☉江蘇昆山市葛江中學(xué)周曉秋

展示典型失誤，發(fā)揮錯(cuò)例價(jià)值
——以“用配方法解一元二次方程”的例題教學(xué)為例

☉江蘇昆山市葛江中學(xué)周曉秋

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，無論是新知的探究，還是舊知的應(yīng)用，學(xué)生在化解問題的過程中出現(xiàn)失誤是不可避免的.為了幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，糾正錯(cuò)誤，形成規(guī)避錯(cuò)誤的常用策略，在教學(xué)中我們應(yīng)將學(xué)生探究中出現(xiàn)的失誤作為學(xué)習(xí)展示的一個(gè)重要內(nèi)容加以呈現(xiàn).那么，如何用好這些錯(cuò)誤資源，發(fā)揮其最大的教學(xué)價(jià)值呢？筆者認(rèn)為，捕捉典型失誤是起點(diǎn)，剖析這些錯(cuò)例是關(guān)鍵.找尋錯(cuò)例中的代表性失誤，讓學(xué)生對(duì)正解與錯(cuò)例對(duì)比辨析是最有效的手段，自主建構(gòu)出有效的避錯(cuò)策略是教學(xué)的終極目標(biāo)，只要抓住了典型，沿著正確的路徑，用好正確的方法，錯(cuò)例的教學(xué)意義便會(huì)得到應(yīng)有的發(fā)揮.

一、“用配方法解一元二次方程”教學(xué)片段

在學(xué)生獲得了用配方法解一元二次方程的一般步驟后，課堂進(jìn)入例題教學(xué)環(huán)節(jié).教師投影如下例題：

例題用配方法解方程2x2-4x+1=0.

1.學(xué)生解答，教師巡視.

學(xué)生按要求自主解方程，教師巡視，觀察學(xué)生解題，并對(duì)非典型錯(cuò)誤進(jìn)行即時(shí)點(diǎn)評(píng)糾正.

2.展示錯(cuò)例，點(diǎn)評(píng)交流.

5分鐘后，教師將從學(xué)生解題中找出的有誤解法投影展示，兩位學(xué)生的解題過程如下：

解法1：2x2-4x+4-3=0.

（x-2）2-3=0.

（x-2）2=3.

則x1=2+，x2=2-.

解法2：2x2-4x=-1.

2x2-4x+4=-1+4.

以濃度為 0.075wt%、0.225wt%、0.375wt%和0.525wt%的碳酸鈉改性后的鈉化凹凸棒石分別標(biāo)記為 APT-0.075wt%Na2CO3、APT-0.225wt%Na2CO3、APT-0.375wt%Na2CO3、APT-0.525wt%Na2CO3。

（x-2）2=3.

則x1=2+，x2=2-.

（投影后，停頓1分鐘）

師：這兩種解法對(duì)嗎？

生（齊答）：不對(duì)！

師：錯(cuò)在哪兒？請(qǐng)大家認(rèn)真觀察，找出這兩個(gè)同學(xué)的解法中的“出錯(cuò)點(diǎn)”.

生1：解法1中，配方時(shí)雖然加上了“一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方”，但忽略了加這個(gè)數(shù)的前提“二次項(xiàng)系數(shù)化為1”.

生2：我發(fā)現(xiàn)解法2也犯了同樣的錯(cuò)誤.雖然先進(jìn)行了移項(xiàng)，但在配方時(shí)，并沒有先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，雖然給出的步驟十分清晰，但這個(gè)錯(cuò)誤讓接下來的解題失去了價(jià)值.

3.規(guī)范流程，形成策略.

師：非常棒！兩位同學(xué)犯下了相同的錯(cuò)誤，那么該怎樣做才能不再犯這個(gè)錯(cuò)誤呢？

生3：我認(rèn)為，用配方法解一元二次方程有著規(guī)范的過程，在解題時(shí)，我們應(yīng)按部就班地呈現(xiàn)解題過程，決不能跨步.

