田衛(wèi)東

[摘 要] 用“點差法”求解雙曲線的“中點弦”問題時，常常會出現(xiàn)“中點弦”時而存在，時而又不存在的情況，本文通過分析研究，發(fā)現(xiàn)了“中點弦”不存在的原因，同時給出如何運用數(shù)形結(jié)合判斷“中點弦”是否存在的方法.

[關鍵詞] “雙曲線”；“中點弦”；“點差法”；“思考研究”

在求解圓錐曲線的一類問題時，若題目中給出直線與圓錐曲線相交被截得線段中點坐標的時候，把直線和圓錐曲線的兩個交點坐標代入圓錐曲線的方程，然后將兩個等式作差，得到一個與弦的中點坐標和斜率有關的式子，從中求出直線的斜率，然后利用中點求出直線方程. 通常我們將與圓錐曲線的弦的中點有關的問題稱之為圓錐曲線的“中點弦”問題，把這種代點作差的方法稱為“點差法”. 對于“中點弦”問題，如果能適時運用點差法，可以達到“設而不求”的目的，同時，還可以減少解題的運算量，優(yōu)化解題過程. 因此，在直線與圓錐曲線的教學中，若涉及弦的中點問題，老師們都喜歡教給學生這種解題方法，學生們也會從各種教輔資料中學會這種方法. 近日，我們正在學習雙曲線的有關內(nèi)容，用這種方法處理直線和雙曲線的“中點弦問題”時，出現(xiàn)了一些“小麻煩”，從而也引起了筆者的一些思考.

學生的疑問

在雙曲線的習題課上，學生遇到了這樣一個問題：已知雙曲線方程-=1.

（1）過點M（1，1）的直線交雙曲線于A，B兩點，若M為弦AB的中點，求直線AB的方程.

（2）是否存在直線l，使1，為l被該雙曲線所截弦的中點，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

由于學習橢圓時已經(jīng)涉及了“中點弦”的問題及解法，所以大部分學生使用了“點差法”求解，少部分學生根據(jù)直曲聯(lián)立，利用韋達定理及中點坐標公式進行求解，但解題速度較慢，用“點差法”求解的學生很快解出了結(jié)果.

用“點差法”求解如下：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），則x-2y=4，x-2y=4，兩式相減得（x1+x2）（x1-x2）-2（y1+y2）（y1-y2）=0，所以=. 又因為x1+x2=2，y1+y2=2，所以=，所以直線AB的方程為y-1=（x-1），即x-2y+1=0.

同法可解第（2）題中直線l的方程為：2x-2y-1=0. 但由方程組x2-2y2=4，2x-2y-1=0得2x2-4x+9=0. 根據(jù)Δ=-56<0，說明所求直線不存在.

從上面兩個問題的求解過程來看，似乎天衣無縫，但結(jié)果卻大相徑庭.于是，一部分學生便有了疑問：用點差法求解橢圓“中點弦”問題的時候，直線都是存在的，從來不用檢驗，為什么雙曲線的“中點弦”卻要進行檢驗呢？下課后，一名成績優(yōu)秀的學生更是直接表達了自己的困惑：老師，我們求解的過程是正確的，可是直線為什么不存在呢？帶著這個問題，筆者回到了辦公室，經(jīng)過反復思考計算、畫圖分析，終于得知了直線不存在的原因.

直線去哪兒了

我們以雙曲線-=1為例進行說明. 設直線l與所給雙曲線的交點A，B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），線段AB的中點為M（x0，y0），則有b2x-a2y=a2b2，b2x-a2y=a2b2，兩式相減得b2（x1+x2）（x1-x2）-a2（y1+y2）·（y1-y2）=0，所以==，即kAB=.

再考察雙曲線-=1的共軛雙曲線-=1，設直線l與它的交點A，B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），線段AB的中點為M（x0，y0），則有a2y-b2x=a2b2，a2y-b2x=a2b2，兩式相減得a2（y1+y2）（y1-y2）-b2（x1+x2）（x1-x2）=0，所以==，即kAB=.

