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        恰當(dāng)分類與減少討論層次的策略*

        2017-05-12 01:24:25馮海容黃巖中學(xué)浙江黃巖318020
        關(guān)鍵詞:分界點扁平化分類

        ●馮海容 江 強(黃巖中學(xué) 浙江黃巖 318020)

        恰當(dāng)分類與減少討論層次的策略*

        ●馮海容 江 強
        (黃巖中學(xué) 浙江黃巖 318020)

        分類討論是近幾年高考數(shù)學(xué)必考的數(shù)學(xué)思想方法之一.分類討論首先要學(xué)會恰當(dāng)分類,其次是如何減少討論層次.要恰當(dāng)分類,則要理清分類原因,理順邏輯關(guān)系.多次、多層討論要“扁平化”處理,減少討論層次的策略有:縮小范圍、數(shù)形結(jié)合、變更主元等.對于多元變量的分類討論,可利用有關(guān)幾何意義“相對變量分離”討論.

        分類討論;減少討論;“扁平化”處理;縮小范圍;“相對變量分離”

        1 知識內(nèi)容

        1.1 分類討論的地位與作用

        分類討論,本質(zhì)上是“化整為零,積零為整”,就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時,當(dāng)問題所給的對象不能進行統(tǒng)一的方法處理時,就需要根據(jù)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的相同點和不同點,將對象區(qū)分為不同類別,然后逐類進行研究和解決,最后綜合各類的結(jié)果得到整個問題的解決,我們稱之為分類討論思想.

        分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法,也是一種數(shù)學(xué)思想,這種思想在簡化研究對象、發(fā)展思維方面起著重要作用.因此,有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要地位,也是歷年高考的重點之一.

        分類討論思想往往結(jié)合具體的數(shù)學(xué)知識(如函數(shù)、不等式、解析幾何等)進行考查,內(nèi)容十分豐富;形式上從含一個參數(shù)的討論慢慢轉(zhuǎn)到含多個參數(shù)的討論,從簡單的分類討論轉(zhuǎn)到需運用邏輯、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)本質(zhì)的分類討論.

        分類討論首先要學(xué)會恰當(dāng)分類,其次是如何減少討論層次.

        1.2 恰當(dāng)分類原則

        1.2.1 理清分類原因,理順邏輯關(guān)系

        要恰當(dāng)分類,首先要理清分類的原因,才能提高分類的意識、恰當(dāng)分類.從產(chǎn)生分類討論的原因上看,主要有:

        1)由數(shù)學(xué)的概念、運算、性質(zhì)、定理和公式的限制引起分類討論:如絕對值定義、等比數(shù)列的前n項和公式、集合運算中有無空集、偶次方根非負(fù)、對數(shù)中的底數(shù)和真數(shù)的要求、不等式2邊同乘一實數(shù)對不等號方向的影響等;

        2)由幾何圖形中點、線、面的相對位置不確定引起的分類討論;

        3)由參數(shù)的變化引起的分類討論:某些含參數(shù)的問題,由于參數(shù)的取值不同導(dǎo)致所得結(jié)果不同,或參數(shù)的取值不同引起圖形的不同屬性,或由于不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法;

        4)其他根據(jù)實際問題具體分析進行分類討論,如排列、組合問題,實際應(yīng)用題等.

        世上沒有“無緣無故”的討論,也沒有“無緣無故”的分類,只有理清分類原因,才能做到有效分類討論,這也是減少討論層次的重要手段.分類的對象是確定的,標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的,不遺漏、不重復(fù),科學(xué)地劃分,分清主次,不越級討論,其中最重要的一條是“不重不漏”.

        當(dāng)出現(xiàn)多種并列分類討論、多層分類討論或相互交叉分類討論時,要理順其邏輯關(guān)系,要注意最后的歸納是合并關(guān)系還是并列關(guān)系.

