許文華

摘要：平面幾何是初中數(shù)學(xué)中的一項(xiàng)重要知識體系，同時也是初中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，特別是證明題，其解法更是重中之重。初中幾何教師在授課過程中應(yīng)幫助學(xué)生理清證明題解題思路，總結(jié)解題技巧，讓學(xué)生充分掌握證明題解題技巧，從而提高學(xué)習(xí)成績。本文針對幾何證明題解題技巧進(jìn)行了總結(jié)，為學(xué)生解題提供一定的參考建議。

關(guān)鍵詞：初中幾何；證明題；解題技巧

1引言

隨著中國基礎(chǔ)教育的改革，傳統(tǒng)課程中的平面幾何內(nèi)容進(jìn)行了修改及對學(xué)生邏輯證明水平的改變，引起了社會的關(guān)注。幾何證明能夠提高學(xué)生的推理能力，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力及邏輯思維能力。幾何課程所培養(yǎng)的數(shù)學(xué)能力是其它課程無法取代的，而數(shù)學(xué)能力的提高幾何證明占有很重要的角色。然而學(xué)生在學(xué)習(xí)初中幾何證明時，還存在很多問題。本文就常見的初中幾何證明進(jìn)行技巧分析。

2初中幾何證明題技巧分析

初中平面幾何主要是研究二維幾何圖形的一系列性質(zhì)。最新的平面幾何教材中主要內(nèi)容包括直線相交、直線平行、平行四邊形證明、三角形相似、及圓等知識。幾何課程內(nèi)容在整個初中數(shù)學(xué)中所占比例為1/3，因此幾何是初中數(shù)學(xué)知識體系中的重要組成部分。幾何學(xué)習(xí)中對學(xué)生的思維能力、空間能力等要求較高，因此在學(xué)習(xí)過程中必須要熟練掌握相關(guān)概念、論證方法等，但初中生剛接觸幾何，再加上初中學(xué)生邏輯思維能力、表達(dá)能力還不嚴(yán)密，因此在學(xué)習(xí)過程中勢必會存在難度，無形中也會加大教師的教學(xué)難度。幾何證明題中，邏輯思維、表述能力要求較高，因此在幾何知識體系學(xué)習(xí)中幾何證明題是學(xué)習(xí)中的一個難點(diǎn)。很多學(xué)生在做幾何證明時，由于無法對抽象的幾何圖形等進(jìn)行想象，往往認(rèn)為幾何證明題很難做，進(jìn)而心中對幾何產(chǎn)生恐懼。另外幾何證明題中要求學(xué)生具有一定的作圖能力，但由于學(xué)生不會看圖，無法根據(jù)題意想出作圖方法，因此在遇到證明題時往往無從下手。由此可知在幾何眾多知識點(diǎn)中，證明題是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個難點(diǎn)，同時也是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。但幾何證明題解題時是有一定技巧的，如果學(xué)生能夠掌握到這些解題技巧，則就能掌握證明題的解題思路，從而不再懼怕證明題。如下是以兩線相等、兩角相等、兩直線垂直、兩直線平行等幾種常見的證明題型為例對其解題技巧進(jìn)行了分析。

2.1證明兩線相等

證明兩線相等是初中幾何中經(jīng)常出現(xiàn)的一個證明題類型，而兩線相等證明方法很多，總結(jié)如下：

（1）利用兩個全等三角形中對應(yīng)邊相等進(jìn)行證明；

（2）利用同一個三角形中等角對等便進(jìn)行證明；

（3）利用等腰三角形中底邊高平分底邊或其平分線進(jìn)行證明；

（4）利用平行四邊形對邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等進(jìn)行證明；

（5）利用直角三角形中斜邊重點(diǎn)到三個定點(diǎn)距離相等進(jìn)行證明；

（6）利用線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端距離相等進(jìn)行證明；

（7）利用角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊距離相等進(jìn)行證明；

（8）利用同圓中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等進(jìn)行證明；

（9）利用兩圓內(nèi)外公切線長度相等進(jìn)行證明。

如下例利用的是兩個全等三角形中對應(yīng)邊相等這一技巧進(jìn)行證明的。

例1：已知圓的圓心為O，K、N位于圓上，滿足如下條件：KD⊥IJ，NM⊥IJ，KO⊥ON，求證：KD=ON。

證明：作GH⊥IJ，連接ON。因?yàn)镮、N、K、J都位于圓上則有∠GMH=∠ONG，可以得出△GHM∽△GNO，從而得到OM/GM=GO/GH=KO/KD，根據(jù)KO=ON，可以得到KD=ON。

