楊麗 楊丹

摘 要：數學知識是抽象的，對數學知識的理解和運用是嚴謹的，但是在抽象和嚴謹的背后卻隱含著許多美的形式和美的內容。我們通過對數學中美的形式和內容的認識，有助于提高對數學知識的理解和運用能力。

關鍵詞：數學；審美意識；形式美；結構美

中圖分類號：O17 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2017）16-0192-03

Abstract： Mathematical knowledge is abstract， the understanding and application of mathematical knowledge is rigorous， but behind the abstract and rigorous implication of many forms of beauty and beauty of the content. Through the understanding of the form and content of mathematics in China， we can improve the understanding and application of mathematical knowledge.

Keywords： mathematics； aesthetic consciousness； formal beauty； structural beauty

“數學美”是以數及數理關系認知物質世界的反映。我們探索數學美，即是用審美思維和方式認知數、數理關系及其內在特有的規(guī)律和法則，培養(yǎng)數學審美觀，揭示數學審美價值，激發(fā)對數學的熱愛，推動數學學科的發(fā)展。

不夸張的講，數學可以詮釋世間萬物，更能詮釋萬物之美。比如對音樂而言，最簡單的1、2、3、4、5、6、7已是音樂的化身，其變化讓我們感悟到無限音樂之美；就現(xiàn)代科技而言，數碼成像技術、計算機運用等是對客觀物象進行數字編碼以及依存于數學二進制的規(guī)律，從而體現(xiàn)了現(xiàn)代科技之美；即或是歡樂童年、青春年華、遲暮之年等也是用數（年齡的變化）詮釋人生不可違背的生命法則；相對論電子波動方程可以列入20世紀科學的最高成就之一，而促使狄拉克成就這一方程的初衷是基于方程的完美性和數學形式美的動機，他曾經說“我的許多工作正是玩弄方程，并看它們給出些什么”“那是個漂亮的數學結果”；同樣，數學中不少猜想得以證明，往往是基于數學內在的節(jié)奏、勻稱、和諧的審美特質，從而從相似性歸納、演繹出數學規(guī)律性等?？梢?，數學不僅詮釋萬物之美，更是人類審美智慧的結晶，探索數學之美，有助于對數學知識的理解運用，使之更好地服務于現(xiàn)代科技和社會。

一、樹立數學審美觀

著名的雕塑家羅丹說過：“美是到處都有的，對于我們的眼睛，不是缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)?！痹陂L期的數學教學過程中，人們往往處于嚴謹、理性的分析、判斷、推理的數學思維狀態(tài)，難免讓人覺得數學是那么的高深而不可親近，甚至于覺得數學枯燥無味，更談不上有何美的感受。事實上，在數學概念、數理關系背后，存在著無盡的審美現(xiàn)象，只不過我們缺乏對數學的審美認知和審美需求。數學審美過程是將數學內在規(guī)律外化的過程，是將數理邏輯轉化為現(xiàn)象感知的過程，從審美的角度來認知數學現(xiàn)象和本質，樹立數學審美觀，有助于開闊視野，活躍數學思維。比如：圓的審美意義，古希臘畢達哥拉斯學派從數學研究中發(fā)現(xiàn)圓的對稱之美與和諧之美，認為一切平面圖形中最美的是圓形，這個審美認識無不令人嘆服，遠遠超越藝術家的審美感受。事實如此，如果在圓所在的平面，以圓心為對稱點，旋轉至任何角度，都與原圖重合。可見圓是平面中最完美的對稱圖形。從視覺現(xiàn)象而言，圓又是最為簡潔、完整的圖形。同樣，人們又延伸其“圓滿”的人文意義，放大其審美價值。即或是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10…在數學思維中包含自然數、奇偶數、等差關系、極限變化等不同的含義和數理關系，但只要納入視覺領域，就會立刻產生形態(tài)大小、物象多少、圖形變化、漸變與延伸等審美關系和無窮盡的對象化的審美客體，這就是數學中最質樸的審美認知。反之，探討數學的審美性，有助于形成不同的數學思維，推動數學學科的發(fā)展。

二、強化數學審美意識

在認識中，人們習慣性地把數學思維等同于邏輯思維、理性思維，而認為形象思維、感性思維與數學無緣。事實上，數學思維并不排斥其它思維方式，只不過由于數學的學科特點使邏輯思維、理性思維與形象思維、感性思維等在數學思維中呈現(xiàn)出主次、強弱、顯性與隱性等差異，而不是非此即彼的關系。審美活動是形象思維、感性思維的表現(xiàn)形式。在數學中，存在無盡的審美要素、審美關系和審美空間。比如：所有可圖示化的數學問題就是通過視覺形象來進行分析、判斷和思維的，視覺形象的呈現(xiàn)、聯(lián)系與變化關系都對應于內在的數理、比例、尺度和規(guī)律等，這些不僅是數學問題，也是美學問題，涉及形式、結構、和諧、節(jié)奏、韻律等審美表現(xiàn)。相反，如果我們從形式、結構、和諧、節(jié)奏等的內在審美特質出發(fā)來探索數學問題，有助于強化數學思維能力。