        1.2.2 確定分界點和分界線,“扁平化”處理

        當(dāng)有多個對象要討論或分類,以及分類討論中還有分類討論時,如何減少討論層次顯得很重要,除了理清分類原因,還常常用以下方法:首先確定每一分類對象的分界點和分界線,再利用所有分界點和分界線把討論范圍“扁平化”分成各個部分,最后在各個部分內(nèi)討論.

        這種“扁平化”處理,首先,讓我們重點關(guān)注分類討論的2個關(guān)鍵:一是分類標(biāo)準(zhǔn),即分界點和分界線;二是各類討論的本身,而不是分類討論的形式.其次,這種討論只在同一層次內(nèi)討論,且相互之間沒有上下之分,又不重復(fù)不遺漏,簡單實用,真正做到恰當(dāng)分類、減少討論層次.

        1.3 減少討論層次的策略

        因為分類討論比較繁瑣,思維嚴(yán)謹(jǐn)性要求高,容易失誤,而且此類題目的思維深,所以如何減少甚至避免分類討論就顯得非常必要.除了上述“扁平化”手段外,還可以從數(shù)學(xué)思想和方法上,即從根子上減少和避免分類討論.

        1)縮小范圍.可利用部分條件或隱含條件,縮小參數(shù)的范圍,達到減少討論層次的目的;也可以利用參數(shù)的變化及其影響作用,確定參數(shù)的大致范圍,達到減少討論層次的目的.

        2)數(shù)形結(jié)合.如果有幾何背景以及能構(gòu)造出有關(guān)圖形,那么可利用幾何的特征和關(guān)系的討論代替分類討論,減少甚至避免討論.

        3)變更主元.當(dāng)出現(xiàn)多個變量且各個變量地位不相等時,可以從最簡單的一個變量入手進行討論,這樣可減少分類討論.常用的方法有:分離參數(shù)、主元變更等.

        4)直接回避.利用邏輯等其他數(shù)學(xué)思想和本質(zhì)減少和避免分類討論,如運用反證法、反面思考等方法有時可以避開煩瑣的討論.

        減少甚至避免分類討論時,要保證條理分明,層次清晰,把好“邏輯關(guān)”;要注意對照題中的限制條件或隱含信息,合理取舍,把好“檢驗關(guān)”.

        2 典題剖析

        2.1 恰當(dāng)分類討論,首先要理清分類的原因,確定主次關(guān)系

        分類討論,首先要理清分類的原因.只有搞清為什么要分類,才能進行分類.當(dāng)有多個對象(如字母、變量、函數(shù)等)需要分類,或討論的角度有多種情況時,更要理清分類的原因,哪些是產(chǎn)生分類的主要原因,哪些是可以避免的,選擇哪個討論對象及角度難度更?。?/p>

        1)求使得等式F(x)=x2-ax+4a-2成立的x的取值范圍.

        2)①求F(x)的最小值m(a);②求F(x)在[0,6]上的最大值M(a).

        (2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題)

        分析 本題產(chǎn)生分類討論的原因有3個:1)絕對值|x-1|的分類討論;2)x2-2ax+4a-2與2|x-1|的大小的分類討論;3)參數(shù)a的變化引起的分類討論.哪個作為分類討論的主要原因呢?這要看考查的目標(biāo),每小題是不一樣的.

        x2-2ax+4a-2≤2|x-1|

        的解.此時產(chǎn)生分類討論的主要原因是絕對值|x-1|的分類討論,參數(shù)a的變化引起的分類討論是次要的,從而

        ①當(dāng)x≤1時,不等式(1)等價于

        x2-2ax+4a-2≤2-2x,

        x2+2(a-1)(2-x)≤0,

        當(dāng)a≥3時,無解;

        ②當(dāng)x>1時,不等式(1)等價于

        x2-2ax+4a-2≤2x-2,

        (x-2a)(x-2)≤0,

        當(dāng)a≥3時,不等式(1)的解為2≤x≤2a.

        因此,F(xiàn)(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍為2≤x≤2a.

