田東紅　李玲娜

[摘 要]大多數(shù)經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)生在學(xué)習(xí)大學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分時(shí)，存在熱情不高、學(xué)習(xí)能力較弱、為考試過關(guān)而學(xué)習(xí)等現(xiàn)象。如何有效地改變學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，是每個(gè)任課教師都應(yīng)該思考的問題。實(shí)例教學(xué)設(shè)計(jì)是一種導(dǎo)向，通過經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域內(nèi)的實(shí)際問題，將經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)有效地結(jié)合在一起，引入數(shù)學(xué)建模思想，改變教學(xué)方式和方法，以期調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

[關(guān)鍵詞]經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)；微積分；教學(xué)方法；數(shù)學(xué)建模；案例教學(xué)

[中圖分類號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2017）02-0068-02

一、引言

我給經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)生講授經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分課程已有好幾年了，經(jīng)過這些年與經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)生接觸，總結(jié)出他們在學(xué)習(xí)該門課程時(shí)的幾個(gè)特點(diǎn)：一是大多數(shù)經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)生是文科生，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較薄弱，運(yùn)算能力和邏輯推理能力普遍較差，學(xué)生學(xué)習(xí)該課程時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)畏難情緒；二是與理工科學(xué)生相比，大多數(shù)經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的熱情較低，覺得數(shù)學(xué)課程跟專業(yè)課關(guān)系不大，沒有意識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)專業(yè)課程的作用而應(yīng)付了事；三是他們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力普遍較差，缺乏運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決經(jīng)濟(jì)管理中實(shí)際問題的意識(shí)。

如何在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分課程的教學(xué)中，有效地改變學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)、調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性、提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，使得課堂不再枯燥無味是亟待解決的問題。本文主要探討教師在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分授課中進(jìn)行案例教學(xué)以及滲透數(shù)學(xué)建模思想，從而將數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)有效結(jié)合，以期收到更好的教學(xué)效果。

二、將經(jīng)濟(jì)管理中的問題滲透到教學(xué)中

在經(jīng)濟(jì)管理中，有很多理論與現(xiàn)象都跟數(shù)學(xué)知識(shí)緊密聯(lián)系，教師在講解經(jīng)管院的數(shù)學(xué)課程時(shí)，要注意將數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)相結(jié)合。但是將兩者結(jié)合時(shí)，要注意在肯定經(jīng)濟(jì)分析中數(shù)學(xué)重要作用的同時(shí)，也不能過分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的作用，否則，學(xué)生會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生畏難情緒甚至?xí)挓?shù)學(xué)。授課過程中，極限、導(dǎo)數(shù)、積分、微分方程、差分方程、無窮級(jí)數(shù)等重要知識(shí)點(diǎn)都可以結(jié)合經(jīng)濟(jì)問題講解，具體的教學(xué)設(shè)計(jì)可以參考“經(jīng)濟(jì)——數(shù)學(xué)——經(jīng)濟(jì)”的模式展開，即從實(shí)際經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考，再應(yīng)用數(shù)學(xué)理論方法分析問題的實(shí)質(zhì)，從而引出數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，最后再用所學(xué)知識(shí)點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生分析類似的經(jīng)濟(jì)問題。比如，導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要概念，在經(jīng)濟(jì)中也有廣泛應(yīng)用，在講解導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以按照下面的教學(xué)設(shè)計(jì)展開。

（一）精心選取引例

教師通過具體實(shí)例，提出經(jīng)濟(jì)管理中邊際的概念。邊際是經(jīng)濟(jì)學(xué)中進(jìn)行經(jīng)濟(jì)分析時(shí)經(jīng)常用到的一個(gè)概念，在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中是指自變量增加一個(gè)單位時(shí)所引起的因變量的增加量。但是對(duì)于大多數(shù)大一學(xué)生來說，他們還沒有聽說過邊際的概念，教師不宜選取復(fù)雜的引例，而應(yīng)給學(xué)生舉一些生活中常見的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生思考。比如，一個(gè)人肚子很餓，打算買饅頭吃，第一個(gè)饅頭帶給他的效益最大，因?yàn)槟菚r(shí)候他最餓；第二個(gè)饅頭的效益就比第一個(gè)饅頭減少了，因?yàn)橛幸粋€(gè)饅頭已經(jīng)進(jìn)肚了，不是那么餓了……第五個(gè)的效益最小甚至為負(fù)，因?yàn)槟莻€(gè)時(shí)候他幾乎已經(jīng)吃飽甚至都要吃撐了。每支出一個(gè)饅頭的價(jià)錢產(chǎn)生的效益，也就是你感覺花每一份錢買來的價(jià)值，就是邊際效益。這樣教學(xué)就能生動(dòng)地引入經(jīng)濟(jì)管理中邊際的概念。

