伍建偉 唐亮 鮑家定 李雪梅

摘 要：理論力學(xué)是工科學(xué)生的一門(mén)重要的技術(shù)基礎(chǔ)課程，該課程的難點(diǎn)大多集中在運(yùn)動(dòng)學(xué)部分。對(duì)此，該文對(duì)理論力學(xué)運(yùn)動(dòng)部分的連體基和位形坐標(biāo)進(jìn)行了敘述，簡(jiǎn)述了運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本原理。通過(guò)一個(gè)曲柄滑塊機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的例子，讓學(xué)生領(lǐng)略一般性的規(guī)律，加深學(xué)生對(duì)該課程知識(shí)的理解，提高學(xué)生們學(xué)習(xí)的信心和興趣。

關(guān)鍵詞：工科；理論力學(xué)；運(yùn)動(dòng)學(xué)；教學(xué)研究

中圖分類(lèi)號(hào)：O311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

理論力學(xué)是工科學(xué)生的一門(mén)技術(shù)基礎(chǔ)課程[1， 2]。該課程主要研究的是平面剛體與平面剛體系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，要求學(xué)生通過(guò)一定的簡(jiǎn)化建立相應(yīng)的力學(xué)模型（ 質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、剛體和剛體系） ，利用理論力學(xué)的原理和方法建立數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)解析或數(shù)值方法對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解的過(guò)程。工科理論力學(xué)課程分為靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)三個(gè)部分?！斑\(yùn)動(dòng)學(xué)”是理論力學(xué)課程重要的組成部分，是動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)，學(xué)生只有牢牢掌握了運(yùn)動(dòng)學(xué)的原理與方法才能真正學(xué)會(huì)這門(mén)課程。對(duì)此，本文結(jié)合自身的教學(xué)體會(huì)，在簡(jiǎn)要介紹理論力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本原理的基礎(chǔ)上，舉例來(lái)說(shuō)明運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的過(guò)程。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)

理論力學(xué)主要研究平面剛體運(yùn)動(dòng)的一門(mén)學(xué)科，剛體與剛體之間通過(guò)一定的聯(lián)接方式從而實(shí)現(xiàn)特定的運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)學(xué)是在不考慮物體運(yùn)動(dòng)成因的前提下來(lái)研究物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，它是從幾何學(xué)上研究物體的運(yùn)動(dòng)關(guān)系。通俗點(diǎn)說(shuō)就是在剛體系中已知某些剛體或剛體上某些點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求解隨時(shí)間變化的未知?jiǎng)傮w的位移、速度、加速度等運(yùn)動(dòng)學(xué)量。

2 連體基與剛體位形的描述

圖1為平面剛體連體基和位形坐標(biāo)的描述，連體基是以剛體上一點(diǎn)C為基點(diǎn)構(gòu)造的一個(gè)正交基與該剛體固接的坐標(biāo)系，夾角φ為連體基與參考基的夾角（姿態(tài)角）。連體基Cxbybzb相對(duì)于參考基oxryrzr的方向余弦矩陣為：

Arb=cos（φ）sin（φ）sin（φ）cos（φ）（1）

圖1 平面剛體連體基和位形坐標(biāo)的描述

對(duì)于平面剛體，如果已知基點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)和姿態(tài)角φ，那該剛體上任意點(diǎn)位移變化可由這三個(gè)標(biāo)量完全確定。這三個(gè)標(biāo)量稱(chēng)為剛體的位形坐標(biāo)，它們組成一個(gè)位形坐標(biāo)陣（xc，yc，φ）。

3 剛體上給定點(diǎn)的位置、速度和加速度

根據(jù)兩個(gè)坐標(biāo)之間的關(guān)系，可知?jiǎng)傮w上給定點(diǎn)P的坐標(biāo)陣為[3]：

xpyp=xcyc+Arbρp（2）

其中，ρp表示P點(diǎn)相對(duì)于連體基坐標(biāo)系的坐標(biāo)陣?？紤]到剛體是任意兩點(diǎn)之間相對(duì)位置保持不變的物體，因此ρp=常數(shù)。

根據(jù)式（2）可知，剛體上給定點(diǎn)P的速度和加速度坐標(biāo)陣為：

pp=cc+ddt（Arb）ρp（3）

pp=cc+d2dt2（Arb）ρp（4）

根據(jù)式（2）、（3）、（4）可知，要完全確定剛體上點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，首先要獲得位形坐標(biāo)、速度位形坐標(biāo)和加速度位形坐標(biāo)，即（xc，yc，φ）、（c，c，）和（c，c，）。求得平面剛體的這9個(gè)位形參數(shù)后，該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律也就完全確定了，故理論力學(xué)的運(yùn)動(dòng)學(xué)部分的任務(wù)主要就是求解各個(gè)剛體的位形坐標(biāo)、速度位形坐標(biāo)和加速度位形坐標(biāo)。

4 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析舉例

圖2為某曲柄滑塊機(jī)構(gòu)笛卡爾坐標(biāo)描述剛體位形。其中曲柄為剛體B1、連桿為剛體B2、滑塊為剛體B3，已知曲柄的初始轉(zhuǎn)角為φ0、角速度為1、角加速度為1，曲柄長(zhǎng)為l1，連桿長(zhǎng)為l2，偏心距為h，求連桿B2和滑塊B3質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

圖2 某曲柄滑塊機(jī)構(gòu)笛卡爾坐標(biāo)描述的剛體位形

（1） 定義各個(gè)剛體的連體基。各個(gè)剛體的連體基定義為如圖2所示，其中oxyz為參考基。事實(shí)上，運(yùn)動(dòng)學(xué)中連體基的基點(diǎn)可以取在剛體的任意位置。

