劉 寧,鄧志紅

(1.北京信息科技大學(xué)高動態(tài)導(dǎo)航技術(shù)北京市重點實驗室,北京100101； 2.北京理工大學(xué)自動化學(xué)院,北京100081)

高動態(tài)金屬殼諧振陀螺進動特性分析

劉 寧1,鄧志紅2

(1.北京信息科技大學(xué)高動態(tài)導(dǎo)航技術(shù)北京市重點實驗室,北京100101； 2.北京理工大學(xué)自動化學(xué)院,北京100081)

高動態(tài)金屬殼諧振陀螺的進動特性,是敏感結(jié)構(gòu)實現(xiàn)角速率信息有效提取的關(guān)鍵。針對金屬殼諧振陀螺的進動特性進行研究,首先分析了金屬殼諧振陀螺的總體研究思路,明確其工作原理；建立敏感結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程和進動因子表達式；利用數(shù)值分析方法,對進動因子進行分析,得出金屬殼諧振陀螺進動因子經(jīng)驗公式；最后對其進動特性進行綜合分析。

高動態(tài)金屬殼諧振陀螺；敏感結(jié)構(gòu)；哥氏定理

0 引言

金屬殼諧振陀螺因其采用合金材料作為諧振子,具有結(jié)構(gòu)強度高、抗過載能力強的優(yōu)點,在兼顧抗過載、量程和精度上表現(xiàn)出了巨大的潛力[1-8]。有部分文獻將金屬殼諧振陀螺、半球諧振陀螺歸屬于固體波動陀螺范疇[6-7],這種分類方式與上述分類方式只是形式不同,在原理上相通。金屬殼諧振陀螺是目前能夠有效解決大量程、高過載環(huán)境下角速率測量的重要傳感器。

在文獻[6]和文獻[7]中,作者對于半球殼進行研究時,給出了半球殼的進動因子。但對于半球殼而言,其振型函數(shù)形式單一,與半球殼的結(jié)構(gòu)參數(shù)無關(guān),故所推導(dǎo)的進動因子表達式與半球殼諧振子結(jié)構(gòu)參數(shù)無關(guān)。而在文獻[4]中,作者經(jīng)過大量的研究,利用彈性力學(xué)中的虛功、虛位移原理,給出了半球殼諧振子、圓柱殼諧振子的進動因子表達式,并分析了兩者結(jié)構(gòu)參數(shù)與對應(yīng)進動因子間的關(guān)系,總結(jié)出了經(jīng)驗公式。在文獻[9]中,作者利用彈性力學(xué)中的能量原理,通過拉格朗日方法,給出了旋轉(zhuǎn)殼體的進動因子推導(dǎo)方式。綜合這三種推導(dǎo)方式可知,這類軸對稱諧振殼的進動因子應(yīng)小于1,其數(shù)值應(yīng)與結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)。

本文分析結(jié)構(gòu)參數(shù)與鐘形振子進動因子間的關(guān)系,研究金屬殼諧振陀螺敏感結(jié)構(gòu)的振型進動特點,推導(dǎo)出敏感結(jié)構(gòu)的等效進動因子表達式。

1 金屬殼諧振陀螺特點

由金屬殼諧振陀螺的研究現(xiàn)狀可知,傳統(tǒng)的金屬殼諧振陀螺的量程、抗過載能力受到自身結(jié)構(gòu)制約,無法滿足高過載、大量程條件下的角速率測量要求。針對這一問題,受中國傳統(tǒng)大鐘啟發(fā),借鑒國內(nèi)外相關(guān)金屬殼諧振陀螺的設(shè)計經(jīng)驗,創(chuàng)新性地提出了高動態(tài)金屬殼諧振陀螺。該陀螺利用高品質(zhì)的恒彈性合金材料一體加工而成,核心敏感部件為敏感結(jié)構(gòu),由3個典型主體結(jié)構(gòu)：半球面形結(jié)構(gòu)、圓柱面形結(jié)構(gòu)、旋轉(zhuǎn)雙曲面形結(jié)構(gòu)融合而成,利用壓電激勵與檢測方式進行控制與角速率解算,在保證精度的前提下,顯著地提高了該陀螺的抗過載能力和量程。

