何勇

題在書外根在書內(nèi)

何勇

數(shù)學(xué)課本中的例題具有示范性、典型性和探究性，是課本的精髓.瀏覽近幾年全國各地的中考數(shù)學(xué)試卷，很多試題來源于課本，“題在書外，根在書內(nèi)”.因此，我們在平常學(xué)習(xí)過程中如果能充分重視和挖掘課本中例題的潛在功能，適當(dāng)加以拓展延伸，可以達到事半功倍的效果.

原題（蘇科版《數(shù)學(xué)》九下第72頁例2）如圖1，AF是△ABC的高，點D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC，DE交AF于點G，設(shè)DE=6，BC=10，GF=5，求點A到DE、BC的距離.

圖1

【思路點撥】由DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，利用相似三角形對應(yīng)高之比等于相似比易求出AG=7.5，AF=12.5.

變式1如圖2，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB、GHMN都是正方形的花圃.已知自由飛翔的小鳥將隨機落在這塊綠化帶上，則小鳥落在花圃上的概率為（）.

圖2

【思路點撥】求得陰影部分的面積與正方形ABCD的面積的比即可求得小鳥落在花圃上的概率.

【簡解】設(shè)正方形ABCD的邊長為a，

變式2如圖3，有一塊三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知：BC= 8cm，高AD=12cm，矩形EFGH的邊EF在BC邊上，G、H分別在AC、AB上，設(shè)HE的長為ycm，EF的長為xcm.

圖3

（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）當(dāng)x取多少時，矩形EFGH是正方形？

【思路點撥】（1）先由BC=8cm，高AD=12cm，HE的長為ycm、EF的長為xcm，可知，AK=（12-y）cm，HG=EF=xcm，再根據(jù)HG∥BC可知△AHG∽△ABC，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可知y=x，再代入（1）中所求的代數(shù)式即可得出結(jié)論.

【簡解】（1）由HG∥BC，所以△AHG∽△ABC，所以

【說明】本題難點是將相似的性質(zhì)和一次函數(shù)相結(jié)合，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，找出相似三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題.

變式3一塊三角形廢料如圖4所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12.用這塊廢料剪出一個矩形CDEF，其中，點D、E、F分別在AC、AB、BC上.要使剪出的矩形CDEF面積最大，點E應(yīng)選在何處？

圖4

【思路點撥】首先在Rt△ABC中利用∠A= 30°、AB=12，求得BC、AC的長，然后根據(jù)四邊形CDEF是矩形得到EF∥AC，從而得到△BEF∽△BAC，設(shè)AE=x，則BE=12-x.利用相似三角形成比例表示出EF、DE，然后表示出有關(guān)x的二次函數(shù)，最后求二次函數(shù)的最值即可.

【簡解】在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=12，所以BC=6，AC=6 3.由△BEF∽△BAC得：x）.在Rt△ADE中矩形CDEF的面積S=DE·當(dāng)x=6時，S有最大值.所以點E應(yīng)選在AB的中點處.

【說明】本題難點在于利用相似三角形的性質(zhì)得到矩形CDEF面積表達式，解題的關(guān)鍵是從幾何問題中整理出二次函數(shù)模型，并利用二次函數(shù)的知識求最值，從而確定點E的位置.

變式4如圖5（1），△ABC是一張等腰直角三角形彩色紙，AC=BC=50cm.將斜邊上的高CD五等分，然后裁出4張寬度相等的長方形紙條.若用這4張紙條為一幅正方形美術(shù)作品鑲邊（紙條不重疊），如圖5（2），則正方形美術(shù)作品最大面積是cm2.

圖5 （1）

圖5 （2）

【思路點撥】利用相似三角形的性質(zhì)求出每個紙條的長，將其相加，易得紙條的總長度，計算出正方形的邊長，從而計算面積即可.

圖6

【說明】此題考查了相似三角形的應(yīng)用，難點在于不僅要計算出紙條的長度，還要計算出寬度，要仔細觀察圖形，尋找相似三角形，并利用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，來獲得等量關(guān)系，從而解決.

（作者單位：江蘇省無錫市太湖格致中學(xué)）