●馬喜君(元濟高級中學(xué) 浙江海鹽 314300)●趙琴學(xué)(海鹽高級中學(xué) 浙江海鹽 314300)

任意存在總相伴 化歸轉(zhuǎn)化兩相宜*

●馬喜君
(元濟高級中學(xué) 浙江海鹽 314300)
●趙琴學(xué)
(海鹽高級中學(xué) 浙江海鹽 314300)

“任意性”與“存在性”問題是一類綜合性較強的數(shù)學(xué)問題，是檢驗教學(xué)效果、評價學(xué)習(xí)成果、培養(yǎng)核心素養(yǎng)的一個非常有效的載體.學(xué)生對于“任意性”與“存在性”問題的困惑：缺乏分析此類問題的數(shù)學(xué)思路，混淆了問題中的主元與次元的邏輯關(guān)系；缺乏此類問題自我的體悟與感受，過度依賴教師與同伴的間接經(jīng)驗.文章基于學(xué)生的學(xué)情、典型案例以及上述2類問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，借助于“化歸轉(zhuǎn)化”將核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想、知識方法有機整合，梳理了一些此類問題的解題思路與策略，引起學(xué)生的思考，激發(fā)學(xué)生的探究，激活學(xué)生自主學(xué)習(xí)的內(nèi)在動力.

任意性；存在性；化歸轉(zhuǎn)化

在高考試卷中經(jīng)常出現(xiàn)2個讓學(xué)生“頭痛”的詞——“任意”與“存在”：一方面,此類問題涉及面廣，就好比是2個大大的“舞臺”,誰都可以上去亮相：函數(shù)、數(shù)列、不等式、向量、解析幾何等等，但近幾年以函數(shù)題為主，融合了一定的不等關(guān)系；另一方面,“任意”問題涉及恒成立問題，包括一元、二元問題，伴隨其中的還有“存在”問題，其本質(zhì)是函數(shù)的值域問題.因此在解決“任意”與“存在”問題時常用導(dǎo)數(shù)方法，該題型的特點往往是整合了“函數(shù)方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想”，將問題化歸轉(zhuǎn)化為學(xué)生所熟悉的結(jié)構(gòu)，因此此類問題已成為考查學(xué)生數(shù)學(xué)知識、方法、思想的重要評價平臺，成為檢測高中階段學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵載體．研讀《考試大綱》與近幾年的數(shù)學(xué)高考真題試卷，浙江省數(shù)學(xué)高考更關(guān)注學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性，更關(guān)注數(shù)學(xué)思想、方法與知識的整合，更關(guān)注數(shù)學(xué)的創(chuàng)新意識和核心素養(yǎng).

化歸的基本原理：設(shè)定義在D上的函數(shù)f(x)，

1)對于任意的x∈D，不等式m>f(x)恒成立?m>f(x)max(其中x∈D)；

2)對于任意的x∈D，不等式m

3)存在x∈D，不等式m>f(x)成立?m>f(x)min(其中x∈D)；

4)存在x∈D，不等式m

很多情況下一個題目總會出現(xiàn)2個函數(shù)，而且是任意性與存在性并存，讓學(xué)生無從下手，找不到問題的切入點.筆者通過近幾年高考與模擬試卷，梳理了一些解題的策略.

1 任意性與存在性的區(qū)別

題設(shè)是命題教師創(chuàng)設(shè)的情境，會給出足夠多的信息，我們要學(xué)會將信息歸類.函數(shù)僅僅是一個載體，無論是1個函數(shù)還是2個，它們之間是可以轉(zhuǎn)化的，關(guān)鍵要理清是單一的任意性問題，還是單一的存在性問題，還是2者皆有.

1.1 單一的任意性

數(shù)學(xué)的題設(shè)特點是簡明扼要，因此對于單一的任意性問題，題干表述應(yīng)該是非常清晰的；然后才是關(guān)注函數(shù)，即如何利用已有的條件轉(zhuǎn)化到函數(shù)的最值問題.

1.1.1 構(gòu)造雙函數(shù)

1)求f(x)的最小值；

2)求證：f(x)>g(x)；

(2017年浙江省嘉興市第1次教學(xué)測試卷第22題)

證明不等關(guān)系常用的策略是作差，因此在解決第2)小題時，很多學(xué)生會將2個函數(shù)合成一個函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)，然后去求函數(shù)F(x)的最小值大于0，想法很簡潔，但是實際解答時困難重重.這就需要重新審視解題策略，轉(zhuǎn)變解題的角度，其實只要證明f(x)min>g(x)max即可.

1)f(x)min=f(1)=1.

2)證明 由題意得

令g′(x)=0，則x=e,從而g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減，于是

由第1)小題得f(x)min=1,

即

f(x)min>g(x)max，

故f(x)>g(x).

評注 解題策略中選擇1個函數(shù)還是2個函數(shù)，是隨題目的設(shè)計而定的.因此,在制定解題策略時，2個方案都要先嘗試，然后再決定采用何種策略解題.合久必分，分久必合，關(guān)鍵是解題思路是否清晰、過程是否簡明.

1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2016年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

1)略；

f(x)-f′(x)=g(x)+h(x).

1.1.2 利用所求范圍縮小參數(shù)范圍，減少分類討論

很多問題必須對參數(shù)進行分類討論，并且分類的情況還比較復(fù)雜,但是通過必要條件先行代入特殊值后可縮小參數(shù)的范圍，減少對參數(shù)的討論，從而優(yōu)化解題過程.

