●李鵬鑰

(蘇州市第十二中學(xué) 江蘇蘇州 215008)

探索有效途徑 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)*
——以一道中考?jí)狠S題為例

●李鵬鑰

(蘇州市第十二中學(xué) 江蘇蘇州 215008)

文章針對(duì)初中學(xué)生在解答數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題時(shí)思維能力的欠缺，進(jìn)行了深度思考和對(duì)策研究，并以中考?jí)狠S題為例歸納出“思維導(dǎo)圖”“多維探索”“一題多解”“巧妙變式”等有效教學(xué)途徑，提升學(xué)生思維的深刻性、創(chuàng)造性、發(fā)散性、靈活性等數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

途徑;提升;思維;素養(yǎng)

中考?jí)狠S題，由于其考查知識(shí)面廣、靈活性大、思維能力要求高，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)從下手，望題興嘆.在復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)盡可能根據(jù)學(xué)生原有認(rèn)知探求出合適的教學(xué)方式，突破學(xué)生的思維瓶頸，形成規(guī)范的思維范式，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).筆者以2016年江蘇省蘇州市數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題為例，談?wù)勅绾瓮ㄟ^(guò)合適的途徑突破思維瓶頸，提高思維品質(zhì).

1 案例呈現(xiàn)

圖1

題目 如圖1，直線(xiàn)l:y=-3x+3與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A,B，拋物線(xiàn)y=ax2-2ax+a+4(其中a<0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．

1)求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式.

2)已知點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，聯(lián)結(jié)AM,BM．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值.

3)在第2)小題的條件下，當(dāng)S取得最大值時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)M′.

①寫(xiě)出點(diǎn)M′的坐標(biāo).

②將直線(xiàn)l繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到直線(xiàn)l′，當(dāng)直線(xiàn)l′與直線(xiàn)AM′重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線(xiàn)l′與線(xiàn)段BM′交于點(diǎn)C．設(shè)點(diǎn)B,M′到直線(xiàn)l′的距離分別為d1,d2，當(dāng)d1+d2最大時(shí)，求直線(xiàn)l′旋轉(zhuǎn)的角度(即∠BAC的度數(shù))．

(2016年江蘇省蘇州市數(shù)學(xué)中考試題第28題)

1.1 案例點(diǎn)評(píng)

本題是代數(shù)中的二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)與幾何中的動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)線(xiàn)及面積問(wèn)題相結(jié)合的綜合問(wèn)題，主要考查：

1)一次、二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)的基本掌握情況；

2)動(dòng)態(tài)幾何中的動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線(xiàn)問(wèn)題的掌握情況；

3)運(yùn)用所學(xué)代數(shù)幾何知識(shí)綜合解決問(wèn)題的能力；

4)思維的廣度、深度及靈活性.

1.2 錯(cuò)解歸因

1)題目較長(zhǎng)、文字較多，學(xué)生容易產(chǎn)生畏懼情緒；

2)考查的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合思維能力要求較高；

3)學(xué)生思維不夠靈活，深度和廣度不夠，思維品質(zhì)較差.

2 解決途徑

2.1 通過(guò)思維導(dǎo)圖分解綜合題，提升思維的深刻性

思維的深刻性是數(shù)學(xué)思維品質(zhì)中重要的思維品質(zhì)之一，對(duì)其他思維品質(zhì)具有統(tǒng)攝和聯(lián)動(dòng)作用[1].在解決問(wèn)題時(shí)，若缺少對(duì)問(wèn)題本質(zhì)深刻性的認(rèn)識(shí)，其靈活性、批判性就無(wú)從談起.在教學(xué)中，我們可將綜合問(wèn)題逐層分解，嘗試先勾勒出解決問(wèn)題的思維方向，層層深入，然后再將思維推向縱深.

如本題中，結(jié)合圖2，可引導(dǎo)學(xué)生將3個(gè)問(wèn)題用思維導(dǎo)圖的方式勾勒出思維走向：

圖2

第1)小題思維導(dǎo)圖：求拋物線(xiàn)y=ax2-2ax+a+4的函數(shù)表達(dá)式→求點(diǎn)B的坐標(biāo)→由已知條件：直線(xiàn)y=-3x+3與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A,B，易得點(diǎn)B坐標(biāo)→問(wèn)題輕松解決.

