●袁一丹(桐廬中學(xué) 浙江桐廬 311500)●施剛良(德清縣第三中學(xué) 浙江德清 313201)
一個優(yōu)美不等式的證明及推廣*
●袁一丹
(桐廬中學(xué) 浙江桐廬 311500)
●施剛良
(德清縣第三中學(xué) 浙江德清 313201)
文章利用代數(shù)和三角證法證明了安振平老師提出的第6個不等式,并找到了此題命制的三角背景,最后借助代數(shù)證法對第6個不等式作了相應(yīng)的推廣,并給出它的下界.
凹凸性;柯西不等式;代數(shù)法;三角法
安振平老師在文獻(xiàn)[1]中提出了26個優(yōu)美不等式供有興趣的讀者研討,此后得到了全國各地不等式愛好者的積極響應(yīng).筆者對第6個不等式產(chǎn)生了好感,陷入深思并反問自己:這是個代數(shù)不等式,應(yīng)該可以用代數(shù)法證明吧?
在證明此不等式之前,先給出以下引理.
x2y2+y2z2+z2x2+2xy2x+2yz2x+2zx2y≥3(xy2x+yz2x+zx2y)=3xyz(x+y+z)=3xyz.
同理可得
于是
著名數(shù)學(xué)家波利亞說過:“當(dāng)你找到第一個蘑菇或做出第一個發(fā)現(xiàn)后,再四處看看,它們總是成群生長的.”考慮到一些代數(shù)不等式往往可以用三角加以轉(zhuǎn)化,聯(lián)想到已知條件“x,y,z是正實(shí)數(shù),且滿足x+y+z=1”,于是設(shè)
著名數(shù)學(xué)家波利亞又說過:“沒有任何一個題目是徹底完成了的,總還會有些事情可以做;在經(jīng)過充分的研究和觀察以后,我們可以將任何解題方法加以改進(jìn);而且無論如何,我們總可以深化我們對答案的理解.”盡管三角證法非常簡潔和優(yōu)美,但與代數(shù)證法相比,后者更有味道——蘊(yùn)含著新的結(jié)果,根據(jù)上面的引理1,結(jié)合代數(shù)證法的過程,筆者發(fā)現(xiàn)還可以將第6個不等式加以推廣:
推廣1 設(shè)x,y,z是正實(shí)數(shù),且滿足x+y+z=1,則
利用幾何平均不等式可知
綜合上面的討論,得到了如下更加優(yōu)美的不等式:
推廣2 設(shè)x,y,z是正實(shí)數(shù),且滿足x+y+z=1,則
[1] 安振平.二十六個優(yōu)美的不等式[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上旬,2010(1/2):136.
2017-02-20;
2017-03-21
袁一丹(1981-),女,浙江桐廬人,中學(xué)一級教師.研究方向:數(shù)學(xué)教育.
O122.3
A
1003-6407(2017)05-31-02