。

生8：就是要看導(dǎo)函數(shù)符號，我把它分成兩個，一個是ex和x…

師：為什么要分成兩個？

生8：因為我發(fā)現(xiàn)單從導(dǎo)函數(shù)，看不出來它的正負(fù)。

師：那你有沒有解方程找零點呢？

生8：我解不出來。

師：為什么解不出來？

生8：因為求值不好使了。

師：實際上是因為它們是兩個不同類型的函數(shù)，目前我們還解決不了，所以你想到了什么？

生8：畫圖。

師：好，因為它（指）解不了所以畫圖。那你畫圖的目的是把它轉(zhuǎn)化為什么問題？

生8：圖象問題。

師：圖象。是想看什么呢？

生8：交點、正負(fù)。

師：看它有沒有交點，判斷一下正負(fù)。好，大家看這個圖象，看他畫的對不對？

生9：我沒畫圖象。

師：好，讓他說完你再說，行嗎？這圖像大家說他畫的對不對？

師生眾：對。

師：實際上我們可以把圖象畫的標(biāo)準(zhǔn)點，指數(shù)函數(shù)過(0,1)，還過(1,e)；而正比例函數(shù)過的是(1,1)。我們這邊（指x軸負(fù)半平面）還有什么？和(-1,-1)。我們還可以找到(2,e2)。顯然它（指函數(shù)ex的圖像）在它（指函數(shù)x的圖象）的上方。之后這個函數(shù)我們可以觀察到它增長非常的快，我們管他叫什么函數(shù)？

師生眾：爆炸函數(shù)。

師：對，它增長得非常的快。而正比例函數(shù)是一直這樣勻速增長，所以它們的圖象應(yīng)該是ex始終在y=x的上方，對嗎？

生8：對。

師：很好，請坐。有不同意見嗎？生9你說說。

生9：圖象不能用于證明。

師：圖象不能用于“由圖可知”這。好，非常不錯?！皥D象不能用于嚴(yán)格證明”，大家同意嗎？

眾生：同意。

師：對，圖象只是我們的一個輔助工具。有的圖象，當(dāng)然我們能看到它們之間的關(guān)系；而有的圖象，可能會導(dǎo)致你看似可能沒有交點，但實際上是有交點的，對吧？因此，它只能作為一種輔助的工具直觀感受。那么我們要想說理就需要用代數(shù)來證明，就所謂的“算”。好，生9請繼續(xù)。

生9：說明

師：同意嗎？

眾生：同意。

師：好，這是我們的目標(biāo)?，F(xiàn)在怎么把這事說清楚了？

生眾：再求一遍、再導(dǎo)一遍……

師：把它看做新函數(shù)再導(dǎo)一遍。再導(dǎo)的目的是什么？

生眾：求它的最值。

師：我們的目標(biāo)是證明對吧？所以我們再導(dǎo)一遍目標(biāo)是要說明

師生眾：最小值大于零。

師：同意嗎？

生眾：同意。

師：好。接下來我們來把它完善。（選生10上黑板完成）

四、案例分析

課程標(biāo)準(zhǔn)對導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的要求是，結(jié)合實例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在解決具體問題的過程中，將研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法與初等方法做比較，以體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中中的一般性和有效性。我們認(rèn)為，雖然是一個復(fù)習(xí)課內(nèi)容，但是作為導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性這一特定課題的一部分，突出其最有教學(xué)價值的知識，即其中的數(shù)學(xué)思想和思維價值，仍應(yīng)是教學(xué)目標(biāo)的最基本定位。

片段1中，安排了復(fù)習(xí)回顧利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本步驟，并且引導(dǎo)學(xué)生對導(dǎo)函數(shù)零點的的不同情況提出有零點和無零點的簡單分類。讓學(xué)生通過解決問題來強(qiáng)化利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題的方式與方法。通過總結(jié)研究的一般步驟,為解決函數(shù)單調(diào)性問題提供了定向。例1選擇四個函數(shù)作為判斷單調(diào)性的任務(wù)，它們覆蓋了初高中學(xué)習(xí)過的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，對適當(dāng)組合之后得到的這四個函數(shù)的求導(dǎo)任務(wù)，需要用到上述函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則；要判斷所求導(dǎo)函數(shù)的符號，需要對導(dǎo)函數(shù)解析式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危ㄈ缗浞剑?，特別需要注意函數(shù)的定義域。從一些簡單函數(shù)的練習(xí)入手，讓學(xué)生在整個教學(xué)過程中始終都能夠體會到導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的工具性作用。關(guān)于例2，學(xué)生很容易求出它的導(dǎo)函數(shù)，但是既不能直接判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，也不會求其導(dǎo)函數(shù)的零點。

上述內(nèi)容的選擇和布局，是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用這一特定課題的需要，能夠體現(xiàn)相關(guān)的概念體系和邏輯脈絡(luò)，兼顧了導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識、研究函數(shù)性質(zhì)的基本技能、以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法。