●鄔云德(石浦中學 浙江象山 315731)

數(shù)學原理教學方法*
——以“由平行線截得的比例線段”為例

●鄔云德
(石浦中學 浙江象山 315731)

在以“由平行線截得的比例線段”為載體的研修活動中發(fā)現(xiàn)，課堂教學普遍沒有遵循原理教學的基本規(guī)范．鑒于此，文章在重復式觀課與反思基礎上，對該課的教學進行重建，改進后的教學過程與效果得到了同仁認可．

數(shù)學原理；比例線段；教學方法；案例分析

1 背景介紹

數(shù)學原理是在觀察、實踐的基礎上，經(jīng)過歸納、概括得出的普遍規(guī)律或基本方法，它包括數(shù)學中的事實、運算律、法則、方法、規(guī)律等．一般地，數(shù)學原理教學要經(jīng)歷“提出問題→操作觀察→歸納猜想→多樣表達→解決問題→反思內(nèi)化”的基本過程．但在以浙教版《數(shù)學》九年級上冊第4.2 節(jié)“由平行線截得的比例線段”為載體的“多人同課異構(gòu)”式的研修活動中發(fā)現(xiàn)，課堂教學普遍沒有遵循原理教學的基本規(guī)范．筆者查閱網(wǎng)上同類課例發(fā)現(xiàn)也有類似現(xiàn)象．鑒于此，筆者在重復式觀課與反思基礎上，對該課的教學進行重建，改進后的教學過程與教學效果得到了同仁的認可．現(xiàn)將其整理出來，以饗讀者．

2 教學實錄

環(huán)節(jié)1 經(jīng)歷回顧并提出問題的過程——明確研究問題

師：如圖2，若將“DE是△ABC的中位線”改為“3條等距離的平行線”，則上述結(jié)論成立嗎？為什么？

生1：上述結(jié)論同樣成立．因為3條平行線等距離，所以AD=DB，AE=EC．

師：不錯．一般地，若3條等距離的平行線截2條直線，則所得的對應線段成比例嗎？

生2：同理可得，所得的對應線段成比例．

師：由此，還能推演出哪些真命題？

生3：若4條等距離的平行線截2條直線，則所得的對應線段成比例．

生4：若n條等距離的平行線截2條直線，則所得的對應線段成比例．師：一般地，如圖3，若l1,l2,l3,l4，…是一組等距離的平行線，l與m是任意畫的2條直線(相交或平行)，分別與這組平行線依次相交于點A，B，C，D，…和A′，B′，C′，D′，…，則

因為平行線等距離，所以

AB=BC=CD=…，

A′B′=B′C′=C′D′=…,

反之也成立．

師：如圖4，若將圖1中的△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，則

圖4 圖5

師：若將圖4改成圖5(3條直線互相平行)，則由圖4推出的結(jié)論同樣成立嗎？為什么？

生5：這些結(jié)論同樣成立．因為這2個圖形沒有實質(zhì)性變化．

環(huán)節(jié)2 探索由平行線截得的比例線段——形成基本事實

師：現(xiàn)在請大家先依次完成下列任務．

1)按題意畫出形如圖3所示的圖形;

2)測量有關(guān)線段的長度，如AB，BC和A′B′，B′C′;

(教師等待學生完成任務.)

師：大家通過測量、計算，所畫的圖形對應線段成比例嗎？

生(眾)：所畫的圖形對應線段成比例．

師：只要所畫的圖形符合要求，并且測量準確，就能驗證對應線段成比例．大家課后也可用幾何畫板來驗證．這樣我們可以得到以下基本事實：2條直線被一組平行線(不少于3條)所截，所得的對應線段成比例．

師：這個基本事實是推導后續(xù)內(nèi)容的依據(jù)，并在幾何計算與作圖中經(jīng)常會用到．其實，這個基本事實也可以證明，有興趣的同學可以在課后探索其證明方法．

環(huán)節(jié)3 參與嘗試該事實應用的活動——合作解決有代表性的問題

師：現(xiàn)在我們一起來解決問題1．

圖6

問題1 如圖6，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1,l2,l3于點A，B，C,直線DF分別交l1,l2,l3于點D，E，F(xiàn)．已知DE=3，EF=6，AB=4，問：AC的長是多少？

師：因為l1∥l2∥l3，所以有許多對應線段成比例的關(guān)系式．這里需要怎樣的關(guān)系式？

師：我們要找出有關(guān)線段(已知線段和所求線段)成比例的關(guān)系式．

師：在這個比例式的4個量中，已知3個量，能求第4個量嗎？

師：請大家把計算過程規(guī)范地寫出來，若有困難，可參考課本中的書寫過程．

(教師等待學生完成任務.)