高動態(tài)金屬殼諧振陀螺是受中國傳統(tǒng)大鐘啟發(fā)而來,中國傳統(tǒng)大鐘在振動過程中,聲色優(yōu)美、余音裊裊且經(jīng)久耐用[10-11]。將這些特點與傳統(tǒng)的金屬殼諧振陀螺相結(jié)合,來提高金屬諧振子振動穩(wěn)定性、增強抗過載能力、增大測量量程等。

高動態(tài)金屬殼諧振陀螺由敏感結(jié)構(gòu)、壓電電極、電路系統(tǒng)和陀螺框架組成。敏感結(jié)構(gòu)是高動態(tài)金屬殼諧振陀螺的核心敏感元件,主要是提供穩(wěn)定的駐波振動載體,從結(jié)構(gòu)上保證陀螺能夠有效檢測輸入角速率；壓電電極是敏感結(jié)構(gòu)與陀螺之間的橋梁,主要負責敏感結(jié)構(gòu)的振型控制以及信號檢測,從而將敏感結(jié)構(gòu)振動信號轉(zhuǎn)化為電信號用于數(shù)據(jù)處理；電路系統(tǒng)用于輸出控制信息,同時采集檢測信息,最終計算出輸入角速率；陀螺框架用于固定敏感結(jié)構(gòu)、壓電電極和電路系統(tǒng),提供高動態(tài)金屬殼諧振陀螺的對外信號輸出與機械安裝。

敏感結(jié)構(gòu)是高動態(tài)金屬殼諧振陀螺的核心敏感部件,其結(jié)構(gòu)形如中國傳統(tǒng)大鐘,主體結(jié)構(gòu)包括3個部分：半球面形結(jié)構(gòu)、圓柱面形結(jié)構(gòu)、旋轉(zhuǎn)雙曲面形結(jié)構(gòu),是一個軸對稱多曲面融合金屬回轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu),繞其角速率敏感軸對稱,如圖1所示。將壓電電極均勻粘貼在鐘壁上,控制敏感結(jié)構(gòu)振型,檢測駐波進動,利用電路系統(tǒng)檢測輸入角速率。

圖1 敏感結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Sensitive structure schematic diagram

與傳統(tǒng)的金屬殼諧振陀螺相比,高動態(tài)金屬殼諧振陀螺具有以下特點：

1)抗過載能力強。借鑒中國傳統(tǒng)大鐘的結(jié)構(gòu)設(shè)計形式,利用軸對稱多曲面融合結(jié)構(gòu),有效提升高動態(tài)金屬殼諧振陀螺的抗過載能力。

2)測量范圍寬。傳統(tǒng)的軸對稱殼諧振陀螺利用振子底部改變厚度來調(diào)節(jié)諧振子剛度,例如Innalabs公司的圓杯形陀螺,將底部厚度調(diào)節(jié)為圓杯標準壁厚的2倍來增加諧振子剛度。而高動態(tài)金屬殼諧振陀螺是通過修改鐘口處曲面結(jié)構(gòu)形式,來調(diào)節(jié)敏感結(jié)構(gòu)剛度,使得振子具有較廣的進動范圍。

3)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性高。傳統(tǒng)的軸對稱殼諧振陀螺采用單一曲面結(jié)構(gòu)作為敏感結(jié)構(gòu),例如圓柱面、半球面、圓錐面等標準曲面結(jié)構(gòu)。而高動態(tài)金屬殼諧振陀螺采用多曲面融合結(jié)構(gòu)作為敏感結(jié)構(gòu),包括半球面、圓柱面、旋轉(zhuǎn)雙曲面結(jié)構(gòu)。通過優(yōu)化各結(jié)構(gòu)間尺寸,提高敏感結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。

綜上所述,高動態(tài)金屬殼諧振陀螺摒棄了傳統(tǒng)軸對稱殼諧振陀螺的設(shè)計思路,利用多曲面融合思想,設(shè)計敏感結(jié)構(gòu)。敏感結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)振子相比,曲面結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜,振動特性特征豐富。因此,對敏感結(jié)構(gòu)的相關(guān)理論需進行系統(tǒng)研究,數(shù)學(xué)模型、振動特性、信號處理方法還需進行大量理論分析與實驗摸索,整體性能還需進一步分析與驗證。