第2)小題思維導(dǎo)圖：求三角形面積S與拋物線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值→求三角形面積→運(yùn)用割補(bǔ)法添加輔助線(xiàn),化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形→求出三角形面積S與m的函數(shù)表達(dá)式→利用二次函數(shù)式的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出最大值→問(wèn)題解決.

第3)小題思維導(dǎo)圖：在第2)小題的基礎(chǔ)上，第3)小題的第①問(wèn)可以直接求解.

第3)小題的第②問(wèn)：求∠BAC的度數(shù)→先確定點(diǎn)C或直線(xiàn)AC的位置→結(jié)合條件“點(diǎn)B,M′到直線(xiàn)l′的距離分別為d1,d2，當(dāng)d1+d2最大時(shí)”確定點(diǎn)C的位置(此處為難點(diǎn)，可通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生利用以前所學(xué)過(guò)的求最大或最小值的方法，并結(jié)合圖形進(jìn)行仔細(xì)觀察分析解決)→發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線(xiàn)AC⊥BM時(shí)，d1+d2最大→求出AC,AB的長(zhǎng)→求出BM′的長(zhǎng)→在Rt△ABC中利用三角函數(shù)求出∠BAC→解決問(wèn)題.

通過(guò)以上思維導(dǎo)圖的分析把一道綜合性較強(qiáng)、難度較大的中考?jí)狠S題，分解為學(xué)生熟悉的基本問(wèn)題，一層層解開(kāi)綜合題背后的思維節(jié)點(diǎn).教師長(zhǎng)期引導(dǎo)學(xué)生對(duì)綜合問(wèn)題進(jìn)行分解，并畫(huà)出思維導(dǎo)圖，學(xué)生將逐步認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的本質(zhì)，潛移默化中提升了思維的深刻性.

2.2 通過(guò)多維探索，提升學(xué)生思維的創(chuàng)造性

創(chuàng)造性思維是學(xué)生適應(yīng)未來(lái)需要的一種較高的思維方式，其根本是能夠多角度、多維度地看待和處理問(wèn)題.在教學(xué)中，可通過(guò)多維探索的方式來(lái)培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性.所謂多維探索就是對(duì)問(wèn)題的分析(或解決)不局限在現(xiàn)有思維對(duì)象、思維方式中，而是積極探尋其他的能激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的思維對(duì)象和方式[2].

如第2)小題某資料參考答案如下：

令y=0，代入y=-x2+2x+3，得

0=-x2+2x+3，

從而

x=-1或x=3，

圖3

于是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1和3.因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，又在第一象限內(nèi)，所以0

若教師按上述解答過(guò)程照本宣科地分析，而不引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多角度、多途徑去解決問(wèn)題，則會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的思維受限和僵化，思維得不到創(chuàng)新和發(fā)展.為此，在講解此題的過(guò)程中，除了上述方法外，還可引導(dǎo)學(xué)生思考以下問(wèn)題：

1)上述方法是利用“割”法來(lái)求三角形面積，還有其他“割”法嗎？能用“補(bǔ)”法嗎？

2)你能說(shuō)出哪些不同的“割”法和“補(bǔ)”法？

3)聯(lián)結(jié)OM，能求出S△ABM嗎？

4)如果點(diǎn)M在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上、對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，那么還能繼續(xù)運(yùn)用上述方法嗎？

……

教師通過(guò)更多問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極思考，讓學(xué)生多一些探索、多一些提問(wèn)，嘗試多維度思考問(wèn)題.長(zhǎng)期下去，必然會(huì)促進(jìn)學(xué)生思維的創(chuàng)造性，從而避免思維僵化、思維定勢(shì).

2.3 通過(guò)“一題多解”，提升學(xué)生思維的發(fā)散性

“發(fā)散性思維”是一種不依常規(guī)、尋求變異，對(duì)給出的材料信息從不同角度、用不同方法或途徑進(jìn)行分析和解決問(wèn)題的一種思維方式.數(shù)學(xué)教學(xué)中的“一題多解”就是從不同角度、不同方位審視、分析同一問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，用不同解法求得相同結(jié)果的思維過(guò)程.教學(xué)中適當(dāng)?shù)囊活}多解，可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的強(qiáng)烈欲望，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的深刻理解，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的嫻熟運(yùn)用，鍛煉學(xué)生思維的廣闊性、靈活性和創(chuàng)造性，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性[3].