（二）講解數(shù)學(xué)概念

在引例的基礎(chǔ)上，提出數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的概念。當(dāng)一個(gè)變量（效益）隨另一個(gè)變量（饅頭數(shù)量）發(fā)生變化時(shí)，導(dǎo)數(shù)提供了關(guān)于這種變化的大小和方向的信息，這樣就可以與引例呼應(yīng)。假設(shè)產(chǎn)品數(shù)量是連續(xù)變化的，于是產(chǎn)品單位可無限細(xì)分。若產(chǎn)品數(shù)量從x增加到x+Δx，由此引起的總效益增量為ΔR=R（Δx+x）-R（x），兩者的比值■=■表示在x和x+Δx之間總效益的平均變化率。當(dāng)Δx → 0時(shí)，若■■存在，則將此極限稱為邊際效益，在數(shù)學(xué)上稱為效益函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，記為R′（x）。于是，經(jīng)濟(jì)學(xué)中求邊際效益的問題就轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上求導(dǎo)數(shù)的問題。

（三）強(qiáng)化經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)的結(jié)合

教師講解完導(dǎo)數(shù)的概念后，再引導(dǎo)學(xué)生回到經(jīng)濟(jì)管理中的邊際問題，如邊際成本、邊際收入、邊際需求、邊際利潤等。舉一個(gè)邊際利潤的實(shí)例：通過歷史銷售數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，總利潤L（元）與每月產(chǎn)量x（支）之間的函數(shù)關(guān)系為L（x）=250x-50x2，請學(xué)生確定每月產(chǎn)量為20支時(shí)的邊際利潤。該問題類似于引例中的邊際效益，可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)邊際效益計(jì)算邊際利潤。所求的邊際利潤應(yīng)為總利潤函數(shù)在自變量為20時(shí)的導(dǎo)數(shù)：L′（20）=■■=50?？芍?dāng)x=20支時(shí)，每增加1支產(chǎn)量，利潤增加50元。

三、將數(shù)學(xué)建模思想滲透到經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中

素質(zhì)教育是數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)。教師在數(shù)學(xué)教育中不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)一些概念、定理和公式，更要讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)精神，學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)”。但是，長期以來的傳統(tǒng)教育顯然是不夠重視對(duì)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”能力的培養(yǎng)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)感到十分吃力，甚至產(chǎn)生畏難情緒，這種現(xiàn)象在文科生中更為明顯?；谶@種現(xiàn)狀，任課教師應(yīng)考慮將數(shù)學(xué)建模思想滲透到經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中。通過具體實(shí)例的建模過程，學(xué)生將體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，更加積極主動(dòng)地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。如何在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想是一個(gè)值得探討的問題。一般情況下，數(shù)學(xué)知識(shí)不能直接解決實(shí)際問題，需要依據(jù)變量和變量之間的關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型。教師可以參考下面的案例進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

（一）案例準(zhǔn)備，提出問題

為了提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，更好地理解所學(xué)知識(shí)，教師講授完一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)或章節(jié)后，要精心準(zhǔn)備實(shí)際問題，除了要與理論知識(shí)密切聯(lián)系外，還要講究趣味性，另外要注意結(jié)合學(xué)生的實(shí)際水平，不能選太復(fù)雜的問題。比如，在講完函數(shù)的極值與最值知識(shí)點(diǎn)之后，可花一個(gè)學(xué)時(shí)來講解類似下面的建模問題。

有甲、乙兩家企業(yè)生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，邊際成本函數(shù)分別為C1和C2，該產(chǎn)品的價(jià)格關(guān)于需求量的函數(shù)為P（Q）=a-bQ，其中Q=q1+q2為兩家企業(yè)的總產(chǎn)量，a，b均為非負(fù)常數(shù)。若乙企業(yè)先宣布其產(chǎn)量為q2，那么兩家企業(yè)該怎樣安排生產(chǎn)，才能使各自的利潤達(dá)到最大值？

