◎袁敬豐 張曉霞 鄭云芳

深度體驗(yàn) 適時(shí)提煉 清晰表達(dá)
——小學(xué)生抽象思維能力培養(yǎng)例談

◎袁敬豐 張曉霞 鄭云芳

學(xué)會(huì)思維，是數(shù)學(xué)學(xué)科所應(yīng)關(guān)注的核心素養(yǎng)。抽象是一種重要的思維方法，它貫穿于小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。那么，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力呢？現(xiàn)以蘇教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》六年級(jí)《正比例的意義》一課為例說(shuō)明進(jìn)行。

一、認(rèn)識(shí)相關(guān)聯(lián)的量

師：孩子們，老師第一次來(lái)到你們這個(gè)城市，昨天在街上溜達(dá)了下，感覺(jué)真是漂亮，到處都是高樓大廈，（屏顯高樓圖）仔細(xì)觀察，你看到了什么？

生1：我看到大樓越來(lái)越高。

師：那大樓的層數(shù)呢？

生2：大樓的層數(shù)在一層一層地增多。

師：把這兩句話連起來(lái)說(shuō)一說(shuō)好嗎？

生2：大樓的層數(shù)在增多，樓的高度也越來(lái)越高。

師：說(shuō)得真好！隨著樓的層數(shù)的增多，樓的高度也越來(lái)越高。在數(shù)學(xué)上我們把這樣有關(guān)系的兩種量叫做相關(guān)聯(lián)的量。在下面的場(chǎng)景中你也能找到相關(guān)聯(lián)的量嗎？（出示四幅圖）

生3：我們?nèi)コ匈I蘋(píng)果的時(shí)候買的數(shù)量越多，要付的錢就越多，買的數(shù)量越少，要付的錢就越少，所以數(shù)量和總價(jià)是兩種相關(guān)聯(lián)的量。

師：看圖2，老師帶這么多錢買蘋(píng)果，用去的少，剩下的就多；用去的多，剩下的就少。

生4：用去的錢和剩下的錢是兩種相關(guān)聯(lián)的量。

生5：在太陽(yáng)底下，物體越高，影子越長(zhǎng)，所以物體的高度和影子的長(zhǎng)度是兩種相關(guān)聯(lián)的量。

生6：從第四幅圖，我知道杯子的粗細(xì)和水的高度是兩種相關(guān)聯(lián)的量。

師：你說(shuō)的杯子的粗細(xì)，其實(shí)就是杯子的底面積。

生7：杯子的底面積和水的高度是兩種相關(guān)聯(lián)的量。

師：在這些圖中我們都找到了兩種相關(guān)聯(lián)的量，相關(guān)聯(lián)，你理解了嗎？

生8：一種量變化，另一種量也跟著變化。

師：這個(gè)“跟著”說(shuō)得多好??！可見(jiàn)這兩種量的關(guān)系得有多親密??！

理解正比例的意義，首先要理解什么是相關(guān)聯(lián)的量。教師選取學(xué)生熟悉的樓房為話題，自然調(diào)動(dòng)起學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)：樓房的高度隨著層數(shù)的變化而變化，樓層數(shù)越多，樓房越高?？此茻o(wú)意的閑聊中，相關(guān)聯(lián)的概念已萌發(fā)。接著出示四幅學(xué)生生活中常見(jiàn)的場(chǎng)景圖，目的是讓學(xué)生借助知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)并通過(guò)觀察、比較、分析、想象等活動(dòng)，進(jìn)一步理解什么是相關(guān)聯(lián)的量，培養(yǎng)學(xué)生的判斷、推理能力。

二、探究正比例的意義

（一）探究路程和時(shí)間的變化規(guī)律

師：老師在汽車?yán)锍瘫砩喜杉竭@樣一組數(shù)據(jù)，仔細(xì)觀察，猜一猜這里路程的變化可能會(huì)跟什么有關(guān)系？

路程（千米） 8 0 1 0 0 1 6 0 2 0 0 2 4 0 2 5 0 ……

生1：可能跟開(kāi)車的速度有關(guān)系。

生2：可能跟開(kāi)車的時(shí)間有關(guān)系。

師：用上我們剛剛認(rèn)識(shí)的“相關(guān)聯(lián)”來(lái)說(shuō)一說(shuō)？

生1：路程和速度是兩種相關(guān)聯(lián)的量。

生2：路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量。

師：繼續(xù)看這張表格，現(xiàn)在你認(rèn)為路程更有可能跟誰(shuí)相關(guān)聯(lián)？

路程（千米） 8 0 1 6 0 2 4 0 3 2 0 ……

生3：這里路程的變化更可能跟時(shí)間相關(guān)聯(lián)。

師：猜得真準(zhǔn)，仔細(xì)觀察表格，你有什么發(fā)現(xiàn)？可以先在作業(yè)紙上寫(xiě)一寫(xiě)，然后在小組里互相說(shuō)一說(shuō)。

