董月紅

中考中扇環(huán)問題分析

董月紅

在兩個(gè)同心圓中，任作兩條半徑，它們與圓相交，形成的四邊形我們稱為扇環(huán)，如圖1陰影部分.近年來，扇環(huán)問題頻頻出現(xiàn)在中考中.有面積問題，弧長問題等，這類中考題大多以現(xiàn)實(shí)生活為背景，經(jīng)常與解直角三角形、方程（組）綜合在一起.對(duì)于求陰影面積的有關(guān)考題，常用的方法有：直接應(yīng)用公式法，和差法，割補(bǔ)法等.

圖1

例1（2005·山西）圖2是一紙杯，它的母線AC和EF延長后形成的立體圖形是圓錐.該圓錐的側(cè)面展開圖是扇形OAB.經(jīng)測量，紙杯上開口圓的直徑為6cm，下底面直徑為4cm，母線長EF=8cm.求扇形OAB的圓心角及這個(gè)紙杯的表面積.（圖形計(jì)算結(jié)果用π表示）

圖2

即扇形OAB的圓心角是45°.

∵R=24，∴R-8=16.

∴S扇形OCD=

S扇形OAB=

S紙杯側(cè)面積=72π-32π=40π.

S紙杯底面積=π×22=4π，從而S紙杯表面積=44π.

【評(píng)析】對(duì)由多部分構(gòu)成的面積問題，需先明確要計(jì)算哪一部分的面積，它可通過哪些圖形進(jìn)行分割或拼湊而得到.

例2（2016·黃石）如圖3所示，正方形ABCD對(duì)角線AC所在直線上有一點(diǎn)O，OA= AC=2，將正方形繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，在旋轉(zhuǎn)過程中，正方形掃過的面積是.

圖3

【分析】如圖3，正方形繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，所掃過的圖形是扇環(huán)的面積再加上正方形ABCD的面積.

解：∵OA=AC=2，

∴AB=BC=CD=AD=2，OC=4，

S陰影=

故答案為：2π+2.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了扇形的面積公式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理，能夠把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)換為規(guī)則圖形的面積是解答此題的關(guān)鍵.

例3（2015·宜賓）如圖4，以點(diǎn)O為圓心的20個(gè)同心圓，它們的半徑從小到大依次是1、2、3、4、……、20，陰影部分是由第1個(gè)圓和第2個(gè)圓，第3個(gè)圓和第4個(gè)圓，……，第19個(gè)圓和第20個(gè)圓形成的所有圓環(huán)，則陰影部分的面積為（）.

A.231πB.210πC.190πD.171π

【分析】根據(jù)題意求出各個(gè)圓環(huán)的面積，進(jìn)而求出它們的和.

圖4

解：由題意知，陰影部分的面積為π（22-12）+π（42-32）+π（62-52）+…+π（202-192）=π（3+7+ 11+15+…+39）=π·5（3+39）=210π，選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式，求自然數(shù)和等知識(shí).

例4（2016·福田二模）如圖5，⊙O的半徑為︵2，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥CD于點(diǎn)N，點(diǎn)Q是MN的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D處時(shí)，線段PQ掃過的面積為.

圖5

【分析】矩形的對(duì)角線相等且互相平分，即MN=OP=2，OQ=1，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿︵轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D處時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)的圓心角為90°，線段PQ掃過的面積是圓心角為90°的扇環(huán).解：連接OP，由矩形性質(zhì)知：OP=MN，且它們相交于中點(diǎn)Q，則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿︵轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D處時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)的圖形是90°扇環(huán).線段PQ掃過的面積為

【評(píng)析】解題的關(guān)鍵是要明確點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路線是以O(shè)為圓心，以1為半徑，圓心角為90°的扇形；點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線是以O(shè)為圓心，以2為半徑，圓心角等于90°的扇形.所以線段PQ運(yùn)動(dòng)的路線是以O(shè)為圓心的扇環(huán).

例5（2015·樂山）如圖6，已知A（2 3，2）、B（2 3，1），將△AOB繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A′（-2，2 3）的位置，則圖中陰影部分的面積為.

圖6

【分析】設(shè)以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑的圓交OA于C，交OA′于C′，則曲邊形ABC的面積等于曲邊形A′B′C′的面積，所以陰影部分的面積等于扇環(huán)的面積..

∵由A（2 3，2）旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A′（-2，2 3），

∴∠A′OA=∠B′OB=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，S曲邊形ABC=S曲邊形A′B′C′，∴陰影部分的面積等

【評(píng)析】利用分割法將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則的圖形，由條件A、A′的坐標(biāo)求出∠AOA′的度數(shù)為90°是解決問題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）