侯寶坤 (郵編：200020)

上海市向明中學(xué)

以簡(jiǎn)馭難
——一道經(jīng)典例題的深度研讀

侯寶坤 (郵編：200020)

上海市向明中學(xué)

課本例題大多是經(jīng)過編寫者精心選擇的，有些例題甚至經(jīng)過幾代人磨礪，被多套教材采用的，是有很大教學(xué)價(jià)值的問題.放棄對(duì)教材例題的引用和挖掘，猶如入寶山而空回.使用教材例題、研究教材例題教學(xué)價(jià)值應(yīng)成為教師的自覺行動(dòng)，同時(shí)也應(yīng)把對(duì)教材的閱讀與研究習(xí)慣傳輸給學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣，養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)、自我反思的能力.下面就以一道簡(jiǎn)單的課本例題來談?wù)勗鯓痈鶕?jù)不同學(xué)段要求，較為充分地研讀例題，挖掘其所蘊(yùn)藏知識(shí)、方法、思想上的教學(xué)價(jià)值.

例題 寫出{1,2,3}的所有子集和真子集.

這道例題在人教版的各版教材中都有，現(xiàn)在的北師大版、蘇教版、滬教版、湘教版也都引用了這道例題，應(yīng)該是一道經(jīng)典的例題.

1 例題本體的深度研讀

1.1 例題的一般化處理

一般化是促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象的需要，是對(duì)結(jié)論價(jià)值、方法應(yīng)用的深刻理解.一個(gè)數(shù)學(xué)問題的一般化包括問題呈現(xiàn)形式的一般化、結(jié)論一般化和方法一般化.

呈現(xiàn)形式一般化，可以將具體的數(shù)字變成抽象的字母，并將元素的個(gè)數(shù)一般化，形成

問題1 寫出{a1,a2,…,an}的所有子集和真子集.

結(jié)論一般化，就是對(duì)一般化的問題形成的結(jié)論，對(duì)引例而言就是問題1的結(jié)論：有n個(gè)元素的集合子集共有2n個(gè)，真子集共有2n-1個(gè).這個(gè)結(jié)論可以讓高一學(xué)生通過列舉用不完全歸納法得到，高二、高三則可以作為數(shù)學(xué)歸納法的一個(gè)例子使用.

方法一般化，就是解決問題的方法是否有一般性，是否有更廣闊的應(yīng)用價(jià)值，這往往是例題最值得研究的地方.

引例按元素個(gè)數(shù)和順序找子集的列舉法，是完全可以用到n元集合上，在高一學(xué)生的思維最近發(fā)展區(qū)，學(xué)生完全可以列舉發(fā)現(xiàn)：

體悟出每增加一個(gè)元素，子集個(gè)數(shù)增加一倍，新增加的子集就是原來子集在添上新元素形成的，即子集個(gè)數(shù)滿足遞推關(guān)系an=2an-1.這個(gè)方法告訴學(xué)生，要學(xué)會(huì)從問題產(chǎn)生的順序上摸清解題思路，要關(guān)注前后聯(lián)系，特別是新對(duì)象對(duì)問題的影響，形成主動(dòng)聯(lián)系的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

2 對(duì)例題不足的補(bǔ)充

認(rèn)知差異使學(xué)生對(duì)相關(guān)概念、方法理解的程度也會(huì)不同，有些問題例題中可能沒有涉及，有些可能需要再做些強(qiáng)化，才能使學(xué)生有更深透的理解.

對(duì)于引例，如想突出和前一節(jié)集合的聯(lián)系，考查集合的互異性，也可以在引例前設(shè)計(jì)：

問題2 {a，2}?{0,1,2},則a=______；

如覺得引例中?會(huì)遺忘，經(jīng)過點(diǎn)明學(xué)生會(huì)補(bǔ)充，但不一定真理解到?的意義，可以設(shè)計(jì)：

問題3 {x|ax=0}?{1,2},求a的取值；

有人認(rèn)為上面都是離散的數(shù)集，對(duì)象簡(jiǎn)單，方法仍是列舉沒有突破，可以設(shè)計(jì)：

問題4 {x|a≤x≤2a+1}?{x|-1≤x≤3},求a的取值范圍；

如想突破數(shù)集，可以設(shè)計(jì)：

問題5 非空集合A={(x,y)|y=2x,1≤x≤a},集合B={(x,y)|y=kx,m≤x≤a},若A?B，求實(shí)數(shù)k、m應(yīng)該滿足的條件；

如想突出問題4“取等號(hào)”這個(gè)細(xì)節(jié)以及子集與真子集的區(qū)別，可以設(shè)計(jì)：

問題6 {x|a≤x<2a+1}?{x|-1≤x≤3},求a的取值范圍；

問題7 {x|a≤x≤2a+1}?{x|-1≤x<3},求a的取值范圍；

問題8 {x|a≤x<2a+1}{x|-1≤x≤3},求a的取值范圍.