時(shí)間（小時(shí)）1 2 3 4路程（千米）8 0 1 6 0 2 4 0 3 2 0…………

學(xué)生獨(dú)立思考，小組交流后進(jìn)行全班交流。

生1：時(shí)間在變多，路程也在變多。

生2：從左往右看時(shí)間在變多，路程也跟著在變多。從右往左看時(shí)間在變少，路程也跟著在變少。

師：從不同角度發(fā)現(xiàn)兩種量之間的變化，說(shuō)的真全面。

生3：路程和時(shí)間是兩種相關(guān)量的量。

師：一句話就把剛才這兩位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)概括地表達(dá)出來(lái)，學(xué)了就能用，真好.

師：剛才這幾位同學(xué)都看到了這兩種量的變化情況，你們也發(fā)現(xiàn)了嗎？還有什么不同的發(fā)現(xiàn)嗎?

生4：我發(fā)現(xiàn)路程和時(shí)間不但是兩種相關(guān)聯(lián)的量，而且速度是始終不變的。

師：你的發(fā)現(xiàn)與眾不同，請(qǐng)你再大聲說(shuō)一遍。都聽(tīng)到了嗎?看一看，想一想，她說(shuō)的對(duì)嗎？

師：還有的同學(xué)還在思考，就請(qǐng)你當(dāng)小老師來(lái)講一講你是怎么發(fā)現(xiàn)速度不變的？

生4：80÷1=80160÷2=80 240÷3=80……這里的商就是速度，始終沒(méi)有變。

師：剛才這兩位同學(xué)都能用聯(lián)系的眼光從變化中看到了不變，真了不起！他們?cè)谂e例證明的時(shí)候不管是求商還是寫(xiě)比，都注意到80和1為一組，160和2為一組……這又給我們什么啟示呢？

生6：路程除以相對(duì)應(yīng)的時(shí)間，求出的值才有意義。

師：回顧剛才的學(xué)習(xí)過(guò)程，你能把你的發(fā)現(xiàn)作一個(gè)簡(jiǎn)單的總結(jié)嗎？

生7：路程是跟著時(shí)間的變化而變化的。

生8：路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，它們的比值始終不變。

師：兩種相關(guān)聯(lián)的量在不斷地變化，這是我們看到的現(xiàn)象；而相對(duì)應(yīng)的數(shù)的比值一定，這是我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。是什么原因使得它們的比值始終不變呢？我們需要探究規(guī)律背后的真相了。

這個(gè)問(wèn)題有點(diǎn)難度，我們一起來(lái)吧，從1小時(shí)80千米開(kāi)始，時(shí)間從1到2擴(kuò)大2倍，相應(yīng)的路程也從80到160擴(kuò)大2倍。

生9：時(shí)間從1到3擴(kuò)大3倍，路程也從80到240也擴(kuò)大了3倍。

生10：我知道了，這里其實(shí)就是比的基本性質(zhì)。

生11：也可以看作是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

生12：還可以看作商不變的規(guī)律。

師：現(xiàn)在大家明白比值為什么不變了吧？學(xué)數(shù)學(xué)我們就要這樣知其然，更要知其所以然。

師：剛才我們從不同的角度來(lái)觀察這張表格，現(xiàn)在把大家的發(fā)現(xiàn)來(lái)總結(jié)一下，請(qǐng)你想一想，填一填，說(shuō)一說(shuō)。

（二）探究樓層數(shù)與樓的高度的變化規(guī)律

師：你能用同樣的方法來(lái)研究樓的高度和層數(shù)之間的規(guī)律嗎？

屏顯下表。

樓層數(shù)（層）4 5樓的高度（米）1 3 2 6 3 9 1 2 1 5

學(xué)生思考后回答：

生1：樓層數(shù)和樓的高度是兩種相關(guān)聯(lián)的量。

生2：樓的高度和樓層數(shù)的比值也是一定的。

師：這個(gè)比值是多少？表示什么意思？

生3：樓的高度和樓層數(shù)的比值是3，表示每層樓的高度。

師：能寫(xiě)出它們之間的關(guān)系式嗎？

3.引導(dǎo)抽象正比例的意義

師：這是我們剛才研究的兩組相關(guān)聯(lián)的量（屏顯）。

時(shí)間（小時(shí)）1 2 3 4路程（千米）8 0 1 6 0 2 4 0 3 2 0層數(shù)（層）4樓的高度（米）1 3 2 6 3 9 1 2

師：在這里，我們把路程和時(shí)間就叫做成正比例的量；同樣的，樓的高度和層數(shù)也叫做成正比例的量?？粗@兩張表格想一想：怎樣的兩種量就是成正比例的量？請(qǐng)大家先獨(dú)立思考，然后在小組里說(shuō)一說(shuō)。