2 工作原理

高動態(tài)金屬殼諧振陀螺是利用敏感結(jié)構(gòu)表面的駐波進動效應(yīng),來敏感輸入角速率。主要過程為：利用鐘壁上壓電電極的逆壓電效應(yīng)激勵出敏感結(jié)構(gòu)的驅(qū)動模態(tài),通過哥氏力的耦合作用激勵出檢測模態(tài),進而利用壓電電極的壓電效應(yīng)檢測出駐波進動,最后輸出的電特性信號經(jīng)過信號處理,解算出輸入角速率[12]。

在敏感結(jié)構(gòu)的鐘壁上,均勻布置4對壓電電極,如圖2所示,分別為1對激勵電極、1對檢測電極、1對反饋電極和1對阻尼控制電極。利用壓電材料的逆壓電效應(yīng),來激勵敏感結(jié)構(gòu)振動,使敏感結(jié)構(gòu)底部的慣性質(zhì)量部分——鐘唇,在環(huán)向上產(chǎn)生四波腹振動的駐波形式,如圖3(a)所示,定義這種振動模態(tài)為激勵模態(tài),或稱主模態(tài)。對于這種軸對稱殼來說,同一振動頻率下會有兩種固有振型,這兩種振型相差45°,如圖3(b)所示,定義這種振動模態(tài)為檢測模態(tài),或稱第二模態(tài)。而這兩種振動模態(tài)形成的相差45°的振型,通過哥氏力進行耦合。

圖2 敏感結(jié)構(gòu)壓電電極分布圖Fig.2 Piezoelectric element of sensitive structure

(a)激勵模態(tài)(a) Excitation mode

(b)檢測模態(tài)(b) Detection mode圖3 敏感結(jié)構(gòu)鐘唇駐波示意圖Fig.3 Standing wave of sensitive structure

具體實施過程中,壓電電極應(yīng)擺放在遠離自由端,靠近約束端的位置,盡可能地減少由于自由端受哥氏力作用而影響壓電電極檢測的效果。首先,在激勵電極上施加交流信號uinput,壓電電極沿長度方向發(fā)生變化,產(chǎn)生驅(qū)動力,如圖4(a)所示；相應(yīng)質(zhì)點在該驅(qū)動力的作用下,沿垂直于鐘壁方向上產(chǎn)生運動,如圖4(b)所示,最終激勵敏感結(jié)構(gòu)工作于四波腹振型。

(a)壓電電極驅(qū)動力(a) Piezoelectric element excitation force

(b)敏感結(jié)構(gòu)質(zhì)點運動 (b) Motion of sensitive structure圖4 激勵電極作用示意圖Fig.4 Drive piezoelectric element

當敏感軸方向上無角速率輸入時,敏感結(jié)構(gòu)在激勵電極的驅(qū)動下,維持在激勵模態(tài)下振動；當敏感軸方向上存在輸入角速率時,在哥氏力的耦合作用下激勵出檢測模態(tài),且該模態(tài)下振型的振動幅值應(yīng)正比于輸入角速率。而2個模態(tài)均作用于敏感結(jié)構(gòu)上,就會引起原有的四波腹振型發(fā)生偏轉(zhuǎn),或描述為駐波發(fā)生了進動。在實際工作時,當敏感軸方向上存在逆時針方向的角速率Ω時,駐波產(chǎn)生進動,其振型進動角為?,正比于輸入角速率Ω,如圖5所示。

圖5 敏感結(jié)構(gòu)駐波進動示意圖Fig.5 Precession of standing wave

3 動力學(xué)方程描述

將敏感結(jié)構(gòu)各點的運動看作是質(zhì)點的運動,在正交曲線坐標系下,各質(zhì)點均存在3個坐標方向上的位移。對于敏感結(jié)構(gòu)上的一個質(zhì)點P(φ,υ,θ),其矢量運動形式可表示為

