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        題在書外根在書內(nèi)

        2017-05-10 06:14:36何勇
        初中生世界 2017年19期
        關(guān)鍵詞:紙條矩形變式

        何勇

        題在書外根在書內(nèi)

        何勇

        數(shù)學(xué)課本中的例題具有示范性、典型性和探究性,是課本的精髓.瀏覽近幾年全國各地的中考數(shù)學(xué)試卷,很多試題來源于課本,“題在書外,根在書內(nèi)”.因此,我們在平常學(xué)習(xí)過程中如果能充分重視和挖掘課本中例題的潛在功能,適當(dāng)加以拓展延伸,可以達到事半功倍的效果.

        原題(蘇科版《數(shù)學(xué)》九下第72頁例2)如圖1,AF是△ABC的高,點D、E分別在AB、AC上,且DE∥BC,DE交AF于點G,設(shè)DE=6,BC=10,GF=5,求點A到DE、BC的距離.

        圖1

        【思路點撥】由DE∥BC,易得△ADE∽△ABC,利用相似三角形對應(yīng)高之比等于相似比易求出AG=7.5,AF=12.5.

        變式1如圖2,正方形ABCD是一塊綠化帶,其中陰影部分EOFB、GHMN都是正方形的花圃.已知自由飛翔的小鳥將隨機落在這塊綠化帶上,則小鳥落在花圃上的概率為().

        圖2

        【思路點撥】求得陰影部分的面積與正方形ABCD的面積的比即可求得小鳥落在花圃上的概率.

        【簡解】設(shè)正方形ABCD的邊長為a,

        變式2如圖3,有一塊三角形的余料ABC,要把它加工成矩形的零件,已知:BC= 8cm,高AD=12cm,矩形EFGH的邊EF在BC邊上,G、H分別在AC、AB上,設(shè)HE的長為ycm,EF的長為xcm.

        圖3

        (1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.

        (2)當(dāng)x取多少時,矩形EFGH是正方形?

        【思路點撥】(1)先由BC=8cm,高AD=12cm,HE的長為ycm、EF的長為xcm,可知,AK=(12-y)cm,HG=EF=xcm,再根據(jù)HG∥BC可知△AHG∽△ABC,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式;

        (2)根據(jù)正方形的性質(zhì)可知y=x,再代入(1)中所求的代數(shù)式即可得出結(jié)論.

        【簡解】(1)由HG∥BC,所以△AHG∽△ABC,所以

        【說明】本題難點是將相似的性質(zhì)和一次函數(shù)相結(jié)合,根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比,找出相似三角形,然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程,建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題.

        變式3一塊三角形廢料如圖4所示,∠A=30°,∠C=90°,AB=12.用這塊廢料剪出一個矩形CDEF,其中,點D、E、F分別在AC、AB、BC上.要使剪出的矩形CDEF面積最大,點E應(yīng)選在何處?

        圖4

        【思路點撥】首先在Rt△ABC中利用∠A= 30°、AB=12,求得BC、AC的長,然后根據(jù)四邊形CDEF是矩形得到EF∥AC,從而得到△BEF∽△BAC,設(shè)AE=x,則BE=12-x.利用相似三角形成比例表示出EF、DE,然后表示出有關(guān)x的二次函數(shù),最后求二次函數(shù)的最值即可.

        【簡解】在Rt△ABC中,∠A=30°,AB=12,所以BC=6,AC=6 3.由△BEF∽△BAC得:x).在Rt△ADE中矩形CDEF的面積S=DE·當(dāng)x=6時,S有最大值.所以點E應(yīng)選在AB的中點處.

        【說明】本題難點在于利用相似三角形的性質(zhì)得到矩形CDEF面積表達式,解題的關(guān)鍵是從幾何問題中整理出二次函數(shù)模型,并利用二次函數(shù)的知識求最值,從而確定點E的位置.

        變式4如圖5(1),△ABC是一張等腰直角三角形彩色紙,AC=BC=50cm.將斜邊上的高CD五等分,然后裁出4張寬度相等的長方形紙條.若用這4張紙條為一幅正方形美術(shù)作品鑲邊(紙條不重疊),如圖5(2),則正方形美術(shù)作品最大面積是cm2.

        圖5 (1)

        圖5 (2)

        【思路點撥】利用相似三角形的性質(zhì)求出每個紙條的長,將其相加,易得紙條的總長度,計算出正方形的邊長,從而計算面積即可.

        圖6

        【說明】此題考查了相似三角形的應(yīng)用,難點在于不僅要計算出紙條的長度,還要計算出寬度,要仔細觀察圖形,尋找相似三角形,并利用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比,來獲得等量關(guān)系,從而解決.

        (作者單位:江蘇省無錫市太湖格致中學(xué))

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