第3)小題第②問(wèn)的“一題多解”：

解法1 (采用直線(xiàn)平移法，運(yùn)用圓的特殊性)

如圖4，過(guò)點(diǎn)M′作直線(xiàn)l1∥l′，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥l1于點(diǎn)F.根據(jù)題意知d1+d2=BF，此時(shí)只要求出BF的最大值即可.

過(guò)點(diǎn)M′作M′G⊥AB于點(diǎn)G，設(shè)BG=x，由勾股定理可得

M′B2-BG2=M′A2-AG2,

即

因?yàn)閘1∥l′，所以∠BCA=90°，故

∠BAC=45°.

圖4 圖5

解法2 (采用面積法，運(yùn)用整體思想)

如圖5，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥l′于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)M′作M′E⊥l′于點(diǎn)E，則

BD=d1,EM′=d2.

S△ABM′=S△ABC+S△ACM′=

故

∠BAC=45°.

解法3 (特殊位置法，運(yùn)用三點(diǎn)共線(xiàn)使線(xiàn)段和(差)最大(小))

如圖5，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥l′于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)M′作M′E⊥l′于點(diǎn)E，則BD=d1,EM′=d2.在Rt△BCD中，d1≤BC,同理可得d2≤M′C,從而d1+d2的最大值為BC+M′C，此時(shí)AC⊥BM′(下同解法2).

在平時(shí)教學(xué)中，教師可通過(guò)“一題多解”的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多途徑尋求解決問(wèn)題的方法，開(kāi)拓解題思路、尋找出最佳解題方案，總結(jié)解題規(guī)律，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力，從而提升學(xué)生思維的發(fā)散性.

2.4 通過(guò)“巧妙變式”,提升學(xué)生思維的靈活性

思維的靈活性是指在思維具有一定廣度和一定主動(dòng)性基礎(chǔ)上，產(chǎn)生的一種較為難得的思維品質(zhì).具備了思維靈活性的學(xué)生能從不同角度運(yùn)用不同的知識(shí)與方法思考和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，并得到多樣化的思維結(jié)果.在解題過(guò)程中，學(xué)生能否迅速引發(fā)聯(lián)想、調(diào)整思維狀態(tài)、建立聯(lián)系，是訓(xùn)練學(xué)生思維靈活性的關(guān)鍵所在.我們可在教學(xué)中多采用“巧妙變式”訓(xùn)練來(lái)提升學(xué)生思維靈活性[4].

本題在講評(píng)時(shí)可進(jìn)行如下變式訓(xùn)練：

變式1 更換原題目的條件

①點(diǎn)M在第二(或第三或第四)象限內(nèi)，求△ABM的面積(注：面積是否還存在最值)；

②設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，求點(diǎn)A,B,M,D所構(gòu)成的四邊形面積的最值.

變式2 更換原題目的問(wèn)題

第1)小題可以改為：求a的值、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等等.

第2)小題可以改為：

①當(dāng)點(diǎn)M在頂點(diǎn)位置時(shí)，求△ABM的面積；

②當(dāng)AB⊥AM時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)或BM(或AM)的長(zhǎng).

第3)小題可以改為：

①當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，求d1+d2的值;

②當(dāng)S△ABM最大時(shí)，求d1+d2的值.

在變式訓(xùn)練中，教師需通過(guò)相互關(guān)聯(lián)的問(wèn)題鏈來(lái)不斷激發(fā)學(xué)生的思維，使學(xué)生的思維處于“憤”“悱”的狀態(tài)，對(duì)所研究的問(wèn)題能舉一反三、觸類(lèi)旁通，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.這就需要教師有意識(shí)地將典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行多角度變式訓(xùn)練，通過(guò)適度合理的變式，促使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，增強(qiáng)演繹推理能力，發(fā)展和豐富自己的想象力，使學(xué)生思維的靈活性得到較大提升.

數(shù)學(xué)是思維的體操.數(shù)學(xué)與思維能力密不可分，提升數(shù)學(xué)思維能力是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要突破口[5].筆者所述“思維導(dǎo)圖”“一題多解”“多維探索”“變式訓(xùn)練”等4種途徑旨在提升學(xué)生的思維品質(zhì)，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).望對(duì)同仁有所啟迪與裨益.

[1] 張數(shù)虎.巧用生物習(xí)題培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性[J].教學(xué)與管理，2011(28)：71-73.

[2] 蔣鐵偉,王震.數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2013(11)：11-12.

[3] 王行志.發(fā)散性思維與一題多解[J].江蘇教育，1986(20)：40-41.

