數(shù) 學(xué) 園 地

錯在哪里

1 江蘇省海州高級中學(xué)

佟彥澤 (郵編：222062)

由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC，

解得AB=3或AB=8．

解答錯了！錯在哪里？

由以上錯解可知∠BAC只有一解，又因為∠ABC=60°，所以∠ACB也是唯一確定，再由AC=7可以知道△ABC是唯一確定的，所以錯解中產(chǎn)生了一個增解．錯解的補救措施是驗證：若AB=3，則AC2>AB2+BC2，∠ABC為鈍角，實際此時∠ABC=120°，不合題意；若AB=8，經(jīng)檢驗符合題意．

sin∠ACB=sin(∠ABC+∠BAC)=sin(60°+∠BAC)

正解2 同錯解得BC=5．

由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC，

即49=AB2+25-5AB，即AB2-5AB-24=0，

解得AB=-3(舍去)或AB=8．

變式1 在△ABC中，已知∠ABC=60°，AC=7，BC=5，求AB的長．

解 由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC，

即49=AB2+25-5AB，即AB2-5AB-24=0，

解得AB=-3(舍去)或AB=8．

解 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC，

解得AB=3或AB=8．

由此可以得出：在三角形中，如果已知大邊對大角和一條小邊，運用余弦定理求得第三條邊只有一解(有一個負數(shù)解自然舍去)；如果已知小邊對小角和一條大邊，運用余弦定理求得第三條邊則有兩解(不要舍去)．而題目的錯解就是因為在△ABC中，同時已知大邊對大角和知小邊對小角，應(yīng)該是變式1的類型，卻錯誤地當(dāng)作變式2的類型求解導(dǎo)致產(chǎn)生增解，使解題出現(xiàn)偏差．

2 江蘇省常熟市中學(xué)

查正開 (郵編：215500)

題目 (《數(shù)學(xué)通訊》2017年第1期數(shù)學(xué)問題征解題281)

設(shè)a、b、c為非負實數(shù)，且a+b+c=1,求P=a3+b3+c3-a4-b4-c4的最大值.

先給出如下解答：

t=a4+b4+c4

本文只是粗淺地討論了研究區(qū)域內(nèi)房價偏離與“補漲”效應(yīng)可能的聯(lián)系，并沒有對“補漲”的作用強度和滯后時間進行精確的量化，這有待今后進一步研究。

解答錯了？錯在哪里？

P=a3+b3+c3-a4-b4-c4的最大值，并不等價.這與運用基本不等式求最值時要確保放縮后必須是定值的原因是一樣的，在應(yīng)用不等式處理最值問題是應(yīng)該杜絕這樣的錯誤.

下面給出這個問題的一個正確解法，供讀者參考.

正解 由于a,b,c為非負實數(shù)，且a+b+c=1,因此

P=a3+b3+c3-a4-b4-c4

b+c)

當(dāng)且僅當(dāng)abc=0,a2+b2+c2=2ab+2bc+2ca時，上式取到等號.

3 黑龍江省雞西市第一中學(xué)

王榮峰 (郵編：158100)

(1)求a1、a2、a3的值；

該題為江蘇省運河高等師范學(xué)校許榮良老師發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)》2016年第12期的論文《數(shù)學(xué)歸納法中運用歸納假設(shè)的策略》中的例2，它也是2014年全國高考廣東省理科試卷的第19題.

對于(2) 由(1)猜想an=2n+1,以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1.由(1)知，當(dāng)n=1時，a1=3=2×1+1,猜想成立；

綜合①②可知對一切n∈N*,an=2n+1成立.

解答錯了！錯在哪里？

高考的參考答案也是如上給出的，證明過程看似合情入理，無懈可擊，但筆者認為是有問題的！準確應(yīng)用歸納假設(shè)是用數(shù)學(xué)歸納法解題的關(guān)鍵，而在(2)的證明過程中, 對假設(shè)的應(yīng)用是不正確的，第二步歸納假設(shè)的只是當(dāng)n=k時才有猜想ak=2k+1成立，而對未經(jīng)驗證和未假設(shè)的第m(4≤m≤k-1,m∈N*)項，卻不可寫成am=2m+1.

正解

1由(1)易知，當(dāng)n=1和n=2時，猜想成立；

綜合①②可知對一切n∈N*,an=2n+1成立.

評注 借助公式an=Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*)挖掘到an+1與an的遞推關(guān)系，為用數(shù)學(xué)歸納法順證該題創(chuàng)造了條件.

別解1 待定系數(shù)

別解2 先求出Sn

證明：

(1)顯然當(dāng)n=1時，猜想成立；

學(xué)習(xí)實踐證明，對一些典型的易錯題進行辨析和總結(jié)，不但可以提高解題的準確率, 加深對相關(guān)知識的理解，同時更有利于形成縝密的和善于批判的思維品質(zhì).