三、數學美的體現(xiàn)

數學美的含義十分寬泛，具有含蓄性，不像數學概念那樣具有明確定義。從哲理上講，數或數理關系可從內在特質與形式表現(xiàn)兩方面詮釋萬物之美。所以，數學美體現(xiàn)于兩方面：一是體現(xiàn)于數學形式結構的外在美，比如：三角函數的雙曲線的形式結構很美；二是體現(xiàn)于內在的規(guī)律、秩序和節(jié)奏美。同樣，三角函數的雙曲線從視覺形式看很美，但它更是對一種變化過程與趨勢的美學反映。當然，對于藝術而言，諸如音樂的節(jié)奏與韻律、人體的比例與尺度、建筑的結構與造型等我們很容易去感知與理解。對于數學而言，就需要我們去發(fā)現(xiàn)，而且不是單純去認知某種數學審美現(xiàn)象，而是將審美意識體現(xiàn)于數學思維過程，以期最大化地實現(xiàn)其審美價值和功能。這里，作者結合長期的高等數學教學實踐，僅從美的形式、美的結構以及意境美幾方面來看數學之美。

（一）形式美

形式美主要從感官而言。許多數學圖形和數學公式都表現(xiàn)出極強的形式美感，這有助于對數學知識的認知和理解。譬如：有人做過實驗，讓學生分別學習勾股定理a2+b2=c2和歐拉公式ei？仔+1=0，看學生能否體驗到其中的美。結果發(fā)現(xiàn)，學生對勾股定理較容易感受到美，認為它很奇妙，且容易記憶和運用。對于歐拉公式，盡管有著很好的統(tǒng)一性和奇異性，它將數學中最常用的5個常數0，1，i，e，？仔用極為簡單的方式聯(lián)系到了一起，在歷史上受到過很多人的贊美，但是，由于學生不了解這個公式的由來和其中包含的高等數學知識，絕大多數學生對這個公式反應漠然[1]。

1. 漸變

指客觀對象或某種現(xiàn)象逐漸的、有規(guī)律性的變化。對于藝術而言，漸變是藝術家從事藝術創(chuàng)作普遍遵守的法則，其審美性體現(xiàn)于一種強烈的空間感、運動感和無限延伸的張力，比如鐵路邊電線桿出現(xiàn)近大遠小的變化，汽車行駛逐漸遠去的過程，飛機聲音的變大與消失，溫度的逐漸升高等現(xiàn)象，就是一種典型的漸變效果。這種效果廣泛運用于現(xiàn)代繪畫與設計中。在數學中，許多概念和邏輯規(guī)律包含了這種漸變的審美意義。比如：等比數列、等差數列、極限概念等。同樣，對于再簡單不過的1、2、3、4、5…，而言，我們賦予它不同的度量關系，就可產生多少、大小、遠近、輕重、高低等具體可感的、漸變的審美現(xiàn)象，從而豐富了對數學的理解。

2. 變化與統(tǒng)一

變化與統(tǒng)一是形式美的總法則，是對立統(tǒng)一規(guī)律的具體化。在藝術表現(xiàn)過程中，變化與統(tǒng)一常常成為指導藝術創(chuàng)作和衡量藝術效果的標尺。比如：大小、黑白、明暗、疏密等變化關系，相似形狀、鄰近色、環(huán)境色等的統(tǒng)一關系。同樣，在數學領域大部分概念和結構體系都以變化與統(tǒng)一的關系存在。比如：平面幾何中的相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線定理，從結構上都可以統(tǒng)一于圓冪定理，但又各有變化。解析幾何中的拋物線、雙曲線都統(tǒng)一于圓錐曲線，從視覺上相似，但內容上不相同。如有限與無限、曲線與直線、切線與割線的轉化的概念對比等。

我們之所以要探索或放大這些審美關系，因為它有助于我們對數學知識的理解和掌握，進一步揭示數學的奧妙，將數學知識廣泛運用于現(xiàn)代科技和社會發(fā)展中。

3. 系列化

系列化是藝術表現(xiàn)中強化相似性的審美原則，即具有相同基本結構和屬性的客體重復出現(xiàn)，起到強化視覺效果突出內在特質的作用。比如日常生活中人們使用的各種商品，絕大部分是以系列化方式開發(fā)和銷售的：化妝品按男性系列、女性系列，季節(jié)系列，香味系列，價額系列，款式系列等來開發(fā)和銷售就是如此。最為耳熟能詳的“品牌”二字，就是產品系列化的存在方式。同樣，不同的數學知識體系，其內在規(guī)律和聯(lián)系往往構成從公理到定理，再到推論、誘導公式等系列結構。如：三角函數源于對角、邊關系的研究，其本質是任何角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。三角函數的定理、推論、基本公式（誘導公式、和差化積、積化和差、倍角公式、半角公式、萬能公式等）很多、很復雜，但只要從系列化角度去理解和把握其內在規(guī)律就使問題簡單化了。所以，感知三角函數定理、推論、誘導公式等體現(xiàn)出來的系列化的形式美感，有助于我們掌握三角函數的本質，有助于提高學習高等數學的積極性。