（二）分析問題，建立數(shù)學(xué)模型

本題實(shí)際上是一個(gè)合理安排生產(chǎn)量的問題，目標(biāo)應(yīng)該是兩個(gè)企業(yè)的利潤各自達(dá)到最大值，需要用到數(shù)學(xué)中求極值與最值的知識(shí)。

依據(jù)“利潤是收入與成本的差額”的經(jīng)濟(jì)學(xué)思想，教師引導(dǎo)學(xué)生寫出甲、乙兩家企業(yè)各自的利潤函數(shù)：Ri（q1，q2）=p（Q）qi-Ciqi，i=1，2，其中i=1代表甲企業(yè)，i=2代表乙企業(yè)。乙企業(yè)已經(jīng)先宣布產(chǎn)量為q2，對(duì)于甲企業(yè)來說，目標(biāo)應(yīng)為在乙企業(yè)產(chǎn)量為q2時(shí)確定產(chǎn)量 ■，使利潤達(dá)到最大值。然而對(duì)于乙企業(yè)來說，可以預(yù)測到甲企業(yè)的產(chǎn)量將為 ■ ，乙企業(yè)必然會(huì)在甲企業(yè)產(chǎn)量 ■ 的條件下，確定最優(yōu)產(chǎn)量 ■，以使利潤達(dá)到最大值。于是目標(biāo)函數(shù)可建為 maxR1（q1，q2）=[a-b（q1+q2）]q1-C1q1

maxR2（■，q2）=[a-b（■+q2）]q2-C1q2

（三）求解模型，分析結(jié)果

根據(jù)極值的相關(guān)理論，求極大值的問題可以轉(zhuǎn)化為求駐點(diǎn)的問題，于是應(yīng)有■=a-2bq1-bq2-C1=0，從而可以解出甲企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)量 ■ =■。同理可建立方程■=0，將 ■ 代入方程即可解得 ■ =■。

此時(shí)， ■ 和 ■ 滿足斯塔克爾伯格均衡。斯塔克爾伯格模型是一個(gè)產(chǎn)量領(lǐng)導(dǎo)模型，廠商之間存在著行動(dòng)次序的區(qū)別。產(chǎn)量的決定依據(jù)以下次序：領(lǐng)導(dǎo)性廠商決定一個(gè)產(chǎn)量，跟隨廠商可以觀察到這個(gè)產(chǎn)量，然后根據(jù)領(lǐng)導(dǎo)性廠商的產(chǎn)量來決定自己的產(chǎn)量。需要注意的是，領(lǐng)導(dǎo)性廠商在決定產(chǎn)量的時(shí)候，會(huì)充分了解到跟隨廠商將如何行動(dòng)。因此，領(lǐng)導(dǎo)性廠商自然會(huì)預(yù)期到?jīng)Q定的產(chǎn)量對(duì)跟隨廠商的影響。對(duì)于這種問題，我們可以使用數(shù)學(xué)中求最值的思路建立數(shù)學(xué)模型解決。由此可見，數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)管理中起著重要作用，有利于資源有效配置。

（四）模型檢驗(yàn)和改進(jìn)

該模型還需要進(jìn)一步檢驗(yàn)和改進(jìn)，此處省略。

四、結(jié)語

傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分課程的授課方式還有很多值得探討的地方，本文所提出的實(shí)例教學(xué)設(shè)計(jì)是一種導(dǎo)向，通過經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域內(nèi)的實(shí)際問題，將經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)有效地結(jié)合在一起，引入數(shù)學(xué)建模思想，改變教學(xué)方式和方法，以期調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。任課教師應(yīng)根據(jù)具體的授課內(nèi)容和授課對(duì)象，多選取經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域內(nèi)的實(shí)際例子進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，使經(jīng)濟(jì)類專業(yè)學(xué)生喜歡上數(shù)學(xué)，提高他們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

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[5] 劉富豪，張麗莉，蔣漢軍.淺談大學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模研究與實(shí)踐[J].大學(xué)教育，2014（3）.

[責(zé)任編輯：鐘偉芳]