        第2)小題由于要考慮最值情況,應(yīng)把x2-2ax+4a-2與2|x-1|的大小分類作為主要原因,結(jié)合函數(shù)f(x)=x2-2ax+4a-2與g(x)=2|x-1|的圖像位置,再加以分類討論:

        圖1

        如圖1,函數(shù)f(x)=x2-2ax+4a-2過定點A(2,2),且點A在函數(shù)y=g(x)上,從而

        ①因為F(x)的最小值為min{g(1),f(a)},而g(1)=0,f(a)=-a2+4a-2,所以

        ②從圖1中可看出,當(dāng)x∈[0,2]時,F(xiàn)(x)=g(x),此時

        M(a)=g(0)=g(2)=2;

        當(dāng)x∈[2,6]時,F(xiàn)(x)=f(x),此時a≥3,從而

        M(a)=max{f(2),f(6)}=max{2,34-8a},

        2.2 多層分類討論或多次分類討論的關(guān)鍵是“扁平化”分界點

        當(dāng)分類討論需并列多次討論或需多層討論時,應(yīng)找出各類或各層次的分界點,再“扁平化”處理各分界點,把討論范圍分成多個部分或多個區(qū)域,再在各個部分或區(qū)域作相應(yīng)討論.

        例2 解關(guān)于x的方程:(a-1)x2-(2a+1)x+a>0,其中a∈R.

        1)當(dāng)a>1時,原方程的解為

        評注 當(dāng)分類討論涉及多層次、多角度討論時,應(yīng)根據(jù)條件綜合各層次、各角度分類的分界點進行“扁平化”處理,達到簡化討論的目的,迅速做到不重不漏.當(dāng)分類討論的參數(shù)是單參數(shù)時,分界點按數(shù)軸劃分;當(dāng)參數(shù)是雙參數(shù)時,分界點按平面區(qū)域劃分.

        2.3 分類討論應(yīng)盡量利用條件縮小討論范圍

        有些分類討論問題可利用條件縮小討論范圍,不用全范圍討論,避開一些不必要的討論,達到簡化討論的目的,甚至避免分類討論.

        例3 函數(shù)f(x)=(m-3)x3+9x在區(qū)間[1,2]上的最大值為4,求實數(shù)m的值.

        分析 按常規(guī)分類,首先分m>3,m=3,m<3這3類;其次考慮極值點有無在區(qū)間[1,2]中;最后還要考慮極值點的函數(shù)值與2個端點的函數(shù)值大?。懻搶哟味?,容易出錯.

        實際上,由最大值的含義知

        從而m≤-2.當(dāng)x∈[1,2]時,

        f′(x)=3(m-3)x2+9<0,

        于是

        f(x)max=f(1)=m+6=4,

        故m=-2(這樣就避免了分類討論).

        評注 實施分類討論時,常常利用部分條件、隱含條件和邏輯關(guān)系縮小討論范圍,如利用最值、函數(shù)定義域、函數(shù)值域、恒成立等概念,運用特殊與一般關(guān)系縮小討論范圍,減少不必要的討論.

        2.4 運用數(shù)形結(jié)合思想減少甚至避免分類討論

        許多分類討論問題,若直接分類討論,則將陷入運算復(fù)雜、討論繁瑣的情況;若運用數(shù)形結(jié)合思想,即利用圖形的直觀性、可操作性,則分類討論將簡化甚至避免,達到“柳暗花明又一村”的境界.

        (2016年浙江省高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試第25題第2)小題)

        圖2 圖3

        2)當(dāng)0

        記A(2,f1(2)),B(1,f1(1)).因為當(dāng)x∈(1,1+a)時,

        圖4 圖5

        評注 本題充分利用圖像關(guān)系,替代了有關(guān)代數(shù)的討論,大大降低了討論的難度,增加了可操作性.遇到此類問題,一般首先從代數(shù)式的結(jié)構(gòu)中構(gòu)造或分離出一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)等基本函數(shù),再利用函數(shù)圖像關(guān)系加以討論.

