王玲霞

善總結(jié)速解題

王玲霞

“圖形變換”屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容，主要涉及圖形的軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、相似、位似與視圖等知識(shí)，是中考的熱門考點(diǎn)，因?yàn)檫@部分知識(shí)既可以考查我們對(duì)基本圖形本質(zhì)的理解，又能培養(yǎng)我們的實(shí)踐與操作能力，形成空間觀念和運(yùn)動(dòng)變化的意識(shí).這類問題怎樣快速求解呢？我們從以下幾道典型例題進(jìn)行剖析.

一、軸對(duì)稱

軸對(duì)稱知識(shí)在中考中一般以圖形的折疊方式呈現(xiàn)，包括三角形、矩形、菱形、正方形、圓的折疊，解題策略是“折疊→全等→勾股或相似”，折疊后所有對(duì)應(yīng)的線段和角相等，無論是“勾股”還是“相似”都是為了找到未知量與已知量之間的等量關(guān)系列方程求解.

例1（2016·安徽）如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=6，AD=10，點(diǎn)E在CD上，將△ADE沿AE折疊，點(diǎn)D恰落在邊BC上的點(diǎn)F處，點(diǎn)G在BF上，將△ABG折疊，點(diǎn)B恰落在線段AF上的點(diǎn)H處，有以下結(jié)論：（1）∠EAG=45°；（2）△CEF∽△BAG；（3）；（4）BG+CF= FG，其中正確的是.（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上）

圖1

【解析】由折疊得到相等的角和相等的線段，結(jié)合矩形的性質(zhì)可求∠EAG的度數(shù).在Rt△CEF和Rt△FGH中根據(jù)勾股定理建立方程，分別求出CE、GH、FG的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的判定方法對(duì)（2）作出判斷，根據(jù)三角形面積公式對(duì)（3）作出判斷，（4）可以根據(jù)各線段的長(zhǎng)度直接進(jìn)行判斷.

【簡(jiǎn)解】由折疊知∠BAG=∠FAG，∠FAE=∠DAE，∴∠EAG=∠DAB=45°，（1）正確；由勾股定理結(jié)合方程思想易得CE=，BG=3，易得△CEF與△BAG不相似，（2）錯(cuò)誤；通過面積計(jì)算，易得（3）正確；BG+CF=3+2=5=FG，（4）正確.故填（1）（3）（4）.

【點(diǎn)評(píng)】凡涉及折疊的問題，尋找到對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊是關(guān)鍵.在直角三角形中，根據(jù)勾股定理建立方程，求出直角三角形的三邊長(zhǎng)，這是常用的方法之一.

二、旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)問題是熱點(diǎn)問題，一般來說，只要涉及“共頂點(diǎn)的相等線段”就有了旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)，進(jìn)而可構(gòu)造全等或者相似三角形.

例2如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，設(shè)CD的長(zhǎng)為x，四邊形ABCD的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是.

圖2

【解析】題中恰好有“共頂點(diǎn)的相等線段”AB=AD，于是可以考慮將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ADE（圖2（1）），這樣四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化成直角梯形EACD的面積，一切迎刃而解了！

【簡(jiǎn)解】由旋轉(zhuǎn)得△ACB≌△AED，設(shè)BC= a，可得四邊形ABCD的面積=10a2，如圖2（2），補(bǔ)圖形易證四邊形ACFE為正方形，得x=5a，所以y=25x2.

圖2 （1）

圖2 （2）

【點(diǎn)評(píng)】在學(xué)習(xí)相似時(shí)，有一個(gè)非常重要的模型是“一線三等角”，如下圖.

可以作DF⊥AC，再將△AFD繞AD的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°即可（圖2（3）），也能解決問題.由此可見，有動(dòng)態(tài)的思維習(xí)慣，解題更加便捷.

圖2 （3）

三、相似

相似在初中數(shù)學(xué)中所占比例大，難度也高，是中考必考的內(nèi)容，我們要掌握常見類型如A型相似、X型相似、一線三等角、子母型相似，常見輔助線，如作平行線構(gòu)造相似，作高求解等.在解決相似問題時(shí)較難的是將相似作為一種策略.

例3如圖3，在矩形ABCD中，AB=3，BC= 2，以BC為直徑在矩形內(nèi)作半圓，自點(diǎn)A作半圓的切線，則

圖3

圖4

【解析】通常情況下：從結(jié)論著手，BC=2，只要知道CE長(zhǎng)即可，而在Rt△BEC中只有∠BEC=90°，BC=2，不能求出CE長(zhǎng)，此時(shí)需借助一個(gè)已知三角形，結(jié)合切線長(zhǎng)定理及基本圖形.連接AO，如圖4，得Rt△ABO，易證△ABO∽△BEC，所以

【點(diǎn)評(píng)】題目中沒有現(xiàn)成的相似三角形，就要我們添線構(gòu)造，而要想到“相似”，就要在平時(shí)的學(xué)習(xí)中勤于思考和總結(jié).