例3 已知函數(shù)

(浙江省金華市十校2016～2017學(xué)年第1學(xué)期調(diào)研考試試題)

1)略.

②當(dāng)x∈(1,2]時，

③當(dāng)x∈(2,3]時，

恒成立.令x-2=t∈[0,1]，則

從而

h(t)max>g(t)max.

評注 對于一些比較復(fù)雜的函數(shù)問題，必要條件先行是一個非常有效的辦法，這樣不僅可以縮小參數(shù)的范圍，明確分析的方向，同時也可以減少后期的分類討論，起到事半功倍的效果.

1.2 單一的存在性

此類問題一般采用的策略是參變分離，轉(zhuǎn)化為參數(shù)與一個函數(shù)的等量關(guān)系，然后根據(jù)方程根的情況求函數(shù)的值域，還可能轉(zhuǎn)化為參數(shù)與函數(shù)的不等關(guān)系，如化歸的基本原理.

例4 設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+ax+lnx(其中a∈R).

1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(浙江省名校新高考研究聯(lián)盟2017屆第3次聯(lián)考試題第20題)

1)略.

2)解 令f(x)=-x2+ax+lnx=0,得

由g′(x)>0，得

x>1,

g(x)min=g(1)=1.

評注 參變分離后將問題轉(zhuǎn)化為求所構(gòu)造的新函數(shù)的值域或最值，根據(jù)實際情況處理好等與不等關(guān)系，從而得到所求參數(shù)的取值.

2 任意性與存在性的聯(lián)系

任意性與存在性混合共存時，一般涉及雙變元，首要問題就是要理清變元關(guān)系：若2個變元是同步的，則一般轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)解決；若2個變元不是同步的，則先抓主變元，再抓次變元.

2.1 任意任意型

此類問題2個變元一般是不同步的.若2個變元在一個函數(shù)中，則轉(zhuǎn)化為該函數(shù)(或者構(gòu)造的新的函數(shù))的最值即可；若2個變元在2個函數(shù)中，則分別轉(zhuǎn)化為各自的最值處理，即f(x)min>g(x)max或者f(x)max>g(x)min.

例5 設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx.

1)證明：f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

2)若對于任意的x1，x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范圍.

(2015年全國數(shù)學(xué)高考課標(biāo)卷Ⅱ第21題)

1)略.

2)解 由第1)小題知，對任意的m，f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減，在[0,1]上單調(diào)遞增，故f(x)在x=0處取得最小值.因此，對于任意的x1，x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要條件是

設(shè)函數(shù)g(t)=et-t-e+1，則

g′(t)=et-1,

當(dāng)t<0時，g′(t)<0；當(dāng)t>0時，g′(t)>0,即g(t)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增.因為g(1)=0，g(-1)=e-1-e+2<0，所以當(dāng)t∈[-1,1]時，g′(t)≤0.

當(dāng)m∈[-1,1]時，

g(m)≤0,g(-m)≤0，

即式(1)成立；當(dāng)m>1時，由g(t)的單調(diào)性，知

g(m)>0，

即

em-m>e-1；

當(dāng)m<-1時，g(-m)>0，即

e-m+m>e-1.

綜上所述，m的取值范圍是[-1,1].

2.2 任意存在型

設(shè)定義在D1上的函數(shù)f(x)，定義在D2上的函數(shù)g(x).若存在x1∈D1，使得對任意的x2∈D2，都有f(x1)≥g(x2)成立?f(x)max≥g(x)；若存在x1∈D1，使得對任意的x2∈D2，都有f(x1)≤g(x2)成立?f(x)min≥g(x).此類問題一般先轉(zhuǎn)化存在性變量，用它相應(yīng)的最值來替代，然后考查任意性變量.

設(shè)定義在D1上的函數(shù)f(x)的值域為A，定義在D2上的函數(shù)g(x)的值域為B.若存在x1∈D1，使得對任意的x2∈D2，都有f(x1)=g(x2)成立?A?B.此類問題一般轉(zhuǎn)化為存在性變量函數(shù)的值域包括任意性變量函數(shù)的值域.

問題轉(zhuǎn)化后，參照上文中的方法借助分類討論、參變分離等方法就可以清晰扼要地解決問題.

1)若f(x)+b=0在[1,2]上有2個不等實根，求g(1)+b的取值范圍；

1)略.

g(t)=at2+t+a,

于是問題轉(zhuǎn)化為f(x)max≥g(t)在t∈[1,2]上恒成立.

當(dāng)然，任意性與存在性問題的題型遠(yuǎn)不止這些，預(yù)計今后在函數(shù)、數(shù)列、不等式、向量、解析幾何等方面會出現(xiàn)很多新穎的試題．任意性與存在性問題對考生思維能力的要求遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于對知識的理解與一般意義上的運用，但萬變不離其宗，只要把握好問題的本質(zhì)，充分運用好分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)方程思想，將問題合理有效地化歸、轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)最值問題與函數(shù)模型進行分析，所求問題就能輕松獲解.

因此，任意性與存在性問題是一種用于檢測考生數(shù)學(xué)素質(zhì)和思維能力的好載體，符合當(dāng)前高考命題的走向，深受命題者的青睞，需要引起足夠的重視．

2017-02-24；

2017-03-25

馬喜君(1979-)，男，浙江嘉興人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122

A

1003-6407(2017)05-38-04