●陳 兒 (奉化中學(xué) 浙江奉化 315500) ●楊亢爾 (武嶺中學(xué) 浙江奉化 315502)

對一道統(tǒng)測試題的探源及拓展*

●陳 兒 (奉化中學(xué) 浙江奉化 315500) ●楊亢爾 (武嶺中學(xué) 浙江奉化 315502)

文章通過對一道2015年1月浙江省杭州市高三(理)統(tǒng)測試題的探源和拓展，追根溯源回歸到圓的性質(zhì)，開拓出解決橢圓問題的新思路，揭示了圓錐曲線的內(nèi)在聯(lián)系，促進了數(shù)學(xué)知識的融會貫通.

探源;拓展;統(tǒng)一;相似性

1 試題呈現(xiàn)

1)求點C的軌跡Γ的方程.

第2)小題的解法如下：

圖1

解法1 設(shè)點E,F,K的橫坐標(biāo)為x1,x2,x3，點D(x0,y0)，直線m的方程

y=kx+b，

則切點弦PQ的方程為

計算得

將直線m代入橢圓方程，得

將直線m的參數(shù)方程代入橢圓方程，得

求得t=2.

2 試題探源

弄清楚試題的源頭，有助于把握問題的來龍去脈.本題研究的是圓錐曲線中直線與橢圓的位置關(guān)系，而橢圓與圓可經(jīng)過伸縮變換相互轉(zhuǎn)化且對應(yīng)圖形的位置關(guān)系保持不變.因此，可嘗試將橢圓轉(zhuǎn)化成圓，容易證明如下命題成立.

圖2 圖3

證明 如圖3，取EF的中點A，由垂徑定理得OA⊥EF.因為DP,DQ是切線，所以

∠DAP=∠DQP.

又因為DP,DQ是切線，所以

∠DPQ=∠DQP,

從而

∠DAP=∠DPK,

于是

△DAP∽△DPK,

故

|DP|2=|DK|·|DA|.

由切割線定理得

|DP|2=|DE|·|DF|,

從而

|DK|·|DA|=|DE|·|DF|.

3 試題拓展

因為橢圓、雙曲線、拋物線是可以統(tǒng)一定義的，所以它們具有許多統(tǒng)一的性質(zhì).類比橢圓，可得到如下圓錐曲線的統(tǒng)一性質(zhì)：

圖4

如圖4，以拋物線y2=2px(其中p>0)為例加以證明:

證明 設(shè)點D(x0,y0),則直線m的參數(shù)方程為

其中t是參數(shù).若點E,F,K的參數(shù)為t1,t2,t3，則

將直線m的參數(shù)方程代入拋物線方程，得

t2sin2α+(2y0sinα-2pcosα)t+y0-2px0=0,

從而

設(shè)點P(x1,y1),則直線DP的方程為

又點D在直線DP上，從而

即

px1-y0y1+px0=0.

同理可得

px2-y0y2+px0=0,

因此直線PQ的方程為

px-y0y+px0=0，

將直線m的參數(shù)方程代入PQ的方程得

求得t=2，結(jié)論成立.

進一步探究：既然橢圓與圓有很多相似性，猜想上述性質(zhì)的逆命題在圓中是否成立？得到如下性質(zhì)：

圖5 圖6

DG·DK=DE·DF.

因為DP與⊙O相切于點P，所以

DP2=DE·DF，

從而

DP2=DK·DG.

又∠KDP=∠PDG，從而

△KDP∽△PDG,

于是

∠DGP=∠DPK.

因為∠DPO=∠DGO=90°,所以點P,D,G,O共圓，從而

∠DGP=∠DOP，

于是

∠DOP=∠DPK，

故

DO⊥PQ，

進一步得

△DPO≌△DQO，

從而

∠DQO=∠DPO=90°.

繼續(xù)拓展，上述性質(zhì)在橢圓中成立嗎？

圖7

(證明略.)

至此，通過對這道統(tǒng)測題的探源和拓展，揭示了圓錐曲線的內(nèi)在統(tǒng)一性，顯示了數(shù)學(xué)知識之間的縱橫聯(lián)系，促進了數(shù)學(xué)知識的融會貫通.有了這樣的認(rèn)識，我們的探究不再孤立，學(xué)生的思維能力得到了明顯提高，同時也彰顯了數(shù)學(xué)的核心價值.

2016-11-24；

2016-12-30

陳 兒(1978-)，女，浙江奉化人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)04-17-03