（2） 建立系統(tǒng)的約束條件，計(jì)算系統(tǒng)的自由度。通過(guò)計(jì)算各個(gè)剛體的三個(gè)位形坐標(biāo)隨時(shí)間變化關(guān)系，即可得到該機(jī)構(gòu)位形變化運(yùn)動(dòng)規(guī)律?？偟奈恍巫鴺?biāo)為9個(gè)，即（x1，y1，φ1，x2，y2，φ2，x3，y3，φ3）。仔細(xì)分析可知，該系統(tǒng)有8個(gè)約束方程，分別為：x1=0，y1=0，x2=l1cos（φ1），y2=l1sin（φ1），x3=l1cos（φ1）+l2cos（φ2），y3=l1sin（φ1）+l2sin（φ2），l1sin（φ1）+l2sin（φ2）h=0，φ3=0?？偽恍巫鴺?biāo)陣未知參數(shù)有9個(gè)，約束方程有8個(gè)，故該機(jī)構(gòu)的自由度為1。另外，總的速度位形坐標(biāo)陣有9個(gè)，即（1，1，1，2，2，2，3，3，3）；總的加速度位形陣有9個(gè)，即（1，1，1，2，2，2，3，3，3）。求得這27個(gè)未知參數(shù)便可完全確定該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

（3） 化簡(jiǎn)整理，求解方程，得到總位形坐標(biāo)陣。由于φ1已知，根據(jù)l1sin（φ1）+l2sin（φ2）h=0，利用數(shù)值方法[4]可以求得φ2，再根據(jù)約束方程即可求得總位形坐標(biāo)陣的各個(gè)參數(shù)。

（4） 計(jì)算總速度位形坐標(biāo)陣。由于φ1、1、φ2已知，對(duì)l1sin（φ1）+l2sin（φ2）-h=0進(jìn)行求導(dǎo)，利用數(shù)值方法，即可得到2。根據(jù)求得的總位形坐標(biāo)陣和約束方程對(duì)時(shí)間的一次導(dǎo)數(shù)的方程，即可求得總速度位形坐標(biāo)陣的各個(gè)參數(shù)。

（5） 計(jì)算總加速度位形坐標(biāo)陣。根據(jù)求得的總位形坐標(biāo)陣和總速度位形坐標(biāo)陣，以及對(duì)約束方程求時(shí)間兩次導(dǎo)數(shù)的方程，同理容易求得總加速度位形坐標(biāo)陣的各個(gè)參數(shù)。

（6） 確定剛體上關(guān)鍵點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。本例要計(jì)算剛體B2質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，由于B2質(zhì)心C點(diǎn)在剛體B2上，有：

xcyc=xc2yc2+A2ρ2c（5）

其中，A2為連體基c2x2y2z2相對(duì)于參考基o-xyz的方向余弦陣，ρ2c為剛體B2上C點(diǎn)相對(duì)于連體基c2-x2y2z2的坐標(biāo)陣，易知為l220。

同理，由式（3）和（4）表示剛體B2質(zhì)心的速度和加速度。因此，利用已求得的B2剛體的9個(gè)位形坐標(biāo)即可得到剛體B2質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

注意：本文對(duì)曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析是時(shí)間歷程分析，因此三個(gè)活動(dòng)剛體共有27個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)（總位形坐標(biāo)、總速度位形坐標(biāo)和總加速度位形坐標(biāo)），它們均是隨時(shí)間變化的量；理論力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)的數(shù)學(xué)模型是代數(shù)方程組，并且大多數(shù)情況是非線性代數(shù)方程組，因此運(yùn)動(dòng)學(xué)分析主要任務(wù)是求解該非線性代數(shù)方程組；有關(guān)約束條件的建立可參考文獻(xiàn)[3]；有關(guān)數(shù)值方法求解非線性代數(shù)方程可參考文獻(xiàn)[4]。

5 結(jié)語(yǔ)

本文以理論力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)部分為例，簡(jiǎn)要介紹了該部分基本原理，通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明了利用運(yùn)動(dòng)學(xué)基本原理進(jìn)行系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的過(guò)程。在理論力學(xué)的教學(xué)過(guò)程中采用本文的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析過(guò)程易于被學(xué)生所接受，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的自信心，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，加深學(xué)生知識(shí)的理解具有一定的積極作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]邢利英，王新征.工科理論力學(xué)教學(xué)改革與實(shí)踐[J].南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（03）：107109.

[2]葉紅玲，劉趙淼，李曉陽(yáng).理論力學(xué)課程中3W1H教學(xué)法的應(yīng)用[J].力學(xué)與實(shí)踐，2014（01）：98100.

[3]洪嘉振，楊長(zhǎng)俊.理論力學(xué)第3版[M].高等教育出版社， 2008.

[4]李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].北京：清華大學(xué)出版社， 2008.

基金項(xiàng)目：2016年桂林電子科技大學(xué)教育教學(xué)改革項(xiàng)目（JGB201601）；2017年廣西高等教育本科教學(xué)改革工程項(xiàng)目（2017JGB221）；2016廣西創(chuàng)優(yōu)計(jì)劃項(xiàng)目

作者簡(jiǎn)介：伍建偉（1989），湖南永州人，碩士，助教，研究方向：機(jī)械動(dòng)力學(xué)與優(yōu)化算法應(yīng)用研究。