師：如圖6，若AB=DE，EF=5，則BC的長是多少？為什么？

師：不錯．如圖6，若OB=ED，OE=3，AB=4，則OA的長是多少？

師：生9運用了方程思想，解決這類問題經(jīng)歷了哪幾個步驟？

生10：先根據(jù)基本事實列出成比例的關(guān)系式，再用解方程的方法求出有關(guān)線段的長．

師：方程思想在幾何計算中會經(jīng)常用到．現(xiàn)在我們一起來解決下列問題2．

問題2 已知線段AB，怎樣將線段AB五等分？

師(稍停頓后)：如果解決這個問題有困難，我們可以先退一步：怎樣將線段AB二等分？

生11：作線段AB的垂直平分線，垂足點就是線段AB的二等分點．

師：不錯．還有其他方法嗎？

圖7

(全體學生有點困惑,很期待新方法.)

師：如圖7，若AA1=A1A2，A1B1∥A2B，則AB1=B1B嗎？為什么？

師：這就是說，可用基本事實將線段AB二等分．那么怎樣將線段AB三等分？

生13：先以A為端點作一條射線，并在射線上依次截取線段AA1=A1A2=A2A3，再聯(lián)結(jié)A3B，并過點A1，A2分別作A3B的平行線，依次交AB于點B1，B2，則B1，B2就是所要求作的把線段AB三等分的點．

師：現(xiàn)在能將線段AB五等分嗎？

生(眾)：能．

師：請大家在白紙上畫一條線段AB，并將其五等分．

(教師等待學生完成任務.)

師：能將已知線段n等分嗎？

生14：用同樣的方法能將已知線段n等分．

師：能將線段AB分成AC,CB這2條線段，并使AC∶CB=2∶3嗎？

生15：問題可轉(zhuǎn)化為將線段AB五等分．

師：不錯．生15運用了化歸思想．這些作圖方法的理論依據(jù)是什么？

生16：其理論依據(jù)是基本事實．

師：下面請大家完成課本中的練習題．

(待學生完成任務后，教師組織學生交互反饋與評價．)

環(huán)節(jié)4 參與回顧與思考的活動——合作進行反思與總結(jié)

師：本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？在學習過程中，你有哪些體會和收獲？

生17：本節(jié)課研究了基本事實和它在計算與作圖中的應用．

生18：從已知結(jié)論出發(fā)，特殊到一般探索是發(fā)現(xiàn)新命題的方法．

生19：畫圖、測量、計算，也是發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論的方法．

生20：學習數(shù)學要善于提出問題，反思是學習數(shù)學的重要方法．

生21：用基本事實進行計算的關(guān)鍵是列成比例的關(guān)系式．

生22：解決復雜的問題可采用以退求進的策略．

……

師：這些收獲與體會非常有價值，對后繼學習有指導作用．

3 教學分析

數(shù)學原理是一些淺顯易懂的現(xiàn)象或道理，如運算中的交換律、結(jié)合律、分配律等都是基本的道理．但“基本”不是膚淺，而是根本、重要．原理教學可以借用“概念形成”的方式來進行，其思維形式是歸納．它只要接受實踐的檢驗即可，不必經(jīng)過邏輯的證明，它可以成為推導后續(xù)內(nèi)容的依據(jù)．由于原理是事物之間的普遍規(guī)律，通常表現(xiàn)為一些數(shù)學對象之間的關(guān)系或表達式，因而原理學習要啟發(fā)學生從內(nèi)容、意義、適用范圍等方面去理解，要應用原理去解決問題[1]．

本節(jié)課中的基本事實是基礎知識，是解決有關(guān)計算與作圖問題的重要工具．它形成與應用的過程和所蘊含的歸納思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、化歸思想等及特殊到一般的探索策略和畫圖、測量、計算的探索方法，對發(fā)展學生的智力、能力和個性有積極的影響．該基本事實的教學性質(zhì)是原理教學，全面發(fā)揮其育人功能，需要教師根據(jù)原理教學的基本規(guī)范，設計并組織有效的數(shù)學活動．但目前在該課的教學中，大多數(shù)教師沒有引導學生經(jīng)歷原理教學完整的認知過程，也沒有留給學生充足的“自主思考與實踐時間”和“合作交流機會”．這不能滿足學生感悟思想、積淀經(jīng)驗及發(fā)展能力與個性的需要．