師：那就請(qǐng)你來展示一下規(guī)范的過程吧！

學(xué)生3在黑板上板演規(guī)范的解題過程，如下：

圖1

師：你真棒！看來，你不僅發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤，還從自己所學(xué)的知識(shí)中捕捉出有用的信息，為大家找到了一條避錯(cuò)的路徑，非常感謝你！

（學(xué)生自發(fā)地鼓掌）

4.即時(shí)應(yīng)用，鞏固提升.

師：接下來就請(qǐng)同學(xué)們用剛剛的流程來解兩個(gè)一元二次方程.

（教師投影兩道解方程題，學(xué)生自主解答）

二、片段簡析

學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知是在犯錯(cuò)與改錯(cuò)中螺旋上升的.在教學(xué)中，學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤是不可避免的，每一個(gè)基于數(shù)學(xué)認(rèn)知下的錯(cuò)誤，都是寶貴的教學(xué)資源.我們可以通過必要的學(xué)習(xí)展示，來挖掘出這些“錯(cuò)誤”資源的教學(xué)效能.那么，學(xué)習(xí)展示該展示怎樣的“錯(cuò)誤”呢？我認(rèn)為，應(yīng)該展示一些共性錯(cuò)誤，展示一些大家都會(huì)犯的錯(cuò)誤，借助這些典型錯(cuò)誤的糾錯(cuò)，為學(xué)生建構(gòu)出能規(guī)避錯(cuò)誤的問題化解策略，讓學(xué)生在今后的問題解決中少出錯(cuò)，甚至不出錯(cuò).這則案例就是一個(gè)示范.在學(xué)生解答結(jié)束后，教師立即組織學(xué)習(xí)展示，讓巡視中發(fā)現(xiàn)的“錯(cuò)誤”立刻生“效”.教者緊扣學(xué)生“錯(cuò)誤”層層追問，通過語言陳述和書面呈現(xiàn)兩種方式放大錯(cuò)誤的教學(xué)功能.判別對(duì)錯(cuò)，找出錯(cuò)點(diǎn)，分析出錯(cuò)原因，分享避錯(cuò)策略，看似簡單的“動(dòng)作”，串在一起，將錯(cuò)誤資源的教學(xué)價(jià)值充分挖掘出來.這樣的學(xué)習(xí)展示，讓所有參與者在找錯(cuò)、糾錯(cuò)中都能感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂.

三、感悟

1.搜集生成素材，展示典型失誤.

錯(cuò)例是學(xué)生給出的錯(cuò)誤案例，是較為重要的教學(xué)資源.獲取這些教學(xué)資源最主要的方式就是教師巡視過程中的有意搜索.為了獲取教學(xué)資源，在學(xué)生解答過程中，我們應(yīng)及時(shí)行走在學(xué)生中間，從學(xué)生給出的解題過程中找尋出大家都易犯的錯(cuò)誤，為下一步展示交流積累素材.所以，在教學(xué)過程中，除了課前預(yù)設(shè)的教學(xué)生成，我們還應(yīng)將關(guān)注的重點(diǎn)放在學(xué)生的解題生成上，在關(guān)注學(xué)生給出的正解的同時(shí)，要把學(xué)生出現(xiàn)的最多的、最為典型的錯(cuò)誤挖掘出來，發(fā)揮其資源價(jià)值，使得學(xué)生在接下來的問題解決中少出錯(cuò)，甚至不出錯(cuò)，這是我們例題教學(xué)應(yīng)有的態(tài)度和必須遵循的規(guī)則.以上面的片段為例，在教師給出例題后，學(xué)生進(jìn)入自主解答狀態(tài)，此時(shí)教師并沒有停留在講臺(tái)邊，而是開始在全班巡視.教師在教室內(nèi)的“轉(zhuǎn)圈”不是在瞎逛，而是有意識(shí)通過對(duì)不同學(xué)生給出的解法與正確解法間的比對(duì)，找出學(xué)生的錯(cuò)誤解法與自己的預(yù)估錯(cuò)誤之間的偏差，形成下一步對(duì)話交流的教學(xué)素材.