將一個(gè)簡(jiǎn)單例題演化為相對(duì)復(fù)雜的同類問題，根據(jù)課堂需求組成問題串，就可以非常到位地幫助初學(xué)者建立和理解相關(guān)概念，知曉易錯(cuò)點(diǎn)，初步體會(huì)數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的途徑，逐步養(yǎng)成關(guān)注細(xì)節(jié)、大膽列舉、反思探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

2 前后知識(shí)的關(guān)聯(lián)性研讀

對(duì)例題的研讀不能僅停留在本節(jié)課的理解和設(shè)計(jì)上，更應(yīng)當(dāng)從問題的關(guān)聯(lián)性入手，加強(qiáng)知識(shí)的前后聯(lián)系，使例題的價(jià)值得到更大發(fā)揮.一般可以從知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)性和思想方法的關(guān)聯(lián)性兩個(gè)方面去挖掘加深.

2.1 知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)性

子集與求交、并、補(bǔ)集的運(yùn)算聯(lián)系較明顯了，有(A∩B)?A(B)?(A∪B),A∩B=A?A?B?A∪B=B,B∪CUA=U?A?B?A∩CUB=?,A∩B=??A?CUB等.在單元復(fù)習(xí)時(shí)，將子集與交、并、補(bǔ)運(yùn)算結(jié)合，可設(shè)計(jì)綜合問題：

問題9 非空集合A，滿足A?{1,2,3,4,5,6},若x∈A,則必有2x∈A,求所有滿足條件的集合A；

問題10 已知集合A?{1,2,3,4,5,6,7},且A∩{1,2,3,4}={1,2},求所有滿足條件的集合A有多少個(gè)？

子集也是集合，所以它的落腳點(diǎn)必然是元素，必然要考慮集合所具備的性質(zhì)，集合元素的“取”可能更難些，子集的“取”只是元素個(gè)數(shù)的問題了，其實(shí)集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算也是怎么“取”元素的問題，所以說“怎么取”才是集合的核心問題，這也是集合與排列組合的聯(lián)系所在.基于這種知識(shí)的關(guān)聯(lián)性理解，我們可以設(shè)計(jì)加深子集的理解問題：

問題11 已知集合A={1,2,3,4,5,6,7},含有元素1的子集有多少個(gè)？含有元素6的子集有多少個(gè)？所有子集的元素之和是多少？如果A={1,2,3,…,n}上述問題答案如何？

問題12 將集合A={a1,a2,a3,…,ak},且a1

2.2 思想方法的關(guān)聯(lián)性

一個(gè)例題最重要的價(jià)值，是它所蘊(yùn)藏的思想方法有沒有進(jìn)一步拓廣的價(jià)值.能幫助我們解決相似相關(guān)的問題的價(jià)值就高，過于關(guān)注技巧而沒有一般性的價(jià)值就低.引例所涉及的列舉法、從特殊到一般、代表元素法、遞推思想都具有一般性，對(duì)其他類似問題具有指導(dǎo)意義，以下舉例的難度稍大，可以作為高年級(jí)的課外活動(dòng).

列舉法是解決集合、數(shù)列、計(jì)數(shù)等復(fù)雜問題的有力手段，也是從特殊到一般思想方法的具體體現(xiàn).通過列舉可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論的規(guī)律性，更為重要的是在列舉的過程中發(fā)現(xiàn)形成這一規(guī)律的原因，從而找到解決問題的辦法；列舉是典型的從特殊到一般的思維方式，從簡(jiǎn)單具體的事例出發(fā)，發(fā)現(xiàn)并抽象出一般性的規(guī)律，是解決復(fù)雜問題的有效手段.譬如下面問題：

問題13 已知集合A={a1,a2,…,an},B={x|x=ai+aj,i≠j,i,j=1,2,…,n},n≥2,求B集合元素個(gè)數(shù)的最大、最小值.