[4] 卞恩艷，許彩娟.從一題多解例談初中生數(shù)學(xué)思維的靈活性特點(diǎn)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教育，2012(5)：34-36.

[5] 苑建廣.數(shù)學(xué)思維的5個(gè)品質(zhì)——以2013年中考典題的破解為例[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2013(12)：33-36.

A.A=N*,B=N B.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0

C.A={x|0

(2013年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題第10題)

教師照本(文獻(xiàn)[1])宣科地呈現(xiàn)命題意圖，分析邏輯基礎(chǔ)，展示試題解答.

本題考查新定義與集合、函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生對(duì)新定義的理解與應(yīng)用能力、數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運(yùn)算求解能力.本題需要確定不能構(gòu)成“保序同構(gòu)”(集合A,B固定后，考慮所有對(duì)應(yīng)法則f均不能滿(mǎn)足條件1)，2))，可用“反例”來(lái)排除.

解 對(duì)于選項(xiàng)A：取f(x)=x-1，其中x∈N*，從而A=N*,B=N是“保序同構(gòu)”；對(duì)于選項(xiàng)B：取

點(diǎn)評(píng) 教師強(qiáng)調(diào)求解此類(lèi)“新定義的存在性問(wèn)題”的關(guān)鍵是：首先讀懂新定義的含義(本質(zhì))；其次針對(duì)選擇題的特點(diǎn)，會(huì)利用特取法來(lái)快速智取，輕松破解.

數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué).如上處理只能說(shuō)明教師是文字的搬運(yùn)工，學(xué)生是特例的驗(yàn)證者.“與本題相關(guān)的基礎(chǔ)(知識(shí)、思想方法等)有哪些，如何確定解題的切入點(diǎn)與關(guān)鍵點(diǎn)，問(wèn)題的本質(zhì)是什么，特例是怎樣找到的，特例是唯一的嗎，選項(xiàng)D為什么不是‘保序同構(gòu)’”等等，只有把這些問(wèn)題完全解決了，學(xué)生才算經(jīng)歷完整的思維過(guò)程，從而領(lǐng)悟問(wèn)題的本質(zhì).

師：“保序同構(gòu)”要滿(mǎn)足什么條件？你見(jiàn)過(guò)同樣的題目或類(lèi)似的問(wèn)題嗎？你能重新敘述這道題目嗎？還有其他方式進(jìn)行敘述嗎？

生1：對(duì)比函數(shù)概念，“保序同構(gòu)”在函數(shù)的基礎(chǔ)上還要符合其他2個(gè)條件：1)T中元素?zé)o剩余(值域就是集合T)；2)函數(shù)y=f(x)在定義域S上單調(diào)遞增，即“保序同構(gòu)”是從S到T的一一映射且該函數(shù)單調(diào)遞增.

師：分析很到位.定義、性質(zhì)、定理等真命題具有統(tǒng)領(lǐng)作用，下面針對(duì)具體集合，你能給出滿(mǎn)足新定義的理由(反例否定與推證肯定)嗎？

對(duì)于選項(xiàng)C:考慮定義域區(qū)間“長(zhǎng)度”有限，值域區(qū)間“長(zhǎng)度”無(wú)限，聯(lián)想正切函數(shù)，可取

因此，可排除選項(xiàng)A,B,C，故選D.我正在考慮選項(xiàng)D的推證過(guò)程.

師：很好！哪位同學(xué)還需要補(bǔ)充？

點(diǎn)評(píng) 同構(gòu)是抽象代數(shù)的重要概念，通過(guò)結(jié)構(gòu)上的同構(gòu)，其對(duì)象會(huì)有相似的屬性與操作，使理解和處理對(duì)象結(jié)構(gòu)更容易，深化對(duì)該對(duì)象的認(rèn)知.本題的高等背景是序同構(gòu)：偏序集(A,)與偏序集(B,)同構(gòu)，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)雙射f:A→B，使得ab→f(a)f(b)且f(a)f(b)→ab.將高等數(shù)學(xué)概念與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)緊密聯(lián)系，在高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)命題.“保序同構(gòu)”要滿(mǎn)足2個(gè)條件：滿(mǎn)射(即像集T中的每個(gè)元素在S中都有一個(gè)或一個(gè)以上的原像)與單調(diào)遞增，即確定一個(gè)從S到T的單調(diào)遞增的一一映射.選項(xiàng)D需確定一個(gè)從正整數(shù)集到有理數(shù)集的單調(diào)遞增的一一映射,不存在“保序同構(gòu)”的根本原因是整數(shù)的離散型與有理數(shù)的稠密性.