這是學(xué)生第一次真正探究成正比例的兩個(gè)量之間的關(guān)系。教師采取細(xì)思慢想的策略，首先出示一張數(shù)據(jù)無(wú)規(guī)律的表格讓學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)猜想路程和什么相關(guān)聯(lián)，然后出示一張數(shù)據(jù)有規(guī)律的表格讓學(xué)生猜想路程和什么相關(guān)聯(lián)，自然地引導(dǎo)學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)走向數(shù)學(xué)思考。接著，進(jìn)一步引導(dǎo)觀察、思考路程是怎樣隨著時(shí)間的變化而變化的，再組織組內(nèi)交流、全班反饋。學(xué)生的思維得以沉潛，并在思維的碰撞中漸漸地發(fā)現(xiàn)路程與時(shí)間的變化規(guī)律。教師的適當(dāng)追問(wèn)、講解，凸顯了對(duì)應(yīng)的量，滲透了比較的方法和對(duì)應(yīng)思想。教師引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)多角度探究比值一定的深層原因，促使學(xué)生自主構(gòu)建、完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，思維得以通透。在學(xué)生研究了路程與時(shí)間的變化關(guān)系后，教師再次放手讓學(xué)生探究樓層數(shù)與樓的高度的關(guān)系，旨在豐富學(xué)生的感知，加深學(xué)生的體驗(yàn)，有利于學(xué)生歸納、發(fā)現(xiàn)正比例的意義。通過(guò)路程與時(shí)間、樓層數(shù)與樓的高度變化規(guī)律的研究，學(xué)生已經(jīng)積累了一定的感性認(rèn)識(shí)，教師適時(shí)地集中出現(xiàn)兩張表，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、比較、分析，舍棄其數(shù)據(jù)不同、現(xiàn)象不同等非本質(zhì)屬性，概括正比例的意義。

三、運(yùn)用新知，解決問(wèn)題

師：認(rèn)識(shí)了正比例，我們?cè)趺慈ヅ袛鄡煞N量是不是成正比例呢？請(qǐng)大家來(lái)試一試。出示：購(gòu)買一種鉛筆的數(shù)量和總價(jià)如下表：

數(shù)量（支） 1 2 3 4 5 ……總價(jià)（元） 0 . 4 0 . 8 1 . 2 1 . 6 2 ……

（1）觀察上表,說(shuō)說(shuō)總價(jià)是隨著哪個(gè)數(shù)量的變化而變化的？

（2）寫(xiě)出幾組對(duì)應(yīng)的總價(jià)和數(shù)量的比，并比較比值的大小。

（3）這個(gè)比值表示的實(shí)際意義是什么？你能用式子表示它與總價(jià)、數(shù)量之間的關(guān)系嗎？

（4）鉛筆的總價(jià)和數(shù)量成正比例嗎？為什么？

師：相對(duì)于你們得到的結(jié)論，老師更感興趣的是：你們是怎么判斷的？

生1：數(shù)量在變總價(jià)也在變，數(shù)量和總價(jià)是兩種相關(guān)聯(lián)的量。

生2：數(shù)量和總價(jià)是兩種相關(guān)聯(lián)的量，而且它們的比值也是一定的都是0.4，表示這種鉛筆的單價(jià)。

師：有了判斷兩種量成正比例的方法，下面就讓我們牛刀小試一下。（屏顯課初的四幅圖）剛才我們?cè)谶@些圖中都找到了兩種相關(guān)聯(lián)的量，他們都成正比例嗎？為什么？

師：生活中，像這樣成正比例關(guān)系的兩種量還有很多很多，請(qǐng)?jiān)谛〗M里互相說(shuō)一說(shuō)？（略）

師：數(shù)學(xué)的神奇就在于簡(jiǎn)潔，你能想辦法用字母來(lái)表示正比例關(guān)系嗎？

師：在數(shù)學(xué)上我們一般用y和x來(lái)表示像這樣的兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k來(lái)表示它們的比值，這樣正比例關(guān)系式我們就可以寫(xiě)成=k（一定）。

師：學(xué)習(xí)正比例有什么用呢？

時(shí)間1 2 3 4 6路程8 0 1 6 0 2 4 0 3 2 0（）時(shí)間（小時(shí)）1 2 3 6路程（千米）8 0 1 0 0 2 1 0（）