解析 要使元素少，那么ai+aj出現(xiàn)重復(fù)的數(shù)值就要多；要多，重復(fù)就少.給我們的問題比較抽象，我們先將問題特殊為An={1,2,…,n}(再慢些用{1}，{1,2}，{1,2,3}等)來體會(huì)，此時(shí)Bn={3,4,…,2n-1}共2n-3個(gè)元素；如果將最大數(shù)換成n+1,即An={1,2,…,n-1,n+1},此時(shí)Bn={3,4,…,2n}增加一個(gè)元素，為2n-2；如果將最大數(shù)換成n+2,即An={1,2,…,n-1,n+2},此時(shí)Bn={3,4,…,2n+1}又增加一個(gè)元素，為2n-1；……，當(dāng)最大數(shù)換成2n-3,時(shí)Bn={3,4,…,3n-4}元素個(gè)數(shù)為3n-6；最大數(shù)再變大時(shí)B中元素個(gè)數(shù)不再增加.我們發(fā)現(xiàn):

(1)對(duì)An={1,2,…,n}最大元素變化時(shí)，集合元素個(gè)數(shù)從最小2n-3連續(xù)取到最大3n-6.

(2)當(dāng)最大數(shù)字變大時(shí)，新集合中數(shù)字與原來由An-1={1,2,…,n-1}形成的Bn-1集合重復(fù)元素減少，當(dāng)An最大值大于Bn-1的最大值后就不再有重復(fù)數(shù)字，這時(shí)所有這樣的Bn比Bn-1都多n-1個(gè)元素.

不妨設(shè)a1

顯然，a1+a2

這時(shí)，上面列舉的價(jià)值就可以得到充分體現(xiàn)了，利用數(shù)學(xué)歸納法，我們只證明第二步：

集合是由一類具有共同性質(zhì)的元素構(gòu)成的，代表元素法就是選取集合的一個(gè)元素作為研究的對(duì)象，集中力量研究它的構(gòu)成和性質(zhì)，是一種以點(diǎn)帶面的解題方法，是解決抽象集合問題的有效手段.譬如：

問題14 取集合{1,2,3，…，n}的所有含有m個(gè)元素的子集，再將子集中的元素從小到大排列，則所有子集的第r個(gè)元素的平均數(shù)為多少？

提請(qǐng)大家注意的是，解題過程中要注意分析結(jié)論以外的東西，加強(qiáng)對(duì)問題條件的理解和應(yīng)用，盡量產(chǎn)生更多有用有趣的結(jié)論， 使問題能向縱深發(fā)展.

問題1的解決表明，數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)展通常是有先后順序的，是相互關(guān)聯(lián)的.如果能厘清先后關(guān)系，找出它們的數(shù)量關(guān)系或者變化特征就能使問題得到解決.前后關(guān)系中表現(xiàn)最為典型的就是遞推關(guān)系和數(shù)學(xué)歸納法，它們也是解決與整數(shù)有關(guān)問題的有力手段.比如：

問題15 證明：方程x2-2y2=1有無窮多組正整數(shù)解.

根據(jù)上述推算，由此產(chǎn)生的解是遞增的正整數(shù)，且有無數(shù)個(gè).

通過對(duì)例題本體性研究，可以促進(jìn)我們對(duì)例題所包含的知識(shí)有更為深透的理解；通過一般化研究，可以驗(yàn)證涉及的方法是否具有更廣闊的前景，同時(shí)也加深了對(duì)方法的體會(huì)，為靈活使用奠定基礎(chǔ)；通過對(duì)不足的自覺反思，加強(qiáng)變式研究，促進(jìn)了對(duì)知識(shí)的全面升華.

知識(shí)關(guān)聯(lián)性研究，可以使知識(shí)前后連貫，相互關(guān)聯(lián)，形成四通八達(dá)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，使知識(shí)更加牢固靈活；同時(shí)也可以培養(yǎng)善于聯(lián)想的思維品質(zhì).數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)聯(lián)則更為深刻，通過對(duì)思想方法的領(lǐng)悟，可以由點(diǎn)及面、由例及類的解決一大片問題，甚至解決與原例相去甚遠(yuǎn)乃至面目全非的問題，通過思想方法的關(guān)聯(lián)可以培養(yǎng)更有深度和跨度的思考能力，使思維更加通透深刻.

文系安徽省教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題(課題編號(hào):JG12316)研究成果.

2016-12-20)