本課例在“精致化”分析的基礎上，將其教學立意于過程教育，并以課本提供的題材為載體，從學生已有的知識與經(jīng)驗出發(fā)，運用教師價值引導與學生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放的方式，引導學生經(jīng)歷完整的認知過程．在“回顧并提出問題”的教學中，既有根據(jù)三角形中位線定理的幾何模型給出有關(guān)結(jié)論的過程，以激活學習新知識所需要的“生長點”，又有“變式、聯(lián)想”基礎上提出問題的過程，以發(fā)展學生特殊到一般的合情推理能力和明確本課所要研究的問題．在“探索由平行線截得的比例線段”的教學中，既有“畫圖→測量→驗證→概括→表達”的過程，以發(fā)展學生的探索能力、積累探索的經(jīng)驗和獲得基本事實，又有獲得基本事實之后的教師講述，以揭示基本事實的應用價值及可以進行思考的問題．

在“解決問題1”的教學中，既有分析并解決問題1的過程，以鞏固基本事實和發(fā)展智慧技能，又有解決問題之后的變式，以達到靈活運用基本事實的程度．在“解決問題2”的教學中，既有特殊到一般的探索過程，以感悟以退求進的策略和明確解決問題的方法，又有解決問題之后的變式與拓展，以感悟化歸思想和加深對作圖方法的認識．

參與研修的教師普遍認為：本課例遵循了原理教學的基本規(guī)范，體現(xiàn)了過程教育和以學為中心思想，統(tǒng)籌兼顧了過程與結(jié)果，能實現(xiàn)“能發(fā)現(xiàn)并會陳述基本事實，會結(jié)合圖形寫出對應線段成比例的關(guān)系式，能在探索過程中有個性化表現(xiàn)，能感悟所蘊含的歸納思想和積淀發(fā)現(xiàn)與提出問題的經(jīng)驗；會用基本事實進行有關(guān)計算和作圖，能在計算過程中感悟數(shù)形結(jié)合思想和方程思想等，能在作圖過程中感悟化歸思想和特殊化試探的策略，能積累幾何計算與作圖的數(shù)學活動經(jīng)驗”的教學目標；特別是“回顧與提出問題”的教學，有助于學生發(fā)展合情推理能力和積淀發(fā)現(xiàn)與提出問題的經(jīng)驗．

因此，一般地，數(shù)學原理教學要經(jīng)歷“提出問題(從具體問題或特殊問題出發(fā))→操作觀察(通過畫圖、實驗、計算等，觀察事物間的關(guān)系)→歸納猜想(由特殊猜想一般)→多樣表達(口頭、數(shù)學文字、數(shù)學符號表達)→解決問題(解決數(shù)學內(nèi)部與外部問題)→反思內(nèi)化(感悟研究過程和所蘊含的數(shù)學思想及積淀數(shù)學活動經(jīng)驗)”的過程，并在組織實施教學活動時，要留給學生足夠的自主思考與實踐的時間和合作交流的機會，要發(fā)揮教師在教學活動中的主導作用，要合理評價學生在教學活動過程中的表現(xiàn)，以促使學生對原理的認識達到一定的“深度”和“寬度”，促使學生學會主動提出問題，獨立思考問題，合作探究問題及養(yǎng)成敢于質(zhì)疑、善于表達、認真傾聽、勇于評價和不斷反思的良好品質(zhì)和習慣．

本課例在農(nóng)村中學實施后，發(fā)現(xiàn)時間有點緊張，可見體現(xiàn)過程教育的課堂教學，有時會對按時完成教學任務帶來挑戰(zhàn)．解決這個問題的策略：一是運用課內(nèi)外結(jié)合的方法——課前預習教師設計的“導學案”[2]；二是根據(jù)學生的現(xiàn)實來確定過程與結(jié)果的平衡點——盡管過程與結(jié)果兩者不能偏廢，但結(jié)果是主要的、基本的，而相對來說過程是次要的、從屬的．

[1] 羅增儒．課堂教學的創(chuàng)新永遠在路上[J]．中學數(shù)學教學參考，2016(7)：29．

[2] 鄔云德．例談“先行組織者”教學方式及其成效[J]．中學教研(數(shù)學)，2012(11)：9-12．

2016-12-19；

2017-02-10

鄔云德(1956-)，男，浙江奉化人，浙江省特級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)05-21-04