        2.5 運用變量分離思想減少甚至避免分類討論

        當(dāng)含有變量的問題很難直接進行分類討論時,可從參數(shù)角度考慮解決,運用參數(shù)分離思想常??梢詼p少甚至避免分類討論.對于單變量問題,常直接變量分離;對于多變量問題,常利用幾何特征進行“相對變量分離”,運用其幾何特征求解.

        例5 已知函數(shù)f(x)=-x3-3x2+(1+a)x+b(其中a<0,b∈R).設(shè)M(a,b)為函數(shù)y=|f(x)|在區(qū)間[-2,0]上的最大值,求M(a,b)的最小值.

        分析 本題是多變量分類討論問題,若直接進行討論,分類討論能力、推理論證能力及運算能力要求很高,很難在較短時間內(nèi)完成.注意到本題中的ax+b是直線方程的模型,故可用“相對變量分離”解決.

        由最值含義知:M(a,b)的最小值,即為|f(x)|≤m在區(qū)間[-2,0]上恒成立時m的最小值,即求x3+3x2-x-m≤ax+b≤x3+3x2-x+m在區(qū)間[-2,0]上恒成立時,實數(shù)m的最小值.

        記g(x)=x3+3x2-x-m,h(x)=x3+3x2-x+m,即尋找最小的實數(shù)m,使得函數(shù)y=g(x),y=h(x)在區(qū)間[-2,0]上的圖像能被一條直線分隔開.

        圖6

        函數(shù)y=h(x)的圖像均在l1的上方.

        設(shè)函數(shù)y=g(x)在點C(x1,g(x1))處的切線為l2,且l2∥l1,即

        解得

        評注 變量分離法或“相對變量分離法”可以避開分類討論的鋒芒,從變量、最值、幾何等角度討論求解.“相對變量分離法”注重分離出相關(guān)的幾何模型,并運用該幾何模型的性質(zhì)和特征求解.

        3 精題集萃

        1.若a>0且a≠1,設(shè)p=loga(a3+a+1),q=loga(a2+a+1),則p,q的大小關(guān)系是

        ( )

        A.p=qB.p

        C.p>qD.無法比較

        2.已知f(x)是定義在[-4,4]上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=-x2+4x,則不等式f[f(x)]

        ( )

        A.(-3,0)∪(3,4]

        B.(-4,-3)∪(1,2)∪(2,3)

        C.(-1,0)∪(1,2)∪(2,3)

        D.[-4,-3)∪(-1,0)∪(1,3)

        ( )

        4.從6人中選4人到4個城市學(xué)習(xí)游覽,每人只游覽1個城市,且這6人中甲、乙2人不去丙城市學(xué)習(xí)游覽,則不同的選擇方案共有________.

        5.設(shè)a,m∈R,集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2=0},且A∩B=A,A∩C=C,則實數(shù)a的取值范圍為______,實數(shù)m的取值范圍為______.

        6.已知實數(shù)x滿足|x|≥2且x2+ax+b-2=0,則a2+b2的最小值為______.

        參 考 答 案

        1.C 2.D 3.A

        7.(-∞,0)

        8.解 當(dāng)n=1時,

        又an>0,從而a1=7.

        (an+an-1)(an-an-1-2)=0.

        又an>0,從而

        an-an-1=2,

        于是

        an=2n+5,

        當(dāng)n≤3時,

        Tn= 7+…+2n+5-(2+…+2n)=

        n2+6n+2-2n+1.

        當(dāng)n>3時,

        Tn= 5+5+3+24+…+2n-(13+…+2n+5)=

        2n+1-n2-6n+24,

        因此

        9.解 將參數(shù)a作為主變量可避免分類討論.

        h′(x)=3x2-x3=x2(3-x),

        從而h(x)在[2,3]上的最小值為4,于是g(a)的最小值為4.

        圖7 圖8

        2017-01-27;

        2017-02-25

        馮海容(1974-),男,浙江黃巖人,中學(xué)高級教師.研究方向:數(shù)學(xué)教育.

        O122

        A

        1003-6407(2017)05-32-06

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