(1)

Ω2uφcos2φ-Ω2uυcosφsinφ)

Ω2uυsin2φ-Ω2uφsinφcosφ)

Ω2uθ-Ω′uφcosφ-Ω′uυsinφ)

(2)

其中,ρ1和ρ2為正交曲線坐標系下的2個曲率半徑,ρ1為主曲率半徑,ρ2為第二曲率半徑,φ為質(zhì)點法線與旋轉(zhuǎn)軸間夾角,θ為環(huán)向角度,υ為鐘形振子的厚度方向坐標。在鐘形振子中,φt表示頂部夾角,φb表示底部夾角,h為鐘形振子的厚度。根據(jù)上述表示,則質(zhì)點P的整體位移的合成矢量表示為[14]

(3)

當敏感軸向上存在外界輸入角速率Ω時,其相對于慣性空間的表達式為

(4)

根據(jù)哥氏定理和瓦里斯公式,質(zhì)點P相對慣性空間的絕對加速度為[13]

a=a0+2Ω×R′+R″+[Ω′×R]+[Ω×[Ω×R]]

(5)

其中,a0為質(zhì)點P的絕對加速度；R″為質(zhì)點P的加速度；R′為質(zhì)點P的速度；Ω′為質(zhì)點P的角加速度。

將式(5)展開,可得

Ω2uφcos2φ-Ω2uυcosφsinφ

Ω2uυsin2φ-Ω2uφsinφcosφ

(6)

式中,aφ為φ方向上的加速度,aυ為υ方向上的加速度,aθ為θ方向上的加速度。則由牛頓第二運動定律可知,質(zhì)點P所受在外界角速率影響下的慣性力為

fφ=-ρaφ,fυ=-ρaυ,fθ=-ρaθ

(7)

4 進動特性

4.1 進動因子與結(jié)構(gòu)參數(shù)

求解式(2),即可求解出敏感結(jié)構(gòu)進動因子表達式為[14]

(8)

其中,U、V、W為振型函數(shù)。于是可得

K=κ(R,S,Rb,h)

(9)

其中,κ(R,S,Rb,h)為關(guān)于結(jié)構(gòu)R,S,Rb,h的函數(shù)。由此可知,進動因子僅與半球面形結(jié)構(gòu)半徑、旋轉(zhuǎn)雙曲面形結(jié)構(gòu)底部半徑、旋轉(zhuǎn)雙曲面形結(jié)構(gòu)高度和厚度有關(guān),與圓柱面形結(jié)構(gòu)高度無關(guān)。

結(jié)合式(8),利用數(shù)值仿真分析方法,分析敏感結(jié)構(gòu)數(shù)對進動因子的影響,如圖6所示。從圖6中可以看出,進動因子隨著半球面形半徑、旋轉(zhuǎn)拋物面形底部半徑和敏感結(jié)構(gòu)厚度的增加而減小,隨著旋轉(zhuǎn)拋物面形高度的增加而變大；且敏感結(jié)構(gòu)的進動因子,趨于一個常值0.6。而從旋轉(zhuǎn)拋物面形底部半徑變化關(guān)系來看,當半徑增大時,其進動因子減小,敏感結(jié)構(gòu)的底部趨向于圓環(huán)狀,其值應(yīng)該趨近于圓環(huán)的進動因子。綜合文獻[4]和文獻[6],半球面形振子的進動因子趨近于0.4,圓柱面形振子的進動因子趨近于0.8,圓環(huán)的進動因子趨近于0.3。對于敏感結(jié)構(gòu)而言,進動因子趨近于0.6,在圓柱與半球之間。于是可得敏感結(jié)構(gòu)進動因子的經(jīng)驗公式為

(10)

(a)進動因子與半球面形半徑(a) Precession factor and radius of hemispherical

(b)進動因子與旋轉(zhuǎn)拋物面形底部半徑(b) Precession factor and radius of parabolidal

(c)進動因子與旋轉(zhuǎn)拋物面形高度(c) Precession factor and height of hemispherical

(d)進動因子與敏感結(jié)構(gòu)厚度(d) Precession factor and weight of hemispherical圖6 進動因子與敏感結(jié)構(gòu)參數(shù)間的關(guān)系Fig.6 Relationship of precession factor and sensitive structure