相對(duì)于題目條件,正例和反例怎么找？首先要弄清問(wèn)題的本源，進(jìn)行似然聯(lián)想，再進(jìn)行理性確認(rèn).認(rèn)識(shí)問(wèn)題不能浮于表面，流于形式，淺嘗輒止，而應(yīng)沉入內(nèi)觀，揭示本質(zhì)，攫取精髓，有時(shí)反例更能體現(xiàn)問(wèn)題的根本與關(guān)鍵，凸顯思維的深度與廣度.

教學(xué)片斷2 “集合與邏輯”之“合情推理與演繹推理”

例2 設(shè)整數(shù)n≥4,集合X={1,2,3,…,n}.令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且3個(gè)條件x

( )

A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?SB.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S

C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈SD.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S

(2013年廣東省數(shù)學(xué)高考理科試題第8題)

師：本題考查集合、推理與證明，考查學(xué)生接受、理解、運(yùn)用和遷移新知識(shí)能力，還有推理論證能力與創(chuàng)新意識(shí).明確集合S表示的含義，對(duì)S中的各種情況進(jìn)行組合，綜合分析.也可以對(duì)x,y,z,w賦值，利用特殊值進(jìn)行排除.

解法1 (特殊值法)題設(shè)條件中x

解法2 (窮舉法)由(x,y,z)在S中，知

3個(gè)式子恰有1個(gè)成立.由(z,w,x)在S中，知

3個(gè)式子恰有1個(gè)成立.配對(duì)后只有4種情況：

1)式(1)和式(5)成立，此時(shí)w

2)式(1)和式(6)成立，此時(shí)x

3)式(2)和式(4)成立，此時(shí)y

4)式(3)和式(4)成立，此時(shí)z

綜上所述，(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.

圖1

點(diǎn)評(píng) 解法1根據(jù)一般與特殊的關(guān)系，利用賦值法將抽象問(wèn)題具體化、一般問(wèn)題特殊化；解法2對(duì)條件直接翻譯，將各種情況進(jìn)行整合，篩選出共生(存)的性質(zhì).2種解法均對(duì)接學(xué)生的認(rèn)知，有效地解決問(wèn)題.

師：解法2討論的情況較多，能否將其更直觀地表示出來(lái)？試著畫(huà)一張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào).

解法3 (樹(shù)狀圖)因?yàn)?x,y,z)∈S，(z,w,x)∈S，則各元素的大小關(guān)系如圖1所示，均符合(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S.

師：數(shù)形結(jié)合要體現(xiàn)形的直觀與數(shù)的精準(zhǔn).你還能用更直觀的方式將其表示出來(lái)嗎？回到定義上去，執(zhí)行你的解題方案，檢查每一個(gè)步驟.你能一眼就看出來(lái)嗎？

圖2

生：?jiǎn)栴}的本質(zhì)是將某些數(shù)按一定順序(如順時(shí)針)排列，形成有序數(shù)組.如圖2所示，首先將x,y,z按順時(shí)針鑲嵌在圓上，再將w插入在z,x(按順時(shí)針)之間，即構(gòu)成了x，y,z,w的序列，數(shù)形結(jié)合，一目了然.

(全體學(xué)生鼓掌.)

教學(xué)片斷3 “函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”之“導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用”

例3 1)已知0

教師分析第1)小題的解題思路，強(qiáng)調(diào)一題多問(wèn)中要抓住各問(wèn)之間的聯(lián)系.展示答案如下：

1)解 由f(x)=-x3+2x2-x+2，知

f′(x)=-3x2+4x-1=-(3x-1)(x-1)，

又因?yàn)?

將3個(gè)式子相加得

圖3

把根(背景與本質(zhì))留住，遇到相關(guān)問(wèn)題，才能撩開(kāi)其神秘的面紗，露出其樸素的面容，化生為熟，迎刃而解.如果學(xué)生基礎(chǔ)稍弱，那么可用下例(例4)進(jìn)行鋪墊.

證法1 原不等式等價(jià)于

即

而

證法3 由柯西不等式可得

同理可得

3個(gè)式子相加即得所要證的結(jié)論.

因此函數(shù)f(x)在(0,1)上是(嚴(yán)格)上凸函數(shù).由琴生不等式知

代入即得所要證的結(jié)論.

