王志友 (郵編：313301)徐彥輝 (郵編：325035)

浙江省安吉縣孝豐高級中學(xué) 浙江省溫州大學(xué)數(shù)信學(xué)院

例談巧用均值不等式的基本策略

王志友 (郵編：313301)徐彥輝 (郵編：325035)

浙江省安吉縣孝豐高級中學(xué) 浙江省溫州大學(xué)數(shù)信學(xué)院

均值不等式是最重要而基本的不等式之一,應(yīng)用極其廣泛,巧妙地運(yùn)用均值不等式常能使許多問題得到漂亮的解決,產(chǎn)生意想不到的效果.均值不等式也是歷年來高考和數(shù)學(xué)競賽中必不可少的內(nèi)容.在運(yùn)用均值不等式時(shí)需注意同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:(1)各項(xiàng)均為正數(shù);(2)和或積為定值;(3)具有等號成立的條件.但要靈活運(yùn)用均值不等式，有時(shí)還需要熟練掌握一些“訣竅”和“技巧”.宋廷福(2004)提出四條均值不等式的常見變形技巧,即:(1)“拆項(xiàng)”變形;(2)“平方”變形;(3)“條件”變形;(4)“倒數(shù)”變形.[1]候有岐(2007)提出六條均值不等式解題的變形技巧,即:(1)拆項(xiàng);(2)拆冪;(3)升冪;(4)整體代換;(5)平衡系數(shù);(6)分離取倒數(shù).[2]筆者最近整理了靈活運(yùn)用均值不等式的四條基本策略,即:(1)注意湊配恰當(dāng)?shù)南禂?shù);(2)注意組合搭配不同的項(xiàng)數(shù);(3)注意靈活變形后再運(yùn)用;(4)注意靈活運(yùn)用一些基本模型和變式.以下分別舉例說明在實(shí)際問題中如何把握好這四條基本策略以達(dá)到靈活運(yùn)用均值不等式解題.

1 注意湊配恰當(dāng)?shù)南禂?shù)

在運(yùn)用均值不等式解題時(shí),我們常常會(huì)遇到題中某些式子不便于套用公式,或者不便于利用題設(shè)條件.此時(shí),均值不等式等號成立的條件具有潛在的運(yùn)用功能.以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn),通過湊配恰當(dāng)?shù)南禂?shù),常常能將問題得到有效的解決．

例2 設(shè)x3+y3=2,x,y∈R+,求x2+y2+5xy的最大值.

解 由3×1×x×x≤1+x3+x3,3×1×y×y≤1+y3+y3,3×1×x×y≤1+x3+y3, 得x2+y2+5xy≤

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號.即x2+y2+5xy的最大值為7.

2 注意組合搭配不同的項(xiàng)數(shù)

合理拆分項(xiàng)或配湊因式是運(yùn)用均值不等式的常用技巧,而拆與湊的目標(biāo)在于使等號成立,且每項(xiàng)為正值,必要時(shí)需出現(xiàn)積為定值或和為定值．

例7 設(shè)x、y、z∈R+,且滿足xyz(x+y+z)=3k2,求證:

3 注意靈活變形后再運(yùn)用

運(yùn)用均值不等式常常要注意靈活變形,多次利用基本不等式時(shí)更要注意每次等號是否都成立,同時(shí)也要注意基本不等式的變形形式的靈活應(yīng)用.

例9 設(shè)a、b、c∈R+,滿足a+b+c=abc,求a7(bc-1)+b7(ac-1)+c7(ab-1)的最小值.

解 由a、b、c>0,a+b+c=abc,得a(bc-1)=b+c,b(ac-1)=a+c,c(ab-1)=a+b.

從而a7(bc-1)+b7(ac-1)+c7(ab-1)=a6(b+c)+b6(a+c)+c6(a+b)

例10 設(shè)a、b、c∈R+,求證:(a2+ab+b2)(b2+bc+c2)(c2+ca+a2)≥(ab+bc+ca)3.

證明 設(shè)k=

例13 已知xi≥0(i=1,2,…,n),且x1+x2+…+xn=1,n∈N,n≥2,求證:

證明 要證原不等式成立,即只要證

4 注意靈活運(yùn)用一些基本模型和變式

以上三式相加即得證.

從以上四種基本策略中,我們可以看出:靈活運(yùn)用均值不等式的關(guān)鍵在于能看出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),進(jìn)行“拼”、“湊”、“拆”、“合”和“放縮”等變形技巧,以構(gòu)造出均值不等式的條件結(jié)構(gòu).當(dāng)然,要熟練掌握這些策略和技巧,一方面需要加強(qiáng)學(xué)習(xí)和訓(xùn)練,以積累經(jīng)驗(yàn);同時(shí),還需要真正提高數(shù)學(xué)素養(yǎng),提高對數(shù)式符號的觀察能力、直覺洞察力和數(shù)學(xué)的美感,以及對數(shù)式符號結(jié)構(gòu)規(guī)律把握的敏感性和變形能力.沒有這兩條,要真正靈活運(yùn)用均值不等式幾乎是不可能的.

1 宋廷福.例說均值不等式的變形技巧[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2004(8，上):11

2 候有岐.運(yùn)用均值不等式解題的變形技巧[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2007(1):40-41

2017-01-16)