孫建敏

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與方法形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識(shí)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本策略.學(xué)生熟練掌握數(shù)學(xué)思想對(duì)于提高分析與解決問(wèn)題的能力具有重要作用.下面以“整式及其加減”教學(xué)為例，說(shuō)明數(shù)學(xué)思想方法在解題中的具體應(yīng)用.

一、用字母表示數(shù)的思想方法

引入字母表示數(shù)，是從算術(shù)到代數(shù)的重要標(biāo)志之一.正確理解用字母表示數(shù)的意義，是學(xué)好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的基本要求，也是認(rèn)識(shí)上的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn).例如，設(shè)n是整數(shù)，那么偶數(shù)就可表示為2n，被9整除的數(shù)可表示為9n.

二、從“特殊到一般”，再?gòu)摹耙话愕教厥狻钡臄?shù)學(xué)思想方法

從簡(jiǎn)單的、個(gè)別的、特殊的情況去研究、探索、歸納出一般的規(guī)律和性質(zhì)（即構(gòu)建一定的數(shù)學(xué)模型），然后應(yīng)用一般的規(guī)律和性質(zhì)去解決特殊的問(wèn)題，這是數(shù)學(xué)中常用的思想方法.列代數(shù)式和求代數(shù)式的值，體現(xiàn)了這種思維方法.

例1 某校開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)，需要買一批筆記本和圓珠筆，筆記本要買40本，圓珠筆買若干支.王老師去了兩家文具店，筆記本和圓珠筆的零售價(jià)分別為3元和2元，但甲文具店的營(yíng)業(yè)員說(shuō)：“若筆記本按零售價(jià)，那么圓珠筆可按零售價(jià)的7折優(yōu)惠.”乙文具店的營(yíng)業(yè)員說(shuō)：“筆記本和圓珠筆都可按零售價(jià)的8折優(yōu)惠.”（1）若學(xué)校需要買圓珠筆80支，你認(rèn)為王老師去哪家文具店較合算？可節(jié)省多少錢？（2）設(shè)要買的圓珠筆為x支，試用代數(shù)式表示甲、乙兩家文具店的收費(fèi).

解析：（1）若買圓珠筆80支，甲文具店收費(fèi)3×40+2×80×70%=232元；乙文具店收費(fèi)（3×40+2×80）×80%=224元. 故選乙文具店合算，可節(jié)省232-224=8元.（2）甲文具店收費(fèi)：3×40+2x·70%=120+1.4x（元）；乙文具店收費(fèi)：（3×40+2x）·80%=96+1.6x（元）.

三、方程思想

方程思想是指，對(duì)所要求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用已知量和未知量的聯(lián)系列出方程，通過(guò)解方程，使問(wèn)題獲解的思維方式.

四、分類討論思想

當(dāng)被研究的問(wèn)題包含多種情況，又不能一概而論時(shí)，必須按出現(xiàn)的所有情況來(lái)分別討論，得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論.這種處理問(wèn)題的思維方式就是分類討論思想.分類時(shí)不重復(fù)、不遺漏，是分類討論的基本要求.

例3 某商場(chǎng)計(jì)劃投入一筆資金采購(gòu)一批緊俏商品.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果月初出售，可獲利15%，并可用本和利再投入其他商品，到月末又可獲利10%；如果月末出售可獲利30%，但要付出倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用700元.請(qǐng)問(wèn)：根據(jù)商場(chǎng)的資金狀況，如何購(gòu)銷獲利較多？

解析：由于商場(chǎng)的投資金額直接影響著兩種出售方式的獲利多少，因此應(yīng)對(duì)投資金額分情況進(jìn)行討論.設(shè)商場(chǎng)投資x元，則月初出售獲利為：（1+15%）·x·（1+10%）-x=0.265x……①；月末出售獲利為：（1+30%）x-700-x=0.3x-700……②.②-①，得0.3x-700-0.265x=0.035x-700.所以當(dāng)0.035x-700=0，即x=20000時(shí)，月初出售與月末出售獲利一樣多；當(dāng)x>20000時(shí)，月末出售獲利多；當(dāng)x<20000時(shí)，月初出售獲利多.

五、整體思想

整體思想是指，在解題時(shí)，從整體著手，把一些表面上看似彼此獨(dú)立而實(shí)質(zhì)上又緊密聯(lián)系的量作為整體加以考慮的一種思維方法.運(yùn)用這種思想方法，能使一些按常規(guī)解法不能解或比較繁難的問(wèn)題迎刃而解.

六、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指，在研究問(wèn)題的過(guò)程中，由數(shù)思形、由形思數(shù)，把數(shù)與形結(jié)合起來(lái)分析問(wèn)題的一種思想方法.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題直觀化，收到簡(jiǎn)捷、明快之功效.

七、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是指，在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)某種方式將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將難解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于求解的問(wèn)題，將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題.

八、歸納法

簡(jiǎn)單地說(shuō)，歸納法是一種由一系列有限的特殊事例得出一般性結(jié)論的推理方法.它能幫助我們從具體事例中發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律.