我們發(fā)現(xiàn)，這兩個結(jié)果竟然完全一樣！顯然，用“點差法”求解雙曲線的“中點弦”問題時，所求得的kAB=并不僅僅是直線l與雙曲線-=1的“中點弦”的專利，同時也是l與雙曲線-=1的“中點弦”的運算結(jié)果. 從而也就找到了直線l為什么時而存在，時而又不存在的原因，原來是共軛雙曲線在“作怪”！由此不難得知，雖然第（2）題中所求的直線l對于雙曲線-=1不存在，但對于它的共軛雙曲線-=1而言，“中點弦”卻是存在的.

可以這樣判斷“中點弦”是否存在

除了可以通過直曲聯(lián)立，用一元二次方程根的判別式判斷“中點弦”是否存在以外，我們還有沒有別的方法可用呢？下面，在同一坐標系中分別畫出雙曲線-=1和-=1. 如圖1所示：陰影部分是滿足-<1和-<1的所有點構(gòu)成的區(qū)域，又被兩條漸近線分成了上、下、左、右四部分，把它們分別記為區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ.

下面，我們先給出一個結(jié)論.設直線l的方程為：y=kx+m，代入方程-=1中可得（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2（m2+b2）=0，其中Δ=4a2b2（m2+b2-a2k2），x1x2=.

結(jié)論1：當b2-a2k2>0，即k2<時，Δ>0且x1x2<0，這說明直線l一定與-=1的左、右兩支各交于一點；同理可得結(jié)論2：當b2-a2k2<0，即k2>時，l一定與雙曲線-=1的上、下兩支各交于一點.

設弦AB的中點M（x0，y0）是區(qū)域Ⅰ或區(qū)域Ⅲ內(nèi)的任意一點（不包括邊界），則（x0，y0）滿足以下三個條件：①-<1；②-<1；③a2y-b2x>0. 因為kAB=，且a2y-b2x>0，所以k=<，這就說明直線l與雙曲線-=1的左、右兩支各交于一點. 同理，當M（x0，y0）是區(qū)域Ⅱ和區(qū)域Ⅳ內(nèi)的任意一點（不包括邊界）時，k>，直線l與雙曲線-=1的上、下兩支各交于一點.這樣，我們就知道本文開始時（1）（2）兩個問題的結(jié)果為何不同的原因了，因為點M（1，1）在區(qū)域Ⅰ，而N1，在區(qū)域Ⅳ.

綜合以上分析，用“點差法”求解雙曲線的“中點弦”問題時，除了可以用一元二次方程根的判別式驗證滿足條件的直線是否存在以外，還可以通過作圖，根據(jù)弦的中點M（x0，y0）的具體位置判斷“中點弦”是否存在，這樣就會減少運算量，同時也是對“點差法”求雙曲線“中點弦”的一點補充和完善. 一般而言，這類題目中所求弦的中點基本上都在上述四個區(qū)域內(nèi)，若弦AB的中點M（x0，y0）不屬于上述四個區(qū)域，即M（x0，y0）滿足->1或-<1時，也可以按照上面的方法推導相關結(jié)論.

后記

很多的參考資料上都有直線和雙曲線的“中點弦”這類題目，它們往往這樣告訴學習者：用“點差法”求解雙曲線的中“中點弦”問題時，要注意對結(jié)果進行檢驗，但從來沒有解釋求得的直線為什么會不存在. 本文通過對該問題的分析，希望學生在學習數(shù)學的過程中要勤于思考、善于研究，不能過分地依賴各種教輔資料，更不要把數(shù)學的學習僅僅當作背公式、記結(jié)論、按套路解題. 事實上，在平時的學習過程中，針對一些典型問題多分析、多思考、多鉆研，做到相似問題一般化，一般問題特殊化，多進行一題多解、多題一解的訓練……，這樣才能提升自己的數(shù)學思維品質(zhì)，提高自身的數(shù)學素養(yǎng)，從而很好地完成高中數(shù)學的學習任務，也為將來能夠適應大學數(shù)學的學習打下良好的基礎.