四、解直角三角形

這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用有非常強(qiáng)烈的個(gè)性，就是一定要緊扣定義，將銳角放置于一個(gè)直角三角形中，如果沒有就要?jiǎng)?chuàng)造條件，即通過作輔助線構(gòu)造直角三角形.另外這類題目在中考中的呈現(xiàn)越來越生活化.請(qǐng)看：

例4（2016·白銀）圖5是小明在健身器上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時(shí)的情景，圖6是小明鍛煉時(shí)上半身由ON位置運(yùn)動(dòng)到與地面垂直的OM位置時(shí)的示意圖，已經(jīng)AC=0.66米，BD= 0.26米，α=20°.（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）

（1）求AB的長(zhǎng)；（精確到0.01米）

（2）若測(cè)得ON=0.8米︵，試計(jì)算小明頭頂由N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的路徑的長(zhǎng)度.（結(jié)果保留π）

圖5

圖6

圖7

【解析】本題考查解直角三角形和弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.（1）見圖7，借助于20°這一條件，把20°和AB邊共同放置于一個(gè)直角三角形中，即過點(diǎn)B作AC的垂線段，設(shè)垂足為F，在直角△ABF中，利用三角函數(shù)求解；（2）︵MN是以點(diǎn)O為圓心，ON為半徑的圓中的一條弧且所對(duì)的圓心角是110°，利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【點(diǎn)評(píng)】在一般三角形中已知一些邊和角，求另外的邊長(zhǎng)的問題，通常都是通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)來解決問題.對(duì)于弧長(zhǎng)的計(jì)算，一是要知道弧所在圓的半徑，二是要知道圓心角的度數(shù)，再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算.

五、投影

投影是相似知識(shí)的應(yīng)用之一，分為中心投影和平行投影.中心投影是物體在點(diǎn)光源下的投影，平行投影是在太陽光等平行光線下的投影，這個(gè)知識(shí)經(jīng)常和行程問題“聯(lián)手”考查大家，非常有意思，請(qǐng)看：

例5（2015·鎮(zhèn)江）某興趣小組開展課外活動(dòng)，如圖8，A、B兩地相距12米，小明從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向勻速前進(jìn)，2秒后到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)他（CD）在某一燈光下的影長(zhǎng)為AD，繼續(xù)按原速行走2秒到達(dá)點(diǎn)F，此時(shí)他在同一燈光下的影子仍落在其身后，并測(cè)得這個(gè)影長(zhǎng)為1.2米，然后他將速度提高到原來的1.5倍，再行走2秒到達(dá)點(diǎn)H，此時(shí)他（GH）在同一燈光下的影長(zhǎng)為BH（點(diǎn)C、E、G在一條直線上）.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D8中畫出光源O點(diǎn)的位置，并畫出小明位于點(diǎn)F時(shí)在這個(gè)燈光下的影長(zhǎng)FM（不寫畫法）；

圖8

（2）求小明原來的速度.

【解析】（1）利用光的直線傳播原理，確定光源O點(diǎn)位置；（2）由兩對(duì)相似△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB得比例關(guān)系，建立關(guān)于速度的方程，解之即可.

圖9

【簡(jiǎn)解】（1）延長(zhǎng)AC、BG相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)OE交AB于點(diǎn)M，如圖9，則點(diǎn)O、FM即為所作.

（2）設(shè)小明原來的速度為xm／s，則AD=DF =CE=2x（m），F(xiàn)H=EG=3x（m），AM=（4x-1.2）m，BM=（12-4x+1.2）m.

由△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB.

解得x1=1.5，x2=0（不合題意，舍去），

經(jīng)檢驗(yàn)，x=1.5是原方程的解，故x=1.5.答：小明原來的速度為1.5m／s.

【點(diǎn)評(píng)】此類問題容易出錯(cuò)的地方有三處，一處是對(duì)中心投影掌握不牢，不會(huì)畫光源點(diǎn)及相關(guān)線段的投影；二是不能利用中心投影下的相似三角形建立關(guān)于小明原來速度的方程，導(dǎo)致第二問求不出來；三是分式方程忘記驗(yàn)根而丟分.

同學(xué)們，在中考復(fù)習(xí)中注意夯實(shí)基礎(chǔ)，勤做典型題，善于總結(jié)解題常見方法和規(guī)律，往往能事半功倍！

江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)第三中學(xué)）