2.重視展示對(duì)比，注重失誤歸納.

典型失誤之所以典型，是因?yàn)閷W(xué)生出現(xiàn)得多.所以，從數(shù)量上看，我們應(yīng)展示多位同學(xué)的相同錯(cuò)誤，使其產(chǎn)生較為明顯的對(duì)比效應(yīng).教學(xué)過程中，我們應(yīng)力求通過基于錯(cuò)例的對(duì)比剖析，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)例中的共性特征，讓學(xué)生認(rèn)同.在呈現(xiàn)這些具有共性特征的失誤后，我們還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生做好及時(shí)的歸納總結(jié)，使這一特征明顯顯現(xiàn)，為下面的避錯(cuò)策略的建構(gòu)做好鋪墊.用配方法解一元二次方程，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤有很多，其中“忽略配方前二次項(xiàng)系數(shù)為1”大家最常犯.如果在新授課上不及時(shí)歸納總結(jié)，這樣的錯(cuò)誤將會(huì)伴隨著學(xué)生接下來的很多解一元二次方程的問題，為了化解這一問題，在上面的教學(xué)過程中，教師是動(dòng)了心思的.無論是錯(cuò)例的挖掘，還是點(diǎn)評(píng)交流，都緊扣這一失誤展開，學(xué)生通過兩個(gè)相似錯(cuò)誤解題過程的對(duì)比，找到錯(cuò)誤、說出錯(cuò)誤都是較為容易的.

3.強(qiáng)化正解教學(xué)，建構(gòu)避錯(cuò)策略.

數(shù)學(xué)教學(xué)，正解的呈現(xiàn)是非常重要的，它是解題的范式，是學(xué)生模仿應(yīng)用的主要對(duì)象.因此，在教學(xué)中，我們應(yīng)高度重視正解的教學(xué)展示.正解呈現(xiàn)的時(shí)機(jī)既可以在新知獲得之后，也可以在學(xué)生出現(xiàn)典型失誤后對(duì)比展示.至于在什么節(jié)點(diǎn)上出現(xiàn)，與教學(xué)內(nèi)容和教師的教學(xué)機(jī)智有很大關(guān)系.對(duì)于一些并不復(fù)雜的新知，我們一般在對(duì)學(xué)生給出的應(yīng)用過程糾錯(cuò)、究錯(cuò)后將正解進(jìn)行展示，使其與錯(cuò)解形成視覺沖突，發(fā)揮對(duì)比效應(yīng)，強(qiáng)化正解的價(jià)值體驗(yàn)，推動(dòng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的解題過程中的不足，并將正確的解題過程與自己的已有解題習(xí)慣融合起來.當(dāng)然，對(duì)于一些較為復(fù)雜的新知，我們還是建議先給出解題范式，為學(xué)生樹立解題榜樣，提供解題臨摹的“參照物”.至于本文中給出的用配方法解一元二次方程，這在初中階段屬于簡單知識(shí)，學(xué)生根據(jù)自己的已有經(jīng)驗(yàn)是可以進(jìn)行簡單應(yīng)用的.所以，在教學(xué)過程中，教師將錯(cuò)解先于正解呈現(xiàn)分析，待幫助學(xué)生找到問題之所在后，再給出正確的解法加以剖析，形成求解的正確流程.我覺得教者這樣做完全符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律，在正誤沖突中形成了避錯(cuò)的策略，正是依托于最后的正解分析，教師的教學(xué)起到了“規(guī)范解題過程，推動(dòng)習(xí)慣養(yǎng)成”的作用，對(duì)學(xué)生解題能力的提升是非常重要的.

1.許愛珍.用好錯(cuò)誤資源提高教學(xué)成效［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（5）.

2.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.印冬建.精彩課堂，不容“錯(cuò)”過［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（1）.