圖4

其中a,b,c中2個(gè)數(shù)為0，另一個(gè)數(shù)為1.

凹凸性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，借助凹凸性可直接使用琴生不等式.不少教材將其高等數(shù)學(xué)初等化，使學(xué)生感到思路的突兀與奇妙.若熟悉相關(guān)背景與結(jié)論，則往往一眼見(jiàn)底.

2 教學(xué)思考

2.1 明晰目標(biāo)，確定方向

教育的目的是育人.在感受學(xué)習(xí)的幸福基礎(chǔ)上,受教育者的天性與能力得到生長(zhǎng).簡(jiǎn)言之，教育的終極目標(biāo)就是提升人的素養(yǎng)(教育價(jià)值所在)使其幸福.素養(yǎng)是指一個(gè)人平時(shí)的基本修養(yǎng)，應(yīng)該包括先天的以及后天訓(xùn)練、實(shí)踐而獲得的技巧或能力，具體指?jìng)€(gè)體的知識(shí)與技能、品德與觀念、思想與方法等[2].余文森認(rèn)為：素養(yǎng)是素質(zhì)加教養(yǎng)的產(chǎn)物，是天性和習(xí)性的結(jié)合.素養(yǎng)表現(xiàn)出整體性、綜合性、多維性、動(dòng)態(tài)性等特點(diǎn)，素養(yǎng)無(wú)限，生命有限，學(xué)校教育時(shí)間更有限，只有抓住核心素養(yǎng)才能使教育效益最大化.學(xué)科核心素養(yǎng)是指在某科學(xué)知識(shí)、技能的學(xué)習(xí)過(guò)程中，感悟該學(xué)科的核心思想與方法，從而形成必備的學(xué)科觀念、學(xué)科能力，并把握學(xué)科本質(zhì)[2].

學(xué)科的育人價(jià)值主要在于對(duì)特定核心素養(yǎng)的貢獻(xiàn)，如正在修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等6個(gè)核心素養(yǎng)，有助于他們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界；有助于他們掌握“四基”(基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))，有助于他們?cè)谖磥?lái)的生活工作中，發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，分析解決問(wèn)題；有助于認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值，形成批判性思維習(xí)慣、理性精神[3].教學(xué)研究的基本問(wèn)題是“教什么”和“怎么教”，前者是教學(xué)的目標(biāo)，是內(nèi)容問(wèn)題，后者是教學(xué)的方法，是形式問(wèn)題，內(nèi)容決定形式，形式為內(nèi)容服務(wù).眾所周知，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ).因此，學(xué)生要深化對(duì)數(shù)學(xué)概念(尤其是核心概念)的理解；數(shù)學(xué)思想具有統(tǒng)領(lǐng)性、遷移性等，學(xué)生要感悟數(shù)學(xué)思想的精髓.

2.2 透徹理解,合理組織

“教什么”是目標(biāo)，目標(biāo)是首要的；“怎么教”是技術(shù)，技術(shù)是無(wú)窮的.教無(wú)定法，貴在得法.

2.2.1 開(kāi)展活動(dòng)，合作探究

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)(思維活動(dòng))的教學(xué)，而不僅是數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果——數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué).”目前，作為工具、載體的知識(shí)常被絕對(duì)化和神圣化，能力與素養(yǎng)卻被弱化和邊緣化.當(dāng)然,教學(xué)活動(dòng)離不開(kāi)知識(shí)，教學(xué)活動(dòng)對(duì)知識(shí)具有絕對(duì)的依賴(lài)性，沒(méi)有了知識(shí)，教學(xué)活動(dòng)便成為無(wú)源之水、無(wú)本之木.因此，教師要根據(jù)內(nèi)容、目標(biāo)，適時(shí)適度地組織數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在交流中感知、感悟、深化、提升.如以例2為載體開(kāi)展活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷思維從膚淺到深刻的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和鍥而不舍的精神.

