鄭觀寶 (郵編：245200)

安徽省歙縣中學(xué)

巧用平面幾何知識證明圓錐曲線的一條統(tǒng)一性質(zhì)

鄭觀寶 (郵編：245200)

安徽省歙縣中學(xué)

眾所周知，圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)本質(zhì)上就是圓錐曲線的平面幾何性質(zhì).為方便讀者，下面給出圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)和矩形的兩條簡單性質(zhì)．

1 圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)與矩形的性質(zhì)

(1)在拋物線中，從焦點(diǎn)F發(fā)出的光線，經(jīng)拋物線反射，反射光線一定平行于對稱軸(如圖1)；

圖1

圖2

由光線的反射原理可知，光線在點(diǎn)A的反射遵循平面鏡反射原理，拋物線在該點(diǎn)的切線就是平面鏡，所以，入射角∠FAB=反射角∠CAB，所以它們的余角也相等，即∠FAD=∠CAE，于是得到下列推論：

推論1 在圖1中，過點(diǎn)A作該拋物線的切線，以及切線的垂線，則有∠FAD=∠CAE,∠FAB=∠CAB.

(2)在橢圓中，從焦點(diǎn)F1發(fā)出的光線，經(jīng)橢圓反射，反射光線一定經(jīng)過另一焦點(diǎn)F2(如圖2)；

推論2 在圖2中，過點(diǎn)A作該橢圓的切線，和切線的垂線，則有∠F1AB=∠F2AB,∠F1AD=∠F2AE．

圖3

(3)在雙曲線中，從焦點(diǎn)F1發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射，反射光線的反向延長線必經(jīng)過另一焦點(diǎn)F2(如圖3)；

推論3 在圖3中，過點(diǎn)A作該雙曲線的切線，和切線的垂線，則有∠F1AB=∠GAB,∠F1AD=∠GAE．

(4)矩形的性質(zhì)1：矩形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)P在相對兩個頂點(diǎn)的距離平方和相等，即PA2+PC2=PB2+PD2.

簡證 過點(diǎn)P作直線AD、BC的垂線，垂足分別為E、F．由勾股定理可得：PA2-PD2=AF2-DF2，PB2-PC2=BE2-CE2.

又因BE=AF,CE=DF，故PA2-PD2=PB2-PC2，故PA2+PC2=PB2+PD2.

矩形的性質(zhì)2 矩形ABCD的頂點(diǎn)B、D到其對角線AC的距離相等．

2 橢圓的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是什么

文1 用代數(shù)的方法給出了證明，為了方便讀者閱讀，現(xiàn)將主要過程重述如下：

由△=[2a2(v-ku)k]2-4(b2+a2k2)·[a2(v-ku)2-a2b2]=0，化簡得(a2-u2)k2+2uvk+b2-v2=0，

故u2+v2=a2+b2，即兩切線的交點(diǎn)P的軌跡為圓x2+y2=a2+b2.

事實(shí)上，還有下列解代數(shù)解法.

從上述兩種方法可以看出，代數(shù)法計(jì)算量特別大，過程十分繁瑣，大部分學(xué)生都只是“會而不對”，幾乎不可能獨(dú)立、正確完成．那么還有其他證明方法嗎？回答是肯定的，就是利用“橢圓的光學(xué)性質(zhì)和平面幾何知識”．

解法3 如圖，作焦點(diǎn)F2關(guān)于切線PA、PB的對稱點(diǎn)C、D．

(1)連接BD、BF1、BF2，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得：∠MBF2=

∠PBF1，又∠MBF2=∠MBD，

3 圓錐曲線的同一性質(zhì)——圓錐曲線的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是一個定圓

上述解法3能推廣到雙曲線和拋物線上嗎？

證明 如圖，作焦點(diǎn)F2關(guān)于切線PA、PB的對稱點(diǎn)C、D．

性質(zhì)3 已知拋物線y2=2px(p>0)，過點(diǎn)P作拋物線的兩條切線PA、PB(A、B為切點(diǎn))，設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)．若PA⊥PB，則點(diǎn)P的軌跡為其準(zhǔn)線．

證明 如圖，作焦點(diǎn)F關(guān)于切線PA、PB的對稱點(diǎn)C、D．

(1)連接BD、BF，則∠NBF=∠NBD，

過B作y軸的垂線BG，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)得∠NBF=∠GBJ，所以∠NBD=∠GBJ，故D、B、G三點(diǎn)共線，所以BD與準(zhǔn)線垂直，又BD=BF，所以點(diǎn)D在準(zhǔn)線上，則DF的中點(diǎn)N在y軸上．

(2)同理可得AC與準(zhǔn)線垂直，點(diǎn)C在準(zhǔn)線上，且CF的中點(diǎn)M在y軸上．

(3)由(1)、(2)以及PA⊥PB可得四邊形PMFN為矩形，由矩形性質(zhì)2可得點(diǎn)P、F到對角線MN的距離相等，即PK=OF，故點(diǎn)P的軌跡方程為準(zhǔn)線．

如果將直線看作是“半徑為無窮大的圓”、拋物線看作“中心在無窮遠(yuǎn)處的有心圓錐曲線”，那么我們就得到：

圓錐曲線的統(tǒng)一性質(zhì) 圓錐曲線的兩條相互垂直的切線的垂足的軌跡是一個以其中心為圓心、半徑為定值的定圓．

1 鄭觀寶.“情侶圓錐曲線”及其簡單性質(zhì)[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2006(9)

2017-12-31)