2.2證明兩角相等

兩角相等證明方法有：

（1）利用兩個全等三角形對應(yīng)角相等進(jìn)行證明；

（2）利用同一三角形中等邊對等角進(jìn)行證明；

（3）利用等腰三角形中底邊高平分頂角進(jìn)行證明；

（4）利用兩條平行線同位角、內(nèi)錯角相等進(jìn)行證明；

（5）利用同角的余角相等進(jìn)行證明。

例2：如圖在四邊形FKPO中，F(xiàn)K=OP，C、B兩點(diǎn)分別是FP、KO的中點(diǎn)，KF，BC的延長線交于BA于E點(diǎn)，PO于A點(diǎn)。求證∠FEC=∠A。

證明：連接KP兩點(diǎn)，并取KP中點(diǎn)G點(diǎn)，所以有 ∠GBA=∠A，∠GBC=∠FEC和∠GBC=∠GCB。從而得到∠FEC=∠A。

2.3證明兩直線垂直

兩直線垂直證明方法有：

（1）利用等腰三角形頂角平分線或底邊中線垂直于底邊進(jìn)行證明；

（2）利用三角形中兩角互余則第三角為直角進(jìn)行證明；

（3）利用鄰補(bǔ)角平分線互相垂直進(jìn)行證明；

（4）利用兩條直線相交成直角則兩直線垂直進(jìn)行證明。

例3，已知正方形AKCD，過點(diǎn)A做直線交于KD于E點(diǎn)，交CD于F點(diǎn)，H點(diǎn)是FB的中點(diǎn)，求EC⊥CH。證明：因?yàn)檎叫蜛KDC所以有∠AKD=∠CKD，有△AEK∽△EKC，因此有∠KEA=∠KEC。又因H是FB中點(diǎn)所以有∠HCB=∠B，因?yàn)椤?/p>

KEC+∠HCB=∠KAB+∠B=90。。因此∠ECH=90。，即EC⊥CH

2.4證明兩直線平行

兩直線平行證明方法有：

（1）利用垂直于同一直線的各直線平行進(jìn)行證明；

（2）利用同位角或內(nèi)錯角相等的兩直線平行進(jìn)行證明；

（3）利用平行四邊形對邊平行進(jìn)行證明；

（4）利用平行于同一直線的兩直線平行進(jìn)行證明。

例4：已知FC平分∠AFD，點(diǎn)B在AD上，點(diǎn)G在FD的延長線上，直線AF和GB交于E點(diǎn)，同時∠FEG=∠G，求證FC//GB。

證明：因?yàn)镕C平分∠AFD，所以有∠AFC=∠CFD，∠FEG=∠G，又因∠G+∠GEF=∠AFD，所以∠G=∠CFD。因此有GB//FC。

2.5其它證明

除了以上幾種證明題型外，其他證明如線段的和差倍分、角的和差倍分、線段不等、兩角不等等，這些證明題在解題過程中也涉及到多種解題技巧，教師應(yīng)對這些解題技巧進(jìn)行總結(jié)，讓學(xué)生全面掌握各種證明題的解題技巧。

3總結(jié)

證明題是初中幾何內(nèi)容中的一個重點(diǎn)，也是一個難點(diǎn)，教師和學(xué)生在幾何知識學(xué)習(xí)過程中應(yīng)對其引起足夠的重視。證明題在解題時并不是只有一種解題方法，可以幾何理論為基礎(chǔ)采取多種方法進(jìn)行解題，因此教師在幾何證明題講解時應(yīng)對其解題方法進(jìn)行總結(jié)，要求學(xué)生對此進(jìn)行理解和記憶，熟練掌握多種證明題的解題思路和技巧，提高證明題的解題能力，從而不再懼怕證明題，提高學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的簡易程度，進(jìn)而提高學(xué)生幾何學(xué)習(xí)成績。

參考文獻(xiàn)：

[1]沈宇華.中學(xué)數(shù)學(xué)幾何題解題的技巧及學(xué)生思維能力的培養(yǎng)[J].高考（綜合版），2013（1）：108.

[2]張建剛.初中幾何證明應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生練好三項(xiàng)基本功[J].考試周刊，2013（70）：53-54.

[3]林麗紅.初中幾何證明題解題技巧探析[J].中國培訓(xùn)， 2015（7）：214.