師：從這兩張表格中，我們都可以預(yù)測(cè)出6小時(shí)行駛的路程嗎？

生8：第一張表格可以預(yù)測(cè)出行駛的路程。

師：為什么呢？

生9：第一張表格中路程和時(shí)間成正比例，第二張表格中路程和時(shí)間不成正比例。

師：那我們來(lái)預(yù)測(cè)下6小時(shí)可行多少千米，行800千米需要多少小時(shí)？

時(shí)間1 2 3 4 6路程8 0 1 6 0 2 4 0 3 2 0（）（）8 0 0…………

師：學(xué)習(xí)正比例可以幫助我們進(jìn)行合理的預(yù)測(cè)、判斷。

這里的練習(xí)，旨在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用正比例的意義對(duì)生活中的問(wèn)題進(jìn)行分析判斷、預(yù)測(cè)，加深學(xué)生對(duì)正比例意義的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、數(shù)據(jù)分析觀念以及解決實(shí)際問(wèn)題的能力。讓學(xué)生用字母表示關(guān)系式，是學(xué)生抽象思維的再一次具體表現(xiàn)。教師對(duì)學(xué)生思考過(guò)程與方法的追問(wèn)，體現(xiàn)教師不僅關(guān)注學(xué)生思維的結(jié)果，更關(guān)注學(xué)生思維的過(guò)程以及能否有條理地表達(dá)。

四、回顧反思、積累經(jīng)驗(yàn)

師：學(xué)到這里，能說(shuō)說(shuō)這節(jié)課的收獲嗎？

生1：我知道了什么叫做正比例。

生2：我學(xué)會(huì)了如何去判斷兩種量成正比例。

生3：我知道了不是所有的相關(guān)聯(lián)的兩種量都是成正比例的量。

師：老師為同學(xué)們有這么多收獲感到高興。我們?cè)僖黄饋?lái)看課題，正比例，哪個(gè)詞我們特別熟悉?。?/p>

生：比例。

師：那這個(gè)“正”字我們?cè)撛趺蠢斫饽兀?/p>

師：在剛才的例題中，路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，如果老師這樣表示時(shí)間，→（動(dòng)態(tài)演示）時(shí)間在變，路程會(huì)隨著它一起變→?，F(xiàn)在理解這個(gè)“正”字了嗎？

如果我把時(shí)間這樣表示，→路程這樣表示↑，我們又會(huì)以怎樣的方式來(lái)表達(dá)他們之間的關(guān)系呢？下節(jié)課我們來(lái)研究。

這一環(huán)節(jié)，通過(guò)回顧學(xué)習(xí)過(guò)程，幫助學(xué)生積累觀察、比較、推理等數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思維經(jīng)驗(yàn)。對(duì)課題中“正”字的提問(wèn)，使學(xué)生的思維從深入走向淺出，最后一問(wèn)，則使學(xué)生帶著問(wèn)題走出教室，為下節(jié)課學(xué)習(xí)正比例的圖像埋下伏筆。

豐富而有深度的體驗(yàn)是抽象的基礎(chǔ)。感知越豐富、體驗(yàn)越深刻，才越有利于學(xué)生抽象出知識(shí)的本質(zhì)。所以，感知的內(nèi)容要是學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的，能喚起他們已有的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)；感知的步子要小一些，每一步要堅(jiān)實(shí)，不能浮光掠影；感知的時(shí)間要充足，要能讓學(xué)生靜得下心，細(xì)思慢想；感知的氛圍要寬松民主，讓學(xué)習(xí)像呼吸一樣自然；感知的方法要多樣，要設(shè)計(jì)觀察、操作、比較等有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)引領(lǐng)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)。

適時(shí)比較提煉是抽象的關(guān)鍵。適時(shí)，需要教師精準(zhǔn)地把握學(xué)情、調(diào)控教學(xué)，過(guò)早，勢(shì)必有火候不到、生拉硬拽的感覺(jué)，過(guò)遲，學(xué)生往往會(huì)被過(guò)多的非本質(zhì)屬性所牽絆，抓不住本質(zhì)。這個(gè)階段，學(xué)生往往會(huì)看山是山，看水是水，教師要注意培養(yǎng)學(xué)生跳出一個(gè)個(gè)具體的情境，抽取出共同的、本質(zhì)的屬性而舍棄個(gè)別的、非本質(zhì)的屬性。

準(zhǔn)確清晰地表達(dá)是抽象的外顯結(jié)果。語(yǔ)言是思維的外殼，想得清楚，方能說(shuō)得明白。把思維的過(guò)程用一定的語(yǔ)言形式表達(dá)出來(lái)，思維會(huì)更加清晰，對(duì)知識(shí)的理解會(huì)更加深刻。教學(xué)中，教師要組織學(xué)生充分地交流，一方面可以了解學(xué)情，調(diào)控教學(xué)，另一方面，可以促進(jìn)學(xué)生思維的碰撞，在碰撞中完善認(rèn)知；要鼓勵(lì)學(xué)生個(gè)性化地表達(dá)，可以是文字、符號(hào)、圖表等多種形式。

（作者單位：江蘇省鹽城市亭湖區(qū)教研室，鹽城市亭湖新區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）