2.2.2 激發(fā)興趣，自然生成

前蘇聯(lián)著名教育家贊可夫認(rèn)為：“教學(xué)法一旦觸及到學(xué)生的情緒和意志領(lǐng)域，觸及到學(xué)生的精神需要，這種教學(xué)法就發(fā)揮高效的作用.”教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在善于激勵(lì)喚醒和鼓舞.激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)探究質(zhì)疑精神，教師要設(shè)計(jì)出好問(wèn)題(具有接受性、障礙性、探索性等特征)，學(xué)生在挑戰(zhàn)中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的有用、自然、清楚、美妙.例1表面強(qiáng)大，實(shí)際虛弱，學(xué)生通過(guò)對(duì)定義的解讀，感受到概念的強(qiáng)大作用，構(gòu)造的函數(shù)靈活多變、本質(zhì)始終如一，有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，保持學(xué)習(xí)的持久動(dòng)力.

2.2.3 注重整體，強(qiáng)化聯(lián)系

聯(lián)系是永恒的，整體是絕對(duì)的，素養(yǎng)是持續(xù)發(fā)展的，整體理解數(shù)學(xué)課程是基礎(chǔ).高中數(shù)學(xué)課程是一個(gè)有機(jī)整體，要整體理解數(shù)學(xué)課程性質(zhì)與理念，整體掌握數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，特別需要整體感悟數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，整體認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)—主線(xiàn)—主題—關(guān)鍵概念、定理、模型、思想方法、應(yīng)用，整體設(shè)計(jì)與實(shí)施教學(xué)[3].教師要研透課程標(biāo)準(zhǔn)、深入教材，對(duì)(不限于)高中數(shù)學(xué)全面的了解，作出宏觀計(jì)劃，微觀周密部署，確保教學(xué)內(nèi)容與思想方法等有計(jì)劃、有步驟、高效率的實(shí)施[4].例3中2個(gè)小題之間的聯(lián)系、例4中各種解法之間的關(guān)聯(lián)均較好地體現(xiàn)了問(wèn)題的聯(lián)系性與整體性，函數(shù)的凹凸性揭示了問(wèn)題的本源.

2.3 終身學(xué)習(xí)，永葆活力

課程的內(nèi)容掌握是根本，教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)決定成敗.德國(guó)民主主義教育家第斯多惠說(shuō)過(guò)：“誰(shuí)要是自己還沒(méi)有發(fā)展培養(yǎng)和教育好，他就不能發(fā)展培養(yǎng)和教育別人.”他還說(shuō)過(guò)：“教師必須有獨(dú)創(chuàng)性.他對(duì)學(xué)生要成為理性和啟蒙的真實(shí)的火炬，使學(xué)生得以揭穿自己的錯(cuò)誤意見(jiàn)，而被引導(dǎo)到真理的道路上去.”《學(xué)記》云：“記問(wèn)之學(xué)，不足以為人師.”這句話(huà)道出了人師的根本：做人師，不能單靠死記硬背得來(lái)的知識(shí)；為人師，要有真本領(lǐng)、真學(xué)問(wèn).在新的教育形式下，教師若還抱缺守殘(經(jīng)驗(yàn))，故步自封，只會(huì)處處受挫，喪失尊嚴(yán).反之，具備學(xué)科素養(yǎng)的教師就能贏得“學(xué)科尊嚴(yán)”和“個(gè)人尊嚴(yán)”.

學(xué)習(xí)不是對(duì)傳統(tǒng)的全盤(pán)否定，而是在繼承發(fā)揚(yáng)中創(chuàng)新發(fā)展.加涅指出：“問(wèn)題解決并不是簡(jiǎn)單地就先前習(xí)得的規(guī)則的運(yùn)用，它也是一個(gè)產(chǎn)生新的學(xué)習(xí)的過(guò)程.”[5]愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)：“從新的角度去看舊的問(wèn)題，需要有創(chuàng)造性的想象力.”教師自己對(duì)內(nèi)容清清楚楚，教學(xué)才能運(yùn)籌帷幄，駕馭自如.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 杜志建.2013年全國(guó)各省市高考試題匯編(理科數(shù)學(xué))[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2013.

[2] 朱立明.基于深化課程改革的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系構(gòu)建[J].中國(guó)教育學(xué)刊，2016(5)：76-80．

[3] 王尚志.如何在數(shù)學(xué)教育中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].中國(guó)教師，2016(5)：33-38．

[4] 鄭良.數(shù)學(xué)教學(xué)要見(jiàn)機(jī)行事[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2013(11)：9-14．

[5] 加涅.學(xué)習(xí)的條件和教學(xué)論[M].皮連生, 王映學(xué), 鄭葳,譯.上海：上海教育出版社，1999.

2016-11-21；

2016-12-30

李鵬鑰(1973-)，女，江蘇蘇州人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)04-01-04