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        巧用圓錐曲線的定義妙求一類最值問題

        2017-06-05 14:52:04山東省鄒平縣黃山中學(xué)256200安徽省利辛高級中學(xué)341000
        數(shù)理化解題研究 2017年13期
        關(guān)鍵詞:鄒平縣準(zhǔn)線焦點

        山東省鄒平縣黃山中學(xué)(256200) 安徽省利辛高級中學(xué)(341000)

        韓景崗● 陳國林●

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        巧用圓錐曲線的定義妙求一類最值問題

        山東省鄒平縣黃山中學(xué)(256200) 安徽省利辛高級中學(xué)(341000)

        韓景崗● 陳國林●

        圓錐曲線的定義是其基礎(chǔ)知識,解題時必須牢記于心,不可疏忽,很多題目都可以利用定義解答,關(guān)于定義的等式通常隱藏在圖形中,需要運(yùn)用平面幾何知識才能發(fā)現(xiàn).下面就利用圓錐曲線的定義求最值談一下個人拙見.

        一、巧用橢圓的定義求最值

        解析 |PM|+|PN|取最小值,則|PM|、|PN|都應(yīng)該最小,|PM|+|PN|的最小值是|PA|-R+|PB|-R=6-2=4.同理,最大值為|PA|+|PB|+2R=8,即最小值和最大值分別為4,8.

        二、巧用雙曲線定義求最值

        解析 雙曲線的兩個焦點F1(-4,0)、F2(4,0)為兩個圓的圓心,半徑分別為r1=2,r2=1,|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值為(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=5.

        三、巧用用拋物線定義求最值

        解析 由拋物線的定義,A到準(zhǔn)線x=-1的距離等于A到焦點F的距離.

        評注 第一步:將點A到y(tǒng)軸的距離為m轉(zhuǎn)化為A到準(zhǔn)線的距離,再利用“拋物線上點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離相等”轉(zhuǎn)化為A到焦點的距離;第二步:利用“圓外一點A與圓C上的點的最小值等于|AC|-R”將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為|AF|+|AC|-R-1;第三步:利用“兩邊之和大于第三邊”討論三點共線時取最小值.由于拋物線的定義中隱含線段相等,最容易和平面幾何結(jié)合,所以拋物線中的性質(zhì)特別多,利用定義解題最廣泛.

        變式 已知點P在拋物線y2=4x上,那么點P到點Q(2,-1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時,點P的坐標(biāo)為____.

        總之圓錐曲線的定義應(yīng)用廣泛而且巧妙簡單,在遇到圓錐曲線的題目時,我們應(yīng)該首先考慮能否利用圓錐曲線的定義去處理,既能簡化運(yùn)算又可以節(jié)約時間,從而快速達(dá)到目的.

        G632

        B

        1008-0333(2017)13-0020-01

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