（二）結構美

結構美主要探討事物內在的特質與骨骼。法國數學家彭加勒曾作過論述：“數學的結構美是指一種內在的美，它來自各部分的和諧秩序，并能為純粹的理智所領會，可以說，正是這種內在美給了滿足我們感官的五彩繽紛美景的骨架，使我們面對一個秩序井然的整體，能夠預見數學定理?！盵2]

任何審美對象其背后都由內在結構做支撐，即審美表現(xiàn)包含現(xiàn)象美和內在美，內在美即結構美，對結構美的探討是當代藝術的重要審美活動。事實上，數學各領域有其明顯的結構體系，但對這種結構體系的認知與研究往往是放在科學與邏輯范疇，而未放在藝術領域去感知，好在大家對數學中存在的結構美的研究逐漸受到重視。數學中結構美體現(xiàn)為兩方面，一是指結構的規(guī)律、秩序、比例與和諧關系等特質。如：秩序性是數列的結構美，比例是黃金分割的結構特征，對稱性是正弦函數、余弦函數的結構美等。二是指結構的關系美，就這一點而言，數學中“群”的概念就是最好的理解。

數學領域中最能體現(xiàn)結構關系的是“群”的概念，群結構觀點已滲透到數學各個領域。無論是幾何學還是代數學等都可以按照不同的群結構加以分類，從結構觀點來研究數學問題，有助于對某種數學特質和關系的理解，因為數學特質和關系往往是以一種體系呈現(xiàn)，任何體系都存在于某種同構性的或相似性的結構中，所以在研究問題時只要抓住一種結構進行分析即可，結構分析法是數學研究的本質方法，數學的結構美同樣體現(xiàn)于數學知識本身的嚴謹與和諧。比如：高等數學是利用極限這個工具去研究函數的各種特性，所以高等數學教學內容安排順序上也體現(xiàn)明顯的結構關系：從函數（研究對象）到極限論（研究工具）到微分（函數的變化率）再到積分（相反問題）及其它們的應用。這種整體結構從概念、定理、性質及其運用等體現(xiàn)出的嚴謹和諧的特點，如同五言律詩和七言律詩最基礎的平仄結構是其結構美的體現(xiàn)。

數學中結構美體現(xiàn)于對任何公理、定理的內涵表述的高度概括性，同樣，由公理、定理推演出龐大的理論體系，有其內在嚴密的邏輯結構，其形式表現(xiàn)極具相似性，這種極為簡潔的形式關系和相似性說明內在嚴謹的結構美。

（三）意境美

數學思維過程中，人們往往不假思索地認為數學思維就是邏輯思維，事實上這是機械的認識，形象思維先于邏輯證明，邏輯思維往往是基于形象和空間意境之上的，或者說是基于美感直覺的幫助，盡管這種直覺往往是無從解釋的，但在數學思維中，會產生無限接近結論的思維與方法。

例如：已知平面上有直線L及其同側的兩點A、B，在直線L上求一點，使從X軸看A、B所張的視角最大。相信大家頭腦中首先瞬間浮現(xiàn)的是平面、直線和兩點處于某種空間狀，形成一種畫面感，在這個意境中不斷調整、分析、判斷其相互的對應的某種視覺關系，從而感知視角變化，整個過程都是形象思維過程，之后才去作邏輯證明。這種呈現(xiàn)于意識中的畫面感、空間感、運動感等是美的，不僅有助于人們對數學的認知與理解，更大大地促進了數學的發(fā)展。

四、結束語

樹立數學審美意識，盡管數學美是個模糊且含蓄的問題，是認知者個體的內在感受和體悟，不像數學問題那樣可以得到邏輯證明。但是“人們或者因為感到數學是美的而愛好數學，或者因為愛好數學而認為數學是美的。”這已經說明了探索數學審美的意義。同時，要樹立良好的數學觀，從本質上認識數學是研究數量、結構、變化以及空間形態(tài)等關系的一門學科，進而產生對數學科學性、應用性以及審美性的探索的需求和必要。再者，在數學審美教學中，要培養(yǎng)數學審美意識和習慣，形成數形結合的思維方式，掌握這種最為直接和樸實的思維方式，把抽象的概念、關系、結構等對象化、客觀化、具體化、直覺化，就凸顯了數學美的意義。

參考文獻：

[1]楊澤忠.從數學美感的產生看數學美教學[J].數學教育學報，2008，17（2）：5-7.

[2]徐本順.數學中的美學方法[M].南京：江蘇教育出版社，1990：59.