4.2 特性分析

在理想情況下,敏感結(jié)構(gòu)的振型進動反映在剛性軸系p軸和q軸的變化上,如圖7所示。該圖為

p軸和q軸的李薩茹圖,利用這種表現(xiàn)方法能夠方便驗證與測試敏感結(jié)構(gòu)的振型進動。如果敏感結(jié)構(gòu)的鐘唇運動為純的駐波,當輸入角速率為0時,振型未產(chǎn)生進動,沒有發(fā)生偏轉(zhuǎn),故p軸和q軸所繪制的李薩茹圖為一條直線。而當振型偏轉(zhuǎn)0.05π時,李薩茹圖所呈現(xiàn)出的水平線變?yōu)榕c水平軸呈現(xiàn)0.1π夾角的斜線,而此時駐波相對于陀螺殼體移動了-30°。

圖7 固有剛性軸系輸出李薩茹圖Fig.7 Lissajous curves of rigid axis

而對于敏感結(jié)構(gòu)整體駐波的包絡(luò)而言(圖8),當振型偏轉(zhuǎn)0.05π時,整體駐波包絡(luò)偏轉(zhuǎn)0.05π。

圖8 駐波進動包絡(luò)示意Fig.8 Envelope of standing wave

而在非理想情況下,敏感結(jié)構(gòu)在加工過程中以及材料的差異,會產(chǎn)生振型偏移,從而導(dǎo)致p軸和q軸產(chǎn)生相位差,使得李薩茹圖變?yōu)闄E圓,如圖9所示。

圖9 非理想情況下李薩茹圖Fig.9 Lissajous Curves of axis imperfect

綜上所述,敏感結(jié)構(gòu)的振型進動與傳統(tǒng)金屬殼諧振子一致,只是進動因子有所差別。在進行角速率信息獲取時,均需要通過對p軸和q軸的信息進行獲取,從而有效分析敏感結(jié)構(gòu)振型進動。

5 結(jié)論

針對金屬殼諧振陀螺的進動特性進行研究,首先分析了金屬殼諧振陀螺的總體研究思路,明確其工作原理；建立敏感結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程和進動因子表達式；利用數(shù)值分析方法,對進動因子進行分析,得出金屬殼諧振陀螺進動因子經(jīng)驗公式；最后對其進動特性進行綜合分析。本文對金屬殼諧振陀螺的設(shè)計與制造提供了設(shè)計依據(jù)。

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Analysis of Precession Features for High Dynamic Metal Shell Vibratory Gyroscope

LIU Ning1, DENG Zhi-hong2

(1.Beijing Key Laboratory of High Dynamic Navigation Technology, Beijing Information Science & Technology University, Beijing 100101, China; 2.School of Automation, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

The precession feature of high dynamic metal shell vibratory gyroscope is the key to realize the angular rate information extracted effectively.It focuses on the precession of metal shell vibratory gyroscope.Firstly, the overall research ideas of metal shell vibratory gyroscope and working principle are analyzed.Then the sensitive structure dynamics equations and the expression of precession factor are proposed.The method of numerical analysis is used to analyze the precession factor.The metal shell vibratory gyroscope precession factor empirical formula is achieved.Finally, the precession characteristics of the metal shell vibratory gyroscope are analyzed comprehensively.

High dynamic metal shell vibratory gyroscope; Sensitive structure; Coriolis theorem

2017-01-28；

2017-02-27

國家自然科學(xué)基金(61471046)；北京市教委市屬高校創(chuàng)新能力提升計劃項目(TJSHG201510772017)；高動態(tài)導(dǎo)航技術(shù)北京市重點實驗室開放課題。

劉寧(1986-),男,博士,助理研究員,主要從事諧振陀螺、慣性器件和高動態(tài)IMU的研究。 E-mail:ning.liu@bistu.edu.cn

10.19306/j.cnki.2095-8110.2017.02.015

TP212.1

